【文档说明】浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.375 MB，由小赞的店铺上传

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余姚中学2019学年第二学期期中考高二数学试卷一、选择题1.函数2cosyxx=+在π02，上取最大值时，x的值为（）A.0B.π6C.π3D.π2【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数2cosyxx=+的导数为12sinyx=−，

令12sin0yx−==得1sin2x=，又因为0,2x，所以6x=，当0,6x时，0y，当,62x时，0y，所以函数2cosyxx=+在0,6x

上单调递增，在,62x上单调递减，所以使得函数2cosyxx=+取得最大值的x的值为6，故选B.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间

上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2上的单调

性，就能找到极大值点也就是最大值点.2.函数21ln2yxx=−的单调递减区间为（）A.()1,1−B.()1,+C.()0,1D.()0,+【答案】C【解析】【分析】求出函数21ln2yxx=−的定义域

，利用导数研究函数的单调性，从而得解.【详解】函数21ln2yxx=−的定义域为()0,+，()()21111xxxyxxxx+−−=−==′，()()1100xxxx+−，解得01x，所以函数21ln2yxx=−的单调递减区间为(

)0,1.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.3.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，nnxy+能被xy+整除”，在第二步时，正确的证法是（）．A.假设()nkkN+=，证明1nk=+命题成立B.假设

nk=（k是正奇数），证明1nk=+命题成立C.假设()21nkkN+=+，证明1nk=+命题成立D.假设nk=（k是正奇数），证明2nk=+命题成立【答案】D【解析】【分析】根据n是正奇数的条件，依次判断选项中的假设是否满足正奇数，由此得到结果.【详解】对于A，

当()nkkN+=时，1k+表示除1以外的所有正整数，A错误；对于B，当nk=（k是正奇数）时，1k+表示正偶数，B错误；对于C，当()21nkkN+=+时，不包含1，且1k+表示正偶数，C错误；对于D，当nk=（k是正奇数

）时，2k+表示下一个正奇数，D正确.故选：D.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题.4.1180被9除的余数为（）A.1−B.1C.8D.8−【答案】C【解析】【分析】将1180转化为()11811−，利用二项式定理，即可得解.【详解】()111180811=−()()()(

)2101101210111110911111111111818118118111CCCCC=+−+−++−+−1210111110911111111181818181CCCC=−+++−1211109111181818111

811CC=−+++−121110911118181811081811CC=−++++−12111091111818181108180CC=−++++121110911118181811081728CC=−+++++12111091111818181108172CC−

++++可以被9整除，所以1180被9除的余数为8.故选：C.【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811−是本题的解题关键，属于中档题.5.6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人

不在同一排也不在同一列的站队种数为（）A.288B.144C.360D.180【答案】A【解析】【分析】由题意可知，分三步完成：第一步先排甲，第二步在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，第三步将剩下4人安排其余的位置上，再由分步原理可求得结果.【详解】解：由题意知分三步

：第一步，先安排甲，在6个位置中任选一个即，有166C=种选法；第二步，在与甲所选位置不在同一排也不在同一列的位置中，任选一个安排乙，有122C=种选法；第三步，将剩下4人安排其余的位置上，有4424A=种安排方法

由分步原理可知，甲乙两人不在同一排也不在同一列的站队种数为6224288=种故选：A【点睛】此题考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受限制的元素，属于基础题.6.在341(2)xxx−+的展开式中常数项为（）A.28B.28−C.56−D.56【答案】A

【解析】【分析】()2242311212xxxxxxxx−−+−+==，故可通过求()821−x展开式中的4x的系数来求常数项.【详解】因为()2242311212xxxxxxxx−−+−+==，故()82434112xxxxx−−+=

，又()821−x的展开式中4x的系数为()628128C−=，故选A.【点睛】三项展开式的指定项的系数，可以利用二项式定理的推导方法求出指定项的系数，也可以把三项代数式变形为两项代数式，再利用二项式定理求出指定项的系数.7.已知函数()22fxxmxn=++，则

()1f、()2f、()3f与1的大小关系为（）A.没有一个小于1B.至多有一个不小于1C.都不小于1D.至少有一个不小于1【答案】D【解析】【分析】通过反例可排除,,ABC；采用反证法，利用()11f和()21f，结合不等式的性质可证得()31f，由此知D正确.【详

解】当2m=−，0n=时，()222fxxx=−，则()10f=，()24f=，()312f=，可知,AC错误；当0mn==时，()22fxx=，则()12f=，()28f=，()318f=，可知B错误；假设()11

f，()21f，()31f，由()11f得：21mn++，即31mn−+−…①，由()21f得：421mn++，即523mn−+−…②，由①得：13mn−−…③，由②+③得：

40m−，1230m−，由③得：2226mn−−…④，由②+④得：33n−−，33n−，1533mn−+，318321mn++()31831fmn=++，与()31f矛盾，可知至少有一个不

小于1，D正确.故选：D.【点睛】本题考查利用不等式的性质判断大小关系的问题；解决此类问题比较快捷的方法是采用排除法得到正确结果；解题关键是能够熟练应用绝对值不等式的解法和不等式的性质，采用反证法的方式确定正确结论.8.位于坐标

原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为A.51()2B.2551()2CC.14/Emgdq=D.235551

()2CC【答案】B【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22PC=−．9.设函数()fx是定义在R上的奇函数，且()20f=，当0x时，有()()20

xfxfxx−恒成立.则不等式()0xfx的解集为（）A.()()2,02,−+B.()()2,00,2−C.()(),22,−−+D.()(),20,2−−【答案】B【解析】【分析】根据当0x时，()0fxx可知()fxx在()0,+上单调

递减，结合()20f=可确定()0fxx在()0,+上的解集；根据奇偶性可确定()0fxx在(),0−上的解集；由此可确定结果.【详解】()()()2fxxfxfxxx−=，当0x时，()0f

xx，()fxx在()0,+上单调递减，()20f=Q，()202f=，()0fxx在()0,+上的解集为()0,2，即()0xfx在()0,+上的解集为()0,2；又()fx为R上的奇函数，()()()fxfx

fxxxx−−==−−，()fxx为()(),00,−+上的偶函数，()0fxx在(),0−上的解集为()2,0−，即()0xfx在(),0−上的解集为()2,0−；当0x=时，()0xfx=，不合

题意；综上所述：()0xfx的解集为()()2,00,2−.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，确定所构造函数的单调性和奇偶性，进而根据零点确定不等式的解集.10

.若函数()lnfxx=与函数2()2(0)gxxxax=++有公切线，则实数a的取值范围是（）A.1(ln,)2e+B.(1,)−+C.(1,)+D.(ln2,)−+【答案】A【解析】设公切线与函数()lnfxx=切于点111(ln)(0)Axxx，，则切线方

程为1111ln()−=−yxxxx；设公切线与函数2()2gxxxa=++切于点22222(2)(0)Bxxxax，++，则切线方程为22222(2)2(1)()yxxaxxx−++=+−，所以有2121212(1){ln1xx

xxa=+−=−+，．∵210xx，∴1102x．又2211111111ln11ln2124axxxx=+−−=−+−−，令11tx=，∴2102ln4tattt，=−−．设21()ln(02)4ht

tttt=−−，则211(1)3()1022thtttt−−=−−=，∴()ht在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln21ln2hthe=−−=，∴1ln2ae+，，故选A．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义等基础知识

，考查了推理论证能力，运算能力，创新意识，考查了函数与方程，分类与整合，转化与化归等数学思想方法，属于难题，由切线方程可得，分离参数，得到关于1x的函数，求出2211111111ln11ln2124axxxx=+−−=−+−−的取值范

围即可，因此正确运用导数的性质是解决问题的关键.二、填空题11.如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中ABC，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))ff=；函数()fx在1x=处的导数(1)f=．【答案】

2；-2【解析】((0))(4)2fff==；(1)2ABfk==−．12.在二项式()61x−的展开式中，含3x项的系数为______；各项系数之和为______.（用数字作答）【答案】(1).20−(2).0【解析】【

分析】二项式()61x−的展开式中的通项公式为()r+16rrTCx=−，可得含3x项的系数，令1x=可得各项系数之和.【详解】二项式()61x−的展开式中的通项公式为()r+16rrTCx=−所以含3x项的系数为()336120C−=−设()62601261xaaxax

ax−=++++令1x=得()60126110aaaa−=++++=所以各项系数之和为0故答案为：(1).20−(2).0【点睛】本题考查二项式定理的指定项的系数和所有项的系数之和，属于基础题.13.某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过5个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次

红灯的不同的分布情形共有______种；如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13，用示他遇到红灯的次数，则()E=______.（用数字作答）【答案】(1).10(2).53【解析】【分析】先用组合数表示出

所有的分布情况，计算出结果即可；随机变量1(5,)3B，再利用二项分布求数学期望的方法求解即可.【详解】解：经过5个红绿灯路口，恰好遇见2次红灯的分布情形有2510C=种；因为随机变量1(5,)3B，所以()15533E==故

答案为：10；53【点睛】此题考查了组合数的应用和二项分布的数学期望，考查学生的运算能力，属于基础题.14.已知()()()()()4250125212111xxaaxaxax−−=+−+−++−，则4a=______；12345

2345aaaaa++++=______．（用数字作答）【答案】(1).16(2).81【解析】【分析】将()()4212xx−−转化为()()()441211211xxx−−+−−+，再利用二项式定理，即可求得4a；将已知等式两边分

别求导，令2x=，即可求出1225235aaaa++++的值.【详解】()()()()()()()4444212211111211211xxxxxxx−−=−+−−=−−+−−+，展开

后含有()41x−的项为()()()()()()34444104412121321161161xxxxxxCC−−−−=−−−=−，所以416a=；()()()()()4250125212111xxaaxaxax−−=+−+−++−，等号两边分别求导，得()()(

)()()()342412254212221213151xxxaaxaxax−−+−=+−+−++−，令2x=，得()41225221235aaaa−=++++，即122523581aaaa++++=.故答案为：16；81.【点睛】本题主要

考查二项式定理的应用，其中涉及到导数问题，属于中档题.“赋值法”是一种处理二项展开式系数和的常用方法，根据题意给变量合理赋值是本题的解题关键.15.北京《财富》全球论坛期间，某高校有8名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班

至少2人，每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数为______.【答案】2940【解析】【分析】根据题意，有两类分配方案，第一类：2，2，4三组，第二类：2，3，3三组，分别求得排班种数，再利用分类计数原理求解.【详

解】由8名志愿者，根据早、中、晚三班，且每班至少2人，分为3组.第一类：2，2，4三组，共有22438643221680CCCAA=种，第二类：2，3，3三组，共有23338633221260CCCAA=种，所以每人每天必须值一班且只值一班，则开幕式当天不同的排班种数16

8012602940+=.故答案为：2940【点睛】本题主要考查排列组合中的分组分配问题，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.16.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种

且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【答案】120【解析】【分析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，最后利用分类加法计数原理得到结果.【详解】由

题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A=种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A=种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A=种栽种方法；所以共有482448120+

+=种栽种方法.故答案为：120【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属于中档题.17.已知aR，函数()1,0{,0xaxfxxex−+=，若存在三个互不相等的实数123,,xxx

，使得()()()123123fxfxfxexxx===−成立，则a的取值范围是__________．【答案】(),2e−−【解析】若存在三个互不相等的实数123,,xxx，使得()()()123123fxfxfxexxx===−成立，则方

程()exfx=−存在三个不相等的实根，当0x时，xeex−=−解得1x=−，所以当0x时，1aexx+=−有两个不等的实根，即1aexx=−−令()1gxexx=−−在0,,eeee+

当exe=时，()2gxe=−所以要有两个交点则2ae−故答案为(),2e−−点睛：本题考查了分段函数零点问题，考查了转化思想，函数与方程思想，转化为函数图像的交点，参数分离是常

用的处理方法,属于中档题.三．解答题18.设数列na满足13a=，2122nnnaana+=−+，1,2,3,n=（1）求2a，3a，4a的值，并猜想数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）25a=

，37a=，49a=，猜想21nan=+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式即可得2a，3a，4a的值，根据2a，3a，4a的值可猜想na的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】解:（1）由题可得；25a=，37a=，49a=，猜想2

1nan=+．（2）下面用数学归纳法证明21nan=+．①当1n=时，13211a==+猜想成立；②假设nk=时，等式也成立，即21kak=+．则1nk=+时()()()2212221221211kkkaak

akkkk+=−+=+−−+=++．即1nk=+时也猜想成立.由①②知等式21nan=+成立.【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19.已知a是实数

，函数()()2fxxxa=−.（1）若()13f=，求a的值及曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程.（2）求()fx在区间0,2上的最大值.【答案】（1）0a=；320xy−−=（2）max84,20,2aafa−=【解析】【分析】（1）求函数()fx的导数，由

()13f=，计算可得a和()1f，根据点斜式即得在点()()1,1f处的切线方程；（2）由导数()232fxxax=−，令()0fx=，可得10x=，223ax=，讨论a的取值范围，利用函数单调性即得.【详解】（1）()232fxxax=−.因为()1323fa=−=，所以0a

=.又当0a=时，()11f=，()13f=，则切点坐标()1,1，斜率为3，所以曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程为()131yx−=−化简得320xy−−=.（2）()232fxxax=−，令()0

fx=，解得10x=，223ax=.当203a，即0a时，()fx在0,2上单调递增，从而()max284ffa==−.当223a，即3a时，()fx在0,2上单调递减，从而()max00ff==.当2023a，即0<<3a，()fx在20,3a

上单调递减，在2,23a单调递增，从而max84,020,23aafa−=.综上所述，max84,20,2aafa−=.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，以及研究含参数的函数的最大值，属于中档题.20.由0，1，2，

3，4，5这六个数字．（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？【答案】解：（1）；(2)31125244156AAAA+=；(3)11233421AA

A+=；(4)312154431112AAAA+++=【解析】（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有15C种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有

35A种结果，根据乘法原理得到结果．（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二

位，二是最后两位数字是50，共有24A种结果，根据加法原理得到结果．（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到

结果．解：（1）………………………………………………3分(2)31125244156AAAA+=……………………………………………………6分(3)11233421AAA+=…………………………………………………………

…9分(4)312154431112AAAA+++=…………………………………………………12分21.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试

．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【答案】（1）54

8（2）5716【解析】【详解】（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格记A={前四项均合格}，B={前四项中仅有一项不合格}则4121()()(1)2348PA=−=3141121()1122312

PBC=−−=又A、B互斥，故所求概率为4115()(128)48pPAPB=+=+=，所以该生被录取的概率是548；（2）该生参加考试的项数X可以是2，3，4，5.111(2)224PX===，121111(3)(1)2224PXC==−=2231113

(4)(1)22216PXC==−=，1135(5)1441616PX==−−−=X23451414316516113557()234544161616EX=+++=考点：本题考查了随机变量的概率与

期望点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键22.已知函数()()32ln2123xfxaxxax=++−−()aR（1）若2x=为()fx的极值点，求实数a的值；（2）若(

)yfx=在)3,+上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当12a=−时，方程()()3113xbfxx−−=+有实根，求实数b的最大值．【答案】（1）0a=；（2）3130,4+；（3）0.【解析】【分析

】（1）根据(2)0f=建立关于a的方程求出a的值.（2）本小题实质是()()()2221442021xaxaxafxax+−−++=在区间)3,+上恒成立，进一步转化为()()22214420axaxa

+−−+在区间)3,+上恒成立,然后再讨论0a=和0a两种情况研究.（3）12a=−时，方程3(1)(1)+3xbfxx−−=可化为2ln(1)(1)bxxxx−−+−=,问题转化为223ln(1)(1)lnbxxxxxxxxxx=−−+−=+−在()0,+上有解，

利用导数研究函数的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.【详解】解：（1）()()()222214422222121xaxaxaafxxxaaxax+−−+=+−−=++因为2x=为()fx的极值点，所以()20f=，即22041aaa−=+，解得0

a=.又当0a=时，()(2)fxxx=−，从而2x=为()fx的极值点成立．（2）因为函数()fx在)3,+上为增函数，所以()()()2221442021xaxaxafxax+−−++=在)3,+上恒成立.①当0a=时，()()20fxxx=−在)3

,+上恒成立，所以()fx在)3,+上为增函数，故0a=符合题意.②当0a时，由函数()fx的定义域可知，必须有210ax+对3x恒成立，故只能0a，所以()()22214420axaxa+−−+在)3,+上恒成立.令

函数()()()2221442gxaxaxa=+−−+，其对称轴为114xa=−，因为0a，所以1114a−，要使()0gx在)3,+上恒成立，只要()30g即可，即()234610gaa

=−++，所以31331344a−+.因为0a，所以31304a+.综上所述，a的取值范围为3130,4+.（3）当12a=−时，方程()()3113xbfxx−−=+可化为()()2ln11bx

xxx−−+−=.问题转化为()()223ln11lnbxxxxxxxxxx=−−+−=+−在()0,+上有解，即求函数()23lngxxxxx=+−的值域.因为函数()23lngxxxxx=+−，令函数()2lnhxxxx=+−()0x，则()()()211112xx

hxxxx+−=+−=，所以当01x时，()0hx，从而函数()hx在()0,1上为增函数，当1x时，()0hx，从而函数()hx在()1,+上为减函数，因此()()10hxh=.而0x，所以()0

bxhx=，因此当1x=时，b取得最大值0．【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，函数的最值，构建函数是关键，还考查恒成立问题，正确分离参数是关键.