【文档说明】江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期12月月考试题 数学.docx，共(12)页，694.594 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省扬州高二数学阶段考试2020.12一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.下列命题为真命题的是()A．0xR，使200xB．xR，有20xC．xR，有2

0xD．xR，有20x2.已知双曲线2221(0)xyaa−=的离心率为3,则实数a的值为（）A.22B.12C.1D.23．平行六面体1111ABCDABCD−中，(1,2,4)AB=,(2,1,2)A

D=−,1(0,1,10)CC=，则对角线1AC的长为（）A．43B．12C．52D．134.已知双曲线221412yx−=右支上一点P到右焦点的距离为4,则该点到左准线的距离为（）A.2B.3C.4D.55.若直线l过抛物线28yx=的焦点,与抛物线相交于,

AB两点,且16||=AB,则线段AB的中点P到y轴的距离为()A.6B.8C.10D.126．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环

依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，己知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（）A．块B．块C．块D．块7.数列{}na是等比数列,公比为q,且01a.则“1−q”是“122122,+−+n

nnaaaNn”99997293699347434023339的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.关于x的不等式()221axx−恰有2个整数解，则实数a的取值范围

是（）A.3443,,2332−−B.3443,,2332−−C.3443,,2332−−D.3443,,2332−−二、多选

题：（每题5分，全对得5分，选不全得3分，选错得0分，共20分）9.已知数列,2,0,2,0,2,0,则前六项适合的通项公式为（）A.nna)1(1−+=B.2cos2nan=C.|2)1(sin

|2+=nanD.)2)(1()1cos(1−−+−−=nnnan10.已知命题:p不存在过点(1,1)的直线与椭圆12222=+ymx相切.则命题p是真命题的一个充分不必要条件是()A.2mB.

2mC.20mD.3−=m11．下列条件中，使点P与CBA,,三点一定共面的是（）A．PBPAPC3231+=B．OCOBOAOP313131++=C．OCOBOAOP++=D．0=+++OCOBOAOP12．以下命题正确的是（）A．直线l的方向向量为)2,1,1(−=

a，直线m的方向向量)1,2,1(=b，则ml⊥B．直线l的方向向量)1,1,0(−=a，平面的法向量)1,1,1(−−=n，则⊥lC．两个不同平面,的法向量分别为)0,2,4(),0,1,2(21−=−=nn，则//D．平面经过三点)0,2,1(),0,1,0()

,1,0,1(−−CBA，向量),,1(tun=是平面的法向量，则1=+tu三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．以F(2,0)为一个焦点，渐近线是y=±3x的双曲线方程是_____________14．已知正实数ab满足9a2+b2=1

，则ab3a+b的最大值为____________15.已知正方体1111ABCDABCD−中，E是CD的中点，直线1AE与平面1BBC所成角的正弦值为_____________16.数列{}na满足:1*1151

,2(),22nnnaSanN++==−−其中nS为数列{}na的前n项和,则=na,若不等式2(2)2512ntann−−−对*nN恒成立,则实数t的最小值为.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已

知集合2|60Axxx=−−，集合22|30(0)2Bxxaxaa=−+．（1）当1a=时，求AB；（2）命题p：Ax，命题q：Bx，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18.设等比数列na的公比不为1，3a为2

1,aa的等差中项．（1）数列}{na的公比；（2）若211=a，设nnab2log=，求13221111++++nnbbbbbb．19.已知抛物线24xy=，过点()4,2P作斜率为k的直线l与抛物线交于不同的两点M，N．（1）

求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON⊥，求k的值．20.各项为正的数列na满足()2*1112nnnaaaanN+==+，，（1）当1na+=时，求证：数列na是等比数列，并

求其公比；（2）当2=时，令12nnba=+，记数列nb的前n项和为nS，数列nb的前n项之积为nT，求证：对任意正整数n，12nnnTS++为定值．21.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB=，AFt=，M是线段EF的中点．（

1）若1t=，求二面角ADFB−−的大小；（2）若线段AC上总存在一点P，使得PFBE⊥，求t的最大值．22．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．（1）求的方程；（2）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭

圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．xC22FxCPQ||22PQ=Cl228xy+=(2,2)MlMCMAMBABAB江苏省扬州高二数学阶段考试2020.10一．单项选择题：1.B2.A3.

D4.C5.A6.C7.A8．B二．多选题：9.AC10.BD11.AB12．CD12.填空题：13.x2－3y2=114.15．1316.(2𝑛+3)∙2𝑛−2,817四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．17．解：由题，),3(),3,2(aaBA−=−=（1）当1a=时，)1,3(−=B，)1,2(−=BA......................................................................4分（2）q是p的必要条件

BA3332332−−aaaaa....................................................................................10分18.（本小题满分12分）解：（1）设等比数列

na的公比为q，3a为21,aa的等差中项2132aaa+=qq+=122即0122=−−qq211−=qq(2)211=annnnnqaa21)1()21(211111−−−−=−==nbnnn−=−=−21)1(log12111)1

(1)1(111+−=+=+−−=+nnnnnnbbnn1111111312121111113221+=+−=+−++−+−=++++nnnnnbbbbbbnn...12分19.【答案】（1）22k+或22k

−（2）12k=−【解析】【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680xkxk−+−=，解2420kk−+即可；（2）结合韦达定理，计算0OMON=的坐标表示即可.【详解】解：（1）由题意，设直线l方程为()24ykx−=−，联立方程组()242

4xyykx=−=−，消去x得241680xkxk−+−=，要使直线l与抛物线交于不同的两点M，N，则()21641680kk=−−，即2420kk−+，解得22k+或22k−，综上，k的取值范围为22k+或22k−.（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，

由（1）可知1x，2x是241680xkxk−+−=的两个根，则124xxk+=，12168xxk=−，法一：因为OMN为直角三角形，且OMON⊥，所以0OMON=，即12120xxyy+=，因为()()12124242yykxkkxk=−+

−+()()()2212124242kxxkkxxk=−−++−()()()()22221684424242kkkkkk=−−−+−=−，所以有()2168420kk−+−=，解得12k=或12k=−，当12

k=时，直线过原点，O，M，N不能够构成三角形，所以12k=−.法二：因为OMN为直角三角形，且OMON⊥，所以0OMON=，即12120xxyy+=，因为()2221212124416xxxxyy==，所以()21212016xxxx+=，因为120xx，所以1216xx=−，即1

6816k−=−，解得12k=−，此时满足（1）中k的取值范围，所以12k=−.【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.20.【答案】(1)证明见解析，公比为152+．(2)定值2．证

明见解析【解析】【分析】(1)递推式两边同除na,得出关于1nnaa+的方程,进而求得1152nnaa++=,得出结论；(2)化简整理可得12nnnaba+=,求出nS,nT关于na的表达式代入计算即可得出结论．【详

解】证明：(1)当1na+=时,211nnnnaaaa++=+,∴111nnnnaaaa++=+,令10nnaqa+=,则11qq=+,化为210qq−−=,因为0q所以解得152q+=．∴数列na

是等比数列,其公比152q+=．（2）当2=时,212nnnaaa+=+,∴21(22)2nnnnnaaaaa+=++=,∴1122nnnnabaa+==+．∴1211232311......2222nnnnnnaaaaTbbbbaaaa++===因为

112a=,所以11111122nnnnaaa+++=．即11112nnnTa++=又21122nnnnnnaabaaa++==,因221122)2(nnnnnnaaaaaa++=+=−所以()2111121122

nnnnnnnnnaaaaaaaaa++++−==−,∴122311112111..11111....nnnnnSbbbaaaaaaaa++−+−=+++=++−=−,又112a=为即112nnSa+=−∴1111122111222nnnnnnnaaTS++++++=+−=

为定值．∴对任意正整数n,12nnnTS++为定值2．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的判断,求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．21.【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）2.【详解】解：（1）法一：设ACBDO=，连结AM，EO，因为矩形ACEF中

M是线段EF的中点，O是线段AC的中点，所以//EMAO，EMAO=，所以OAME为平行四边形，故//AMEO，又AM平面BDE，EO平面BDE，所以//AM平面BDE；法二：由题意，正方形ABCD和矩形A

CEF所在的平面互相垂直，因为平面ABCD平面ACEFCA=，ECAC⊥，所以EC⊥平面ABCD，以CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为2AB=，AFt=，M是线段EF的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B，()0,0,Et，()2,2,

Ft，22,,22Mt，从而22,,22AMt=−−，()2,0,DEt=−，()2,2,0BD=−，()0,2,DFt=，设平面BDE的法向量为(),,nxyz=，则由00nDEnBD==

，可知20220xtzxy−+=−=，不妨令1x=，则1y=，2zt=，从而平面BDE的一个法向量为21,1,nt=，计算可知222022AMn=−−+=，又AM平面BDE，所以AMn⊥，从

而//AM平面BDE.（2）若1t=，则()2,2,0BD=−，()0,2,1DF=，平面ADF的一个法向量为()1,0,0p=ur，设平面BDF的法向量为(),,qxyz=，则由00qDFqBD==，可知20220yzxy+=−=，不妨令1x=

，则1y=，2z=−，从而平面BDF的一个法向量为()1,1,2q=−，设二面角ADFB−−的平面角为，因为为锐角，所以11coscos,122pq===，所以二面角ADFB−−的大小为3.（3）因为

点P在线段AC上，而()2,2,0CA=，设CPCA=，其中0,1，则()2,2,0CP=，从而P点坐标为()2,2,0，于是()22,22,PFt=−−，而()0,2,BEt=−，则由PFBE⊥可知0PFBE=，即()2210t

−−+=，所以()2212t=−，解得2t，故t的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22．【解析】（1）由已知，设椭圆的方程为，因为，不妨设点

，代入椭圆方程得，又因为，所以，，所以，，所以的方程为．（2）依题设，得直线的方程为，即，设，，，由切线的斜率存在，设其方程为，联立，得，由相切得，化简得，即，因为方程只有一解，所以，C22221xyab+=(0)ab||22PQ=(,2)Pc−22221cab+=22cea==21212b+

=bc=24b=2228ab==C22184xy+=l2(2)yx−=−−40xy+−=00(,)Mxy11(,)Axy22(,)BxyMA11()yykxx−=−1122()184yykxxxy−=−+=2221111(

21)4()2()80kxkykxxykx++−+−−=2222111116()8(21)[()4]0Δkykxkykx=−−+−−=2211()84ykxk−=+2221111(8)240xkxyky−−+−=1111122111822xyxy

xkxyy===−−−所以切线的方程为，即，同理，切线的方程为，又因为两切线都经过点，所以，所以直线的方程为，又，所以直线的方程可化为，即，令，得，所以直线恒过定点．MA1111()2xyyxxy−=−−1128xxyy+=MB2228xxyy+=00(,)Mx

y101020202828xxyyxxyy+=+=AB0028xxyy+=004xy+=AB002(4)8xxxy+−=0(2)880xxyy−+−=20880xyy−=−=21xy==AB(2,1)