【文档说明】云南省昭通市鲁甸县崇文高级中学、昭通市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（B卷）含解析.docx，共(20)页，1.059 MB，由小赞的店铺上传

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昭通一中教研联盟2023~2024学年上学期高二年级期中质量检测数学（B卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分

钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量()1,2,0a=，则a等于（）A.3B.5C.5D.3【答案】C【解析】【分析】由空间向量模长的坐标公式求

解即可.【详解】()1,2,0a=，则221205a=++=.故选：C.2.已知()1,2,4a=−r，则下列向量中与a平行的是（）A.()1,1,1B.()2,4,8−−C.()2,3,5−D.()2,3,5−−【答案】B【解析】【分析】利用共线向量定理

逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为124111−，所以A不正确；对于B，因为124248−==−−，所以B正确；对于C，因124235−−，所以C不正确；对于D，因为124235−−−，所

以D不正确．故选：B．3.两平行直线3410xy+−=与3430xy++=的距离为（）A.25B.45C.425D.225【答案】B【解析】【分析】直线利用平行直线的距离公式计算得到答案.【详解】两平行直线的距离445916d==+，故选：B.4.已知直线30mxy++=与280xy

−+=垂直，则实数m的值为（）A.2B.-2C.12D.12−【答案】A【解析】【分析】利用两条直线垂直与其方程的系数之间的关系计算即可.【详解】因为直线30mxy++=与280xy−+=垂直，所以()1120m+−=，得2m=.故选：A.【

点睛】本题考查了两条直线垂直的位置关系，属于基础题.5.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的一般式方程为（）A.240xy−−=B.240xy−+=C.250xy−−=D.250xy−+=【答案】C【解析】分析】根据方向向量确定斜率，得到直

线方程.【详解】根据题意，直线的方向向量为()1,2a=，则其斜率2k=，直线方程为25yx=−，为【即方程为250xy−−=，故选：C.6.已知空间向量3,2ab==，且2ab?，则b在a上的投影向量为（）A.aB.29aC.92aD.69a【答案】B【解析】【分析】直接根据

投影向量的公式计算得到答案.【详解】由题意可知b在a上的投影向量为22339abaaaaa==，故选：B.7.圆22430xyx+−+=关于直线yx=对称的圆的方程是（）A.22(2)1xy−+=B.22(2)1xy++=C.22(2)1xy++=D.22(2)1xy+−=【

答案】D【解析】【分析】根据题意先求出圆心()2,0关于直线yx=对称的坐标(),ab，然后可以求解【详解】由题意得，圆：22430xyx+−+=，化简得：22(2)1xy−+=，所以圆心坐标为()2,0，半径

：1r=，设圆心()2,0关于直线yx=的对称点的坐标为(),ab得：12222baba−=−−+=，解之得：02ab==，得所求圆的圆心坐标为()0,2，半径也为1，所以得：所求圆的方程为：22(2)1xy+−=.故选：D.8.已知空间中三点

(1,0,0)A−，(0,1,1)B−，(2,1,2)C−−，则点C到直线AB的距离为（）A.63B.62C.33D.32【答案】A【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】依题意

得()()1,1,2,1,1,1ACAB=−−=−则点C到直线AB的距离为2216266333ACABdACAB=−=−==故选：A二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分）9.已知四边形ABCD的顶点分别是()312A−，，，()121B−，，，()113C−−，，，()353D−，，，那么以下说法中正确的是（）A()233AB=−−，，B.A点关于x轴的

对称点为()312−，，C.AC的中点坐标为()201−−，，D.D点关于xOy面的对称点为()353−−，，【答案】ABD【解析】【分析】根据点关于线或面对称的性质判断各个选项的结论．【详解】由于四边形ABCD

的顶点分别是(3A，1−，2)，(1B，2，1)−，(1C−，1，3)−，(3D，5−，3)，对于A:(2,3,3)AB=−−，故A正确；对于B：点A关于x轴对称的点的坐标为(3，1，2)−，故B正确；.对于C:AC的中点坐标为(1，0，1)2−，故C错误

；对于D：点D关于xOy面的对称点为(3，5−，3)−，故D正确；故选：ABD．10.已知圆224xy+=和点()2,1A−，则过点A的圆的切线方程为（）A.43110xy−−=B.43110xy+−=C.34100xy−−=D.2x=【答案】CD【解析】【分

析】考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案.【详解】因为圆224xy+=，点()2,1A−，当过点A与圆相切的直线的斜率存在时，设切线方程为()21ykx=−−，则22121kk−−=+，

解得34k=，从而切线方程为34100xy−−=；当过点A的直线的斜率不存在时，直线方程为2x=，容易验证，直线2x=与圆224xy+=相切.故过点A的圆的切线方程为34100xy−−=或2x=，故选：CD.11.点P在圆221

:1Cxy+=上，点Q在圆222:68240Cxyxy+−++=上，则（）A.122CC=B.两个圆心所在的直线的斜率为43−C.PQ的最大值为7D.两个圆相交弦所在直线的方程为68230xy−−=【答案】BC【解析】【分析】确定两圆圆心和半径，计算125CC=，A错误，12

43CCk=−，B正确，max||7PQ=，C正确，两圆相离，不相交，D错误，得到答案.【详解】()10,0C，半径为1r=，圆2C的标准方程为22(3)(4)1xy−++=，则()23,4C−，半径为1R=，对选项A：2212345CC=+=

，错误；对选项B：124433CCk−==−，正确；对选项C：2max1||5117CCRPrQ==+++=+，正确；对选项D：由于1252CCRr=+=，所以两圆相离，不相交，错误；故选：BC.12.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的

三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（）A.166AC=B.1BCAB⊥C.111,120DACB=D.直线1BD与AC所成角的余弦值为66【答案】ABD【解析】【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线

性运算和数量积运算，逐项分析即得.【详解】以1,,ABADAA为基底，则1116,66cos6018ABADAAABADABAAADAA=======对A：∵111ACABBCCCABADAA=

++=++则()2222211111222ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=+++++2363218216=+=∴166AC=，A正确；对B：∵111BCBBBCADAA=+=−，则(

)1110BCABADAAABADABAAAB=−=−=∴1BCAB⊥，B正确；对C：∵11111,DADAAAAAADCBAD=+=−=−则()22221111236DAAAADAAAAADAD=−=−+=，即16DA=116CB=(

)()21111118DACBAAADADADADAA=−−=−=∴111111111181cos,662DACBDACBDACB===，则111,60DACB=，C错误；对D：∵11111,BDBCCCCDABADA

AACABAD=++=−++=+则()222221111122272BDABADAAABADAAABADABAAADAA=−++=++−−+=2222108ACABABADAD=++=即162,63BDAC==()()

22111136BDACABADAAABADABADABAAADAA=−+++=−+++=∴111366cos,66263BDACBDACBDAC===，即直线1BD与AC所成为66，D正

确；故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()()()0312,3,A

BCm,,,三点共线，则实数m的值为________．【答案】0【解析】【分析】根据A，B，C三点共线可得ABBCkk=，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可.【详解】由()()()0312,3,ABCm,,,三点共线可得ABBCkk=，即2321031m−

−=−−，解得0m=.故答案为：0.14.2,3(3),a=−，1,0(),0b=−，则a，b的夹角为___________.【答案】23##120【解析】【分析】直接根据向量夹角公式的坐标表示求解

即可.【详解】解：因为3)3(2a=−，，，10()0b=−，，，所以21cos,142ababab−===−，因为,0,ab，所以2,3ab=故答案为：23##12015.如图，圆弧形拱桥的跨度12mAB=，拱高4mCD=，则拱桥的直径为________

m.【答案】13【解析】【分析】利用勾股定理求得圆的半径，进而求得圆的直径.【详解】设圆心为O，半径为r，连接,,OAOBOC，如下图所示，6,4ADBDODr===−，由勾股定理得()22264rr+−=，解得1

32r=，所以直径为13m.故答案为：1316.阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(

0kk且1)k的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有,6ABCAC=，2ABCB=，求点B的轨迹方程为__________.【答案】22(5)16xy−+=，0y（答案不唯一）【解析】【分析】建立坐标系，确定坐标，根据2ABCB=得到2222

(3)2(3)xyxy++=−+，化简得到答案.【详解】2ABCB=，20且20，故点B的轨迹是圆.以线段AC的中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则()()3,0,3,0AC−，设(),Bxy，2ABCB=，则2222(3)2(

3)xyxy++=−+，即221090xyx+−+=，整理得22(5)16xy−+=，0y.（答案不唯一，建系不同，轨迹方程不同）故答案：22(5)16xy−+=，0y.四､解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）求与直线23yx=+平行，且与直线42yx=

−在y轴上的截距相同的直线方程；（2）已知ABC的顶点坐标分别是()()()0,5,1,2,7,4ABC−−，求BC边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）220xy−−=；（2）43150xy−+=【解析】【分析】（1）由斜截式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC的中点坐标，再由点斜

式方程求解即可.【详解】（1）直线23yx=+的斜率为2，直线42yx=−在y轴上的截距为2−，由题意知，所求直线斜率为2，且在y轴上的截距为2−，由直线的斜截式方程可得22yx=−，即220xy−−=.（2）()()()0,5,1,2

,7,4ABC−−，BC的中点坐标为()3,1−，中线的斜率为()514033−=−−，中线所在直线的方程为453yx=+，即43150xy−+=.为的18.如图，在棱长是2的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为1,AB

AC的中点.（1）证明：//EF平面11AADD；（2）求点E到平面1ACD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由12ADEF=可证明1//ADE

F，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）先求出平面1ACD的法向量和直线DE的方向向量，由点到平面的距离公式求解即可.【小问1详解】以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()112,0,2,2,0,0,2,2,0,

0,2,0,0,0,2AABCD，()0,0,0D，,EF分别为1,ABAC的中点，()()2,1,0,1,1,1EF，()1,0,1EF=−.()12,0,22,//ADEFEF=−=1AD，又1AD平面11,AADDEF平面11AADD，//EF平面11

AADD.【小问2详解】()()10,2,0,2,0,2CDAD=−=−−，设平面1ACD的法向量为(),,nabc=，则120220nCDbnADac=−==−−=，取1a=，可得0,1bc==−，所以()1,0,1n=−，所以平面1ACD的法向量()()1,0

,1,2,1,0nDE=−=，点E到平面1ACD的距离222nDEdn===.19.圆M经过三点()()()2,2,0,4,2,0ABC−−.（1）求圆M的方程；（2）判断直线:3460lxy−+=与圆M的位置关系；如果相交，求直

线l被圆M截得的弦长.【答案】（1）()()221110xy−+−=（2）相交，弦长为6【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点数据解方程组得到答案.（2）计算圆心到直线的距离，再计算弦长得到答案.【小问1详解】设圆M的方程为220xyDxEyF++++=，M经过三点()()()2,

2,0,4,2,0ABC−−，则442201640420DEFEFDF++−+=++=−+=解得2,2,8DEF=−=−=−，所以圆M的方程为222280xyxy+−−−=，即()()221110xy−+−=.【小问2详解】()()221110xy−+−=，圆M的圆

心坐标()1,1，半径为10r=，所以圆心到直线l的距离2234611034dr−+===+，所以直线与圆相交.所以弦长为2221016rd−=−=.20.如图，在四棱锥SABCD−中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SDAD=，E是SA的

中点．()1求证：直线BA⊥平面SAD；()2求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()263.【解析】【分析】()1证明SDAB⊥，结合ADAB⊥，即可证明直线BA⊥平面SAD；()2以D为原点，分别以DA,DC,DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量，求

出平面BED的一个法向量，设直线SA与平面BED所成角为，利用向量的数量积求解即可.【详解】解：()1SD⊥底面ABCD，SDAB⊥.又底面ABCD是正方形，ADAB⊥.ADSDD=，AD平面SAD，

SD平面SAD，BA⊥平面SAD.()2以D为原点，分别以DA,DC,DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设2AB=，则()2,0,0A,()0,0,2S,()1,2,0B,()1,0,0E,(

)2,0,2SA=−,()2,2,0DB=,()1,0,1DE=.设平面BED的法向量为(),,mxyz=，由00mDEmDB==得00xzxy+=+=，令1x=，则()1,1,1m=−−.设直线SA与平面BED所成角为，则6cos,3mSAmSAmSA==，sin63

=，即直线SA与平面BED的夹角的正弦值为63.【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求法，向量的数量积的运用，直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题.21.已知点()2,2P，圆22:80Cxyy+−=，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为

坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当||||OPOM=时，求l的方程及POM的面积．【答案】（1）22(1)(3)2xy−+−=；（2）l的方程为1833yx=−+，POM的面积为165.【解析】【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，

设出M坐标，由CM与MP数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由||||OPOM=得到ONPM⊥．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出P

M的长度，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：（1）由圆22:80Cxyy+−=，即22(4)16xy+−=，圆C的圆心坐标为()0,4C，半径4r=．设(,)Mxy，则(,4)CMxy=−，(2,2)MP

xy=−−．由题意可得0CMMP=，即(2)(4)(2)0xxyy−+−−=．整理得22(1)(3)2xy−+−=．M的轨迹方程是22(1)(3)2xy−+−=．（2）由（1）知M的轨迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆，由于||||OPOM=，

故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM⊥．3ONk=，直线l的斜率为13−．直线PM的方程为12(2)3yx−=−−，即380xy+−=．则O到直线l的距离为22|8|410513−=+．又N到l的距离为|11338|10510+−=，210410

||22()55PM=−=．1410410162555POMS==△．22.如图1，在MBC中，24BMBC==，BMBC⊥，,AD别为边BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到PAD的位置，使90PAB=o，如图2，连结PB，PC.（1）求证：平面PAD⊥平面

ABCD；（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010？若存在，求出PEPC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，14PEPC=.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明PA⊥平面ABCD

．然后再得面面垂直；（2）由,,ABADAP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz−，假设存在E满足题意，设出PEPC=，用空间向量法求二面角，再根据二面角的大小得出．【详解】（1）证明：因为A，D分别为M

B，MC中点，所以//ADBC．因为BMBC⊥，所以.BMAD⊥所以PAAD⊥．因为90PAB=，所以PAAB⊥．又因为ABADA=，AB，AD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．又因为PA平面PAD

，所以平面PAD⊥平面.ABCD（2）解：因为PAAB⊥，PAAD⊥，90DAB=，所以AP，AB，AD两两互相垂直．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，假设线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010．设()000,,Exyz，()01PEPC

=，则()01PEPC=，即()()000,,22,2,2PExyzPC=−==−．所以()2,2,22E−，()0,1,0AD=uuur，()2,2,22AE=−．平面PAD的一个法向量为(1,m=0

，0)．设平面ADE的一个法向量()222,,pxyz=，则有()2222022220ADpyAEpxyz===++−=，令2z=，则(1,p=−0，)．若二面角EADP−−的余弦值为31010，则有221310cos,10(1)mpmpmp−==

=−+，由01≤≤，解得14=．故线段PC上存在一点E，使二面角EADP−−的余弦值为31010，且14PEPC=．【点睛】方法点睛：本题考查用线面垂直证明线线垂直，考查用由二面角的大小求参数．求二面角的常用方法：（1）定义法：即作出二面角的平面角

并证明，然后计算；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com