【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题5.1 认识分式（知识讲解）.docx，共(12)页，292.529 KB，由管理员店铺上传

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1专题5.1认识分式（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，明确一个代数式是分式的条件；2.能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.【要点整理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并

且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.分式与分数的类比理解：1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.2、分式与分数

是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2xyx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，要点二

、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.特别指出（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有

意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.【例题

讲解】类型一、分式的概念1、（2021·新乡市第二十二中学八年级月考）下列各式：①2020x；②a；③3xx−−；2④2xy+；⑤1yxy+−；⑥22mm；⑦23x−，是分式的有______________，是整式的有_____________．（只填序号）【答

案】①③⑤⑥②④⑦【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式．解：是分式的有：2020x，3xx−−，1yxy+−，22mm，是整式的有：a，2xy+，23x−．故答案为：①③⑤⑥，②④⑦．【点拨】本题主要考查

分式和整式的定义，注意π不是字母，是常数，所以a不是分式，是整式．举一反三：【变式】（2020·全国八年级课时练习）在3x，0,3xy+，y，4xy−，2xxx−中，是整式的有__________；是分式的有__________．【答案】3x，0，3xy+

，y4xy−，2xxx−【分析】根据整式和分式的定义即可解答.形如AB，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式．注意π不是字母．解：整式有3x，0，3xy+，y；分式有4xy−，2xxx−.故答案是:3x，0，3xy+，y；4xy−，2xxx

−．【点拨】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键．类型二、分式有意义，分式值为0，分式无意义32．（2020·南通市东方中学八年级月考）分式2(1)(3)32mmmm−−−+的值为0，则m=___________

___．【答案】3【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．解：要使分式由分子(1)(3)0mm−−=．解得：1m=或3；而3m=时，分母23220mm−+=；当1m=时分母2321320mm−+=−+=，分式没有意义．所以m的值为3．故答案为：3．【

点拨】本题主要考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．举一反三：【变式】（2020·江苏南通市·南通田家炳中学八年级月考）若分式2323xxx−−−的值为零，则x的值为__________．【答案】-3【分析

】根据分式的值为零的条件，分子为0且分母不为0即可求出x的值．解：由分式的值为零的条件得30x−=，2230xx−−，∴x=±3且x≠3且x≠-1，∴x=-3时，分式的值为0．故答案为：-3．【点拨】本题考查了分式

值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2020·江苏南通市·八年级期中）要使式子1(1)xx−有意义，则x的取值范围为________．【答案】

0x且1x【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．4解：∵式子1(1)xx−有意义，∴(1)0xx−∴0x且10x−∴0x且1x故答案为：0x且1x．【点拨】此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2020·内蒙古

农业大学附属秋实中学八年级期中）要使分式1111xx−++有意义，则x的取值范围为_____．【答案】1x−且2x−根据分式的分母不能为0，可得答案．解：1+x≠0，1+11x+≠0，x≠﹣1，x≠﹣2故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有

意义的条件是解题的关键．4．（2021·全国九年级专题练习）若分式11x+的值不存在，则x=__________．【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．解：∵分式11x+的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．【点拨】本题考查的是分式无意义

的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2019·山东泰安市·八年级期中）已知当x=-2时，分式xbxa−−无意义，当x=4时，5此分式的值为0，则ba的值为____．【答案】16【分析】根据分式无意义时分母的值

为0，分式的值为0时，分式分子的值为0并且分母的值不为0求解即可解：∵当x=-2时，分式xbxa−−无意义，∴分母x-a=-2-a=0则a=-2．∵当x=4时，此分式的值为0，∴分子x-b=0得4-b=0解得：b=4．∴()4=2=16ba﹣；故答案为16．【点拨】分式分母的值为0时

分式没有意义，要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0类型三、求分式的值5、（2020·浙江金华市·）已知13xx−=，则21xx+=________．【答案】13【分析】把已知等式两边分别平方适当变形后，再将所求代数式展开整体

代入求解．解：∵13xx−=，∴2211()29xxxx−=+−=，即22111xx+=，∴22211211213xxxx+=++=+=，故答案为：13．【点拨】此题主要考查了分式的求值以及完全平方公式，正确运用公式是解题关键．举一反三：【变式】（2021·上海长宁区·九年级一模

）已知12xy=，那么+−xyxy的值为_______________．【答案】3−6【分析】根据已知得到2yx=，代入所求式子中计算即可．解：∵12xy=，∴2yx=，∴2332xyxxxxyxxx++===−−−−：故答案为：-3．【点拨】本题考查了求

分式的值，利用已知得到2yx=后再整体代入是解题的关键．6、（2021·全国八年级）已知2510mm−+=，则22125mmm−+=____．【答案】22【分析】根据m2﹣5m+1=0可得m+1m=5，5m=m2+1，然后将原分式适当变形后整体代

入计算即可．解：∵m2﹣5m+1=0，∴m﹣5+1m=0，5m=m2+1，∴m+1m=5，∴2m2﹣5m+21m=2m2﹣m2﹣1+21m=m2+21m﹣1=（m+1m）2﹣3=52﹣3=25﹣3=22．故答案为：22．【点拨】本题考查

分式的求值．掌握整体代入思想是解题关键．在本题中还需理解722211()2mmmm+=++．类型四、分式的值为正、负时求参数的取值范围7、（2020·北京海淀区·人大附中八年级月考）若分式2213xx++的值为正，则x的取值范围是________

__．【答案】12x−＞【分析】根据分式的性质即可求出答案．解：230x+＞，210x+＞，12x−＞，故答案为：12x−＞.【点拨】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型．举一反三：【变式】（2019·重庆一中八年级月

考）若分式24(5)xx+−的值为负数，则x的取值范围是_________．【答案】4x−【分析】由分式24(5)xx+−的值为负数，而分母为正数，则分子40x+，再解不等式即可得解．解：∵24(5)xx

+−的值为负数∴240(5)xx+−∵()250x−∴40x+∴4x−．故答案是：4x−8【点拨】本题考查了分式的值，从分式的整体先判断，再到局部，解题的关键是得到关于x的不等式．举一反三：【变式】（

2019·四川成都市·树德中学八年级期中）若分式35xx+−值为正，x应满足的条件：__________．【答案】x＞5或x＜-3.【分析】由分式35xx+−值为正可知分子和分母同号，有两种情况：同正或同负，据此列出不等式组，解不等式组即可

求出答案．解：由题意可知：3050xx+−或3050xx+−，∴x＞5或x＜-3故答案为：x＞5或x＜-3.【点拨】本题考查分式的值的正负问题及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据

题意列出不等式组，本题属于基础题型．类型五、分式的值为整数8（2020·江苏南通市·南通第一初中八年级月考）若分式2221xx−−的值为正整数，则x=_____________．【答案】0【分析】先把分式2221xx−−进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出1x+的取值

，从而得出x的值．解：2222(1)21(1)(1)1xxxxxx−−==−+−+，要使21x+的值是正整数，则分母1x+必须是2的约数，即11x+=或12x+=，则0x=或1(舍去)，故答案为：0．9【点拨】本

题考查了分式的化简、分式的值；掌握分式的化简，根据分式的值为正整数．利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018·浙江杭州市·七年级期末）已知m为整数，且分式2331mm−+−的值为整数，则m可取的值为________．【答案】0或2

或2−或4−【分析】先化简得到原式＝31m−+，然后利用整数的整除性得到−3只能被−1，1，3，−3这几个整数整除，从而得到m的值．解：2333(1)31(1)(1)1mmmmmm−+−−−==−+−+．mQ为整数，且3

1m−+的值为整数，11m+=，3．当11m+=时，0m=；当11+=−m时，2m=−；当13m+=时，2m=；当13m+=−时，4m=−．故答案为：0或2或−2或−4．【点拨】此题主要考查了分式的化简求值问题，注意化简

时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，解答此题的关键是判断出m−1可以取的值有哪些．类型六、分式中的规律题9、（2021·和平区·天津一中八年级期末）观察给定的分式，探索规律：（1）1x，22x，33x，44x，…其中第6个分式是_______

___；（2）2xy，43xy−，65xy，87xy−，…其中第6个分式是__________；（3）2ba−，52ba，83ba−，114ba，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．10【答案】66x12

11xy−31(1)nnnba−−【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是x6（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是y11,（3）

分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n,分子是b3n-1，分母是an,解：（1）分

子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是66x，（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是1211xy−，（3

）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是31(1)nnnba−−【点拨】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数

字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键举一反三：【变式1】（2019·贵州铜仁市·九年级期末）已知一列分式，2xy，53xy−，106xy，1710xy−,2615xy,3721xy−…，观察其规律，则第n个分式是_______．【答案】2111(1)2(1)

nnnnxy+++−【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．解：观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：()11n+−11分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：123ny++++L=()11

2nny+分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：21nx+故答案为：2111(1)2(1)nnnnxy+++−．【点拨】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．举一反三：【变式2】（2020·广东揭阳市·八年级期末）已知1213

435241110,S,1,,1,aSSSSSSaSS==−−==−=，·……，(即当n为大于1的奇数时，11nnSS−=；当n为大于1的偶数时，11nnSS−=−−），按此规律，2020S=_______________________．【答案】11a−+【分析】根据Sn数的变

化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此题得解．解：S1＝1a，S2＝﹣S1﹣1＝﹣1a﹣1＝﹣1aa+，S3＝21S＝﹣1aa+，S4＝﹣S3﹣1＝1aa+﹣1＝﹣11a+，S5＝41S＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a

，S7＝61S＝1a，…，∴Sn的值每6个一循环．∵2020＝336×6+4，12∴S2020＝S4＝﹣11a+故答案为：﹣11a+【点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．