【文档说明】《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.10 《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）.docx，共(12)页，110.678 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.10《三角形的证明》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】1.了解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的概念；理解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定；2.能用等腰三角形、直角三角形、线

段垂直平分线、角平分线的性质和判定解一些决问题；3.会运用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角的平分线的知识解决有关问题．【要点梳理】知识点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等

边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三

角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.知识点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)

直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三

角形是2直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为

斜边.知识点三、垂直平分线线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

.知识点四、角的平分线角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.【典型例题】类型一、等腰三角形1.如图，在△ABC中，

AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE.3【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠A

BC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE

，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE.【思路点拨】（1）根据等边对等角得出∠C＝∠ABC36°，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，故∠ADB＝90°，从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；举一反三：【变式】如图，已知：在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD

＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．4（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．（1）解：证明：∵∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷=90°，∴∠2+∠3=∠3+∠4，∴∠2=∠4，在

△ABC和△DEC中，{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷∠2=∠4𝐵𝐶=𝐶𝐸，∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)，∴𝐴𝐶=𝐶𝐷；（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝

AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°【思路点拨】（1）根据同角的余角相等得出∠2=∠4，r然后利用AAS判断出ABC≌△DEC，再根据全等三角形的对应边相等得出结论；（2）根

据等腰直角三角形的性质知∠1＝∠D＝45°，又由知道顶角求等腰三角形底角的方法算出∠3＝∠5＝67.5°，利用邻补角的定义算出答案。5类型二、直角三角形2.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的

位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．（1）解：如图，∵AD∥BC，∴∠2=∠1=60°；又∵∠4=∠2=60°，∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°（2）解：在直角△ABE中，由（1）知∠

3=60°，∴∠5=90°﹣60°=30°；∴BE=2AE=2，∴AB=√22−12=√3；6∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD=√3×3=3√3．【思路点拨】（1）根据矩形的性质得出AD∥B

C，由二直线平行内错角相等得出∠2=∠1=60°；根据折叠的性质∠4=∠2=60°，根据平角的定义得出∠3的度数；（2）根据矩形的性质得出∠A=90°，根据三角形的内角和得出∠5=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BE的长，根据勾股定理算出AB的长，由AD=AE+DE算出AD的

长，根据矩形的面积计算方法即可算出答案。【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为()．A.B.C.D.5【答案】B.解

析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，∴

42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.类型三、线段垂直平分线3.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E

.7（1）若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；（2）若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长.（1）解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠C，在Rt△ACD和Rt△AED中，{�

�𝐷=𝐷𝐸𝐴𝐷=𝐴𝐷，∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL）∴∠CAD=∠BAD；（2）解：∵AE=BE，DE⊥AB,∴DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴BC=BD+CD=AD+CD=10，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.【思路点拨】（1）由题意用HL定理可证R

t△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的对应角相等可求解；（2）根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可判断DE垂直平分AB，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=B

D，然后根据线段的构成可求解.【变式】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵的垂直平分线𝑙1交𝐵𝐶于点𝐷，𝐴𝐶的垂直平分线𝑙2交𝐵𝐶于点𝐸，𝑙1与𝑙2相交于点𝑂，△𝐴𝐷𝐸的周长为6．8（1）𝐴𝐷

与𝐵𝐷的数量关系为________．（2）求𝐵𝐶的长．（3）分别连接𝑂𝐴，𝑂𝐵，𝑂𝐶，若△𝑂𝐵𝐶的周长为16，求𝑂𝐴的长．解：（1）𝐴𝐷=𝐵𝐷（2）因为𝑙1是𝐴𝐵的垂直平分线，𝑙2是𝐴𝐶的垂直平分线，所以�

�𝐷=𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐸，因为△𝐴𝐷𝐸的周长为6，所以𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐴𝐸=6，所以𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐸+𝐶𝐸=𝐴𝐷+𝐷𝐸+𝐴𝐸=6（3）因为𝑙1是𝐴𝐵边的垂直平分线，𝑙2是𝐴𝐶边的垂直平分线，所以𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝐶=

𝑂𝐴，9因为△𝑂𝐵𝐶的周长为16，所以𝑂𝐵+𝑂𝐶+𝐵𝐶=16，所以𝑂𝐵+𝑂𝐶=16−𝐵𝐶=16−6=10，所以𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=5．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】（1）因为𝐴𝐵的垂直平分线𝑙1交BC于点D，

所以AD=BD，故答案为：AD=BD【思路点拨】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐶𝐸，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；（3）先根据垂直平分线的性质可得𝑂𝐵=𝑂𝐴，𝑂𝐶=𝑂𝐴，再根据三角形的周长公式可得�

�𝐵+𝑂𝐶=10，由此即可得出答案．类型四、角的平分线如图，𝛥𝐴𝐵𝐶的角平分线𝐵𝐷、𝐶𝐸相交于点𝑃．（1）若∠𝐴𝐵𝐶=50°,∠𝐴𝐶𝐵=70°，则∠𝐴=________°；（2）试探究∠𝐷𝑃𝐶与∠𝐴之间的数量关系并说明理由．解：（1）∠𝐴=60

∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为:60．（2）∠DPC=90°-12∠A，理由：∵∠𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝑃，∴∠1=12∠𝐴𝐵𝐶,∠2=12∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐵𝑃𝐶=180°−∠1−∠2=180

°−12∠𝐴𝐵𝐶−12∠𝐴𝐶𝐵=180°−12(∠𝐴𝐵𝐶+10∠𝐴𝐶𝐵)∵∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵=180°−∠𝐴∴∠𝐵𝑃𝐶=180°−12(180°−∠𝛢)=90°+12∠𝐴，∴∠DPC=180°-（90°+12∠

A）=90°-12∠A．故答案为：90°-12∠A．【思路点拨】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=

180°-12（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+12∠A，再根据平角的定义解答即可．【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BF⊥AC于

点F，交AD于点E，连接CE．（1）求证：BE＝CE；（2）若AE＝2BD，求∠BAC的度数．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BE＝CE（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝C

D，∴BC＝2BD，又∵AE＝2BD，∴AE＝BC，∵BF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠DAC，11在△AEF和△BCF中，{∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝐹𝐶=90°∠𝐷𝐴𝐶=∠

𝐶𝐵𝐹𝐴𝐸=𝐵𝐶，∴△AEF≌△BCF（AAS），∴AF＝BF，又∵BF⊥AF，∴∠BAC＝45°．【思路点拨】（1）根据角平分线的性质以及等腰三角形三线合一定理，即可得到答案；（2）根据等腰三角形的性质结合余角的性质证明△AEF≌△BCF，根

据全等三角形的性质计算得到答案即可。【变式】如图，点F是△ABC的边BC延长线上的一点，且AC=CF，∠ABC和∠A𝐶𝐹的平分线交于点P.求证：（1）点P在∠DAC的平分线上；（2）CP垂直平分AF.（1）证明：如图，过P作PE⊥BD于E，PG⊥A

C于G，PH⊥BC于H12∵P在∠ABC的角平分线上∴PH=PE∵P在∠ACF的角平分线上∴PG=PH∴PG=PE∴点P在∠DAC的平分线上（2）证明：∵P在∠ACF的角平分线上∴∠ACP=∠PCF∵AC=CF∴CP垂直

平分AF.【思路点拨】（1）根据角平分线的性质和判定即可解题；（2）根据等腰三角形三线合一即可证明。