【文档说明】四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期6月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.740 MB，由管理员店铺上传

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成都七中高2025届高二下期6月阶段性检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回

答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．3．考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管．4．试卷满分：150分，考试时间：120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题

5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若R上的可导函数()yfx=在0xx=处满足()()000lim32xfxxfxx→+−=，则()0fx=（）A.6B.32

C.3D.232.已知向量()()1,2,3,1,0,2ab=−=，则向量a在向量b上的投影向量c的坐标为（）A.()1,2,3−B.()1,0,2C.()5,0,25D.()1,2,03.已知等比数列na的前n项和为135246,1,2nSaaa

aaa++=++=，则126SS−=（）A18B.54C.128D.1924.直线()():211850lmxmym+++−−=，被圆22:(2)(1)25Cxy−+−=截得最短弦长为（）A.46B.26C.223D.235.三个数22ln

eln3,ln2,e3abc===的大小顺序为（）A.bcaB.acbC.cabD.abc6.给图中,,,,ABCDE五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案..的A.48B.60C.

72D.847.已知椭圆：22221(0)xyabab+=的左焦点为1F，离心率为3,2MN、为椭圆上关于y轴对称的两点，855MN=，若11MFNF⊥，则椭圆方程为（）A22182xy+=B.2214xy+=C.22128xy+=D.2214y

x+=8.已知曲线1lnyxa=与eaxy=的两条公切线的夹角的正切值43，则2a的值为（）A.3eB.1eC.23eD.21e二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6

分，部分选对得部分分，错选得0分．9.已知()()11,35PAPBA==，若随机事件,AB相互独立，则（）A.()14PB=B.()115PAB=C.()215PAB=D.()1315PAB+=10.下

列说法中正确的是（）A.已知随机变量X服从正态分布()22,N且(4)0.9PX=，则(02)0.6PX=B.甲、乙、丙、丁到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“甲

独自去一个景点”，则()29PAB=C.五名学生去四个地方参加志愿者服务，每个地方至少有一名志愿者，则不同的方法共有240种D.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有30种11.已知抛

物线2:2(0)Cypxp=焦点为F，过抛物线C上一点()2,2A作两条斜率之和为0的直线，与C的另外两个交点分别为MN、（均在A点下方），则下列说法正确的是（）.的A.C的准线方程是12x=−B.若圆M与以2p为半径的圆F外切，则圆M与x轴相切C.直线MN的斜率为定值12−D.AMN

的面积最大值为6439三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在61xx−展开式中常数项是______.13.某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年

利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式12ln9yxxx=−−+，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元.14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,,12，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______.四、解

答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列na的前n项和为()2*51,22nnSSnnn=−N.（1）求na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，

求数列nb的前n项和nT.16.某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立.（1）从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产

品为合格品的概率；（2）从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列和方差.17.如图，已知在平行六面体1111ABCDABCD−中，所有的棱长均为2，侧面11DCCD⊥底面1π,,3

ABCDDDCDABE==为11CD的中点，1113CFCC=．的（1）证明：平面1ACE⊥底面ABCD；（2）求平面1AEF与平面ABCD所成角的余弦值.18.已知函数()()1ln,fxxaxgxxx=−=+.（1）讨论函数()

fx的单调性；（2）设函数()()()()hxfgxfx=−，证明：当2e12a−时，函数()hx在1,2a+上只有1个零点.19.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为33.（1）求双曲线E的标准方程；（2）若直线l与E的右

支及渐近线的交点自上而下依次为CABD、、、，证明：ACBD=；（3）求二元二次方程2231xy−=的正整数解()()*,,,nnnnnQxyxynN，可先找到初始解()11,xy，其中1x为所有解nx中的最小值，因为()()2212323231=+−=−，所以()12,1Q；因为()(

)22221(23)(23)743743734=+−=+−=−，所以()27,4Q；重复上述过程，因为(23)n+与(23)n−的展开式中，不含3的部分相等，含3的部分互为相反数，故可设()()()()2212323333nnnnnnnnxyxyxy=+−=+−=−，所以(),nn

nQxy.若方程E的正整数解为(),nnnQxy，则1nnOQQ+△的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.成都七中高2025届高二下期6月阶段性检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上．2．回答选择题时

，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．3．考试

结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管．4．试卷满分：150分，考试时间：120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若R上的可导函数()yfx=在0xx=处满足()()000lim32xfxxfxx→+

−=，则()0fx=（）A.6B.32C.3D.23【答案】A【解析】【分析】根据函数在某点处的导数定义即可求解.【详解】因为()()()()000000011limlim()3222xxfxxfxfxxfxfxxx→→+−+−

===，所以0()6fx=，故选：A.2.已知向量()()1,2,3,1,0,2ab=−=，则向量a在向量b上的投影向量c的坐标为（）A.()1,2,3−B.()1,0,2C.()5,0,25D.()1,2,0【答案】B【解析】【分析】利用投影向量

的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得a在b上的投影向量的坐标.【详解】已知空间向量()()1,2,3,1,0,2ab=−=，则a在b上的投影向量c为()2106cos,1,0,2104babbabaaba

bbabbb−++===++()1,0,2=.故选：B.3.已知等比数列na的前n项和为135246,1,2nSaaaaaa++=++=，则126SS−=（）A.18B.54C.128D.192【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的定义结合求和定

义，可得答案.【详解】设等比数列na的公比为q，则()135246aaaqaaa++=++，解得2q=．()661267812126232192SSaaaaaa−=+++=+++==．故选：D.4.直线()():211850

lmxmym+++−−=，被圆22:(2)(1)25Cxy−+−=截得最短弦的长为（）A.46B.26C.223D.23【答案】C【解析】【分析】先求得直线l所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():211850lmxm

ym+++−−=，即()2850xymxy+−++−=，由28050xyxy+−=+−=，解得3,2xy==，设()3,2D，由于()()223221225−+−=，所以D在圆C内，圆22:(2)(1)25Cxy−+−=的圆心为(

)2,1C，半径=5r，如图：当CDAB⊥时，AB最短，22112CD=+=，所以弦长AB的最小值为()22252223−=.故选：C5.三个数22lneln3,ln2,e3abc===的大小顺序为（）

A.bcaB.acbC.cabD.abc【答案】D【解析】【分析】首先将,,abc化成统一形式，构造函数()lnxfxx=()0x，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得2222lnelneeea==，ln2ln4ln224b===，ln33c=

；设()lnxfxx=，则21ln()xfxx−=，当0ex时，()0fx，所以()fx单调递增，当ex时，()0fx，所以()fx单调递减，又2e34e，所以2(3)(4)()

fffe，即22lneln4ln343e，所以abc.故选：D6.给图中,,,,ABCDE五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的

染色方案.A.48B.60C.72D.84【答案】C【解析】【分析】分为,BD同色，且,EC同色；,BD同色，而,EC不同色；,EC同色，而,BD不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.

【详解】由题意知，A与,,,BCDE任意一点均不同色.只用3种颜色，即,BD同色，且,EC同色，此时不同染色方法的种数为34A24=；用4种颜色，此时可能,BD同色，而,EC不同色或,EC同色，而,BD不同色.若,BD同色，而,EC不同色，此时不同染色

方法的种数为44A24=；若,EC同色，而,BD不同色，此时不同染色方法的种数为44A24=.根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为24242472++=.故选：C7.已知椭圆：22221(0)xyabab+=的左焦点为1F，离心率为3,2MN、为椭圆上关于y轴对称的两点，

855MN=，若11MFNF⊥，则椭圆方程为（）A.22182xy+=B.2214xy+=C.22128xy+=D.2214yx+=【答案】B【解析】【分析】由题意得045,5My，045,5Ny−，根

据11MFNF⊥得220165yc=−，由点045,5My在椭圆上得20221615yab+=，再结合32ca=消元解方程即可求得24a=，得解.【详解】根据MN、为椭圆上关于y轴对称的两点，855

MN=，设045,5My，则045,5Ny−，因为1(,0)Fc−，11MFNF⊥，所以11001454555MFNFyykkcc==−+−+，所以220165yc=−，根据点045,5My在椭圆22221(0)xyabab+=

上得20221615yab+=，所以2221616515cab−+=，又椭圆的离心率为32，所以32ca=，2212baca=−=，所以22216316541154aaa−+=，解得24a=，则21b=，所以

椭圆方程为2214xy+=.故选：B8.已知曲线1lnyxa=与eaxy=的两条公切线的夹角的正切值43，则2a的值为（）A.3eB.1eC.23eD.21e【答案】C【解析】【分析】由两曲线互为反函数，结合反函数性

质及正切函数倍角公式，可求得两条公切线的夹角一半的正切值，即可求得直线AD的斜率.设点A的横坐标为1x，切点D的横坐标为2x，由导数法分别就A、D两点求同一条切线方程，从而建立方程，化简求值.【详解】eax

y=与1lnyxa=互为反函数，图象关于直线yx=对称，由题意可知0a，0a不符合题意，如图所示，由题意，设两条公切线的夹角为2，其正切值为22tan4tan21tan3==−，解得1tan2=或tan2=−，又为锐角，所以1tan2=.由对称性，不妨取公切线AD直线进行研究，

则直线AD的倾斜角π4=+，π1tantantan341tank+==+==−.设点A的横坐标为1x，切点D的横坐标为2x，则()11,eaxAx，1e3axADka==，∴()11:e3axADlyxx−=−，即

113e3axyxx=++.所以221,lnDxxa，213ADkax==，()221:ln3ADlyxxxa−=−，即2213ln3yxxxa=+−.∴11221e3ln3axxxxa−=−，则1122e3ln3axaaxxax−=−，即1233ln1axx−=−，则12

3ln4axx+=，所以123ln4eeaxx+=，即()1133342213ee=e3axaxxxaa==，所以223ea=.故选：C【点睛】方法点睛：公切线问题，一般可在两曲线上设出切点，分别求出切线，利用两切线为同一条切线得出方程，从而进一步求解.二

、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，错选得0分．9.已知()()11,35PAPBA==，若随机事件

,AB相互独立，则（）A.()14PB=B.()115PAB=C.()215PAB=D.()1315PAB+=【答案】BD【解析】【分析】借助条件概率公式和独立事件概率乘法公式可得A,B,C，借助()()()()PABPAPBPAB+=+−与独立事件概率乘法公式计算可得D.【详解】因

为A,B相互独立，所以()()()()1|5PABPBPBAPA===,故A错误；因为()()()111|3515PABPAPBA===,故B正确；因为()()()()()()()()12|1133PABPAPBPABPAPAPBPB====−=

−=，故C错误；()()()()()()()()141413353515PABPAPBPABPAPBPAPB+=+−=+−=+−=，故D正确.，故选：BD10.下列说法中正确的是（）A.已知随机变量X服从正态分布()22

,N且(4)0.9PX=，则(02)0.6PX=B.甲、乙、丙、丁到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，则()29PAB=C.五名学生去四个地方参加志愿者服务，每

个地方至少有一名志愿者，则不同的方法共有240种D.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有30种【答案】BCD【解析】【分析】利用正态曲线的对称性求解判断A，利用条件概率公式求解判断B，利用不同元素的分组分配求解判断C，根据分类

计数原理，借助排列、组合计算判断D.【详解】对于A，因为随机变量X服从正态分布()22,N且(4)0.9PX=，所以()()2440.50.4PXPX=−=＜，所以()()02240.4PXPX==＜＜，故A错误；对于B，因为事件A=“4个人去的景点互不相同

”，事件B=“甲独自去一个景点”，所以由题意得4134444AC3(),()44PABPB==，所以()()()44134A2C39PABPABPB===，故B正确；对于C：先将5人分成人数为2,1,1,1的四组，再将分好的四组安排到四个地方，则不同的安排方法有311145321

433CCCC240AA=种，故C正确；对于D，由题可知，当丙站在左端时，有33A6=种站法，当丙不站在左端时，有123223CAA24=种站法，由分类加法计数原理得，一共有62430+=种不同的站法，故D正确，

故选：BCD11.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过抛物线C上一点()2,2A作两条斜率之和为0的直线，与C的另外两个交点分别为MN、（均在A点下方），则下列说法正确的是（）A.C的准线方程是12x=−B.若圆M与以

2p为半径的圆F外切，则圆M与x轴相切C.直线MN的斜率为定值12−D.AMN的面积最大值为6439【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出抛物线C方程，结合斜率坐标公式及抛物线定义即可判断ABC，设直线MN的方程，与抛物线方程联立，韦达定理，

求出弦长及点A到直线MN的距离，求出AMN的面积，利用导数求解最大值即可.【详解】依题意，2222p=，解得1p=，即抛物线C：22yx=，故焦点1(,0)2F，准线方程12x=−，A正确；设1122(,),(,)MxyNxy，显然1212,2,2xxxx，直线AM的斜率111211122

22222yxkyyy−−=−=−+=，同理直线AN的斜率2222ky=+，由120kk+=，得1222022yy+=++，解得124yy+=−，因此直线MN的斜率12212kyy==−+，C正确；圆2211:()24Fxy−+=，令圆M的半径为r

，由圆M与圆F相外切，得1||2MFr=+，而112MFx=+，于是1xr=，即圆M的圆心到y轴的距离为圆M的半径，则圆M与直线0x=相切，B错误；设直线MN为20xyt++=，由2202xytyx++==

消去x得：2420yyt++=，Δ1680t=−，即2t，则124yy+=−，122yyt=，()2212121242542MNyyyyt=++−=−，而点A到直线20xyt++=的距离65td+=，的又点A在直线20xyt++=的上方，所以60t+

，所以6t−，所以62t−，则AMN的面积()()26112542426225tSMNdttt+==−=−+3222024144ttt=−−−+，令()3222024144,62fttttt=−−

−+−，则()()()2640242632fttttt=−−−=−++，当223t−时，()0ft；当263t−−时，()0ft；所以()ft在2,23−上单调递减，在26,3−−上单调递增，所以()2264327ft

f−=，所以6439S，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可

首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在61xx−的展开式中常数项是______.【答案】15【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，令3302r−=，即可求出r，再代入计算可得.

【详解】二项式61xx−展开式的通项公式为63321661C()(()=C1)rrrrrrrTxxx−+−=−−，的的令3302r−=，求得2r=.所以展开式中常数项为()226C115−=

.故答案为：1513.某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式12ln9yxxx=−−+，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元.【答案】4【解析】【分析】利用导数

研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值.【详解】依题意12ln9yxxx=−−+，且010x，()()222243112121xxxxyxxxx−++−++==−+=，又010x，所以当4x=时，0y

=，当()0,4x时，0y，函数12ln9yxxx=−−+在()0,4上单调递增；当()4,10x时，0y，函数12ln9yxxx=−−+在()4,10上单调递减.所以当4x=万元时，函数取得最大值.故答案为：414.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1

,2,,12，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______.【答案】5455【解析】【分析】求出从12个球中任取3个球的方法数，并求出取出的3个球的标号之和能被3整除的方法数，得出的所有可能取值，再求

出()0P=，()1P=，()2P=，最后利用数学期望的计算公式求数学期望即可.【详解】从12个球中任取3个球有312C220=种不同的方法，1到12中能被3整除的有3,6,9,12，除3余1的有1,4,7,10，除

3余2的有2,5,8,11，由题意知的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有：①标号被3整除的球中取3个有34C4=；②标号被3除余数为1的球取3个有34C4=；③标号被3除余数为2的球取3个有

34C4=；④标号被3整除和除3余1和除3余2的三类球各取1个有111444CCC64=.则()4446419022055P+++===．取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有：①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个有1

244CC24=；②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个有1244CC24=；③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个有1244CC24=.则()24242418122055P++==

=.取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个有1244CC24=；②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个有1244CC24=；③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个

有1244CC24=，则()24242418222055P++===，所以()1918185401255555555E=++=．故答案为：5455.【点睛】关键点点睛：本题以球的抽取为背景考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的数学期

望等知识，解题的关键性是分类要不重复不遗漏，考查了学生逻辑思维能力、数据处理能力.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列na的前n项和为()2*51,22nnSSnnn=−N.（

1）求na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）5n3na=−，*nN（2）104nn+【解析】【分析】（1）利用na与nS之间的关系即可求解；（2）由（1）得11155352nbnn=−−+，进而利用裂项相消法即可求解.【小问1

详解】*nN，有25122nSnn=−，当2n时，有()2151(1)122nSnn−=−−−，两式相减得()2215151(1)1532222nnnaSSnnnnn−==−−−−−=−−，当1n=时，由25122nSnn=−，得12a=，检验：当1n=时也满足5n3na=

−，所以*53nann=−N【小问2详解】由（1）知，()()111111535255352nnnbaannnn+===−−+−+，所以12nnTbbb=+++111111111527571255352nn=−+−++−

−+()1115252252104nnnnn=−==+++，所以104nnTn=+.16.某企业研发一种新产品，要用A与B两套设备同时生产，已知设备A的生产效率是设备B的2倍，设备A生产的新产品合格率为0.9，设备B生产新产品合格率为0.6，

且设备A与B生产的新产品是否合格相互独立.（1）从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率；（2）从某批新产品中随机抽取4件，设X表示合格品的件数，求X的分布列和方差.【答案】（1）0.8（2）分布列见解析，1625【解析】【分析】（1）利用全概率公

式可求出结果；（2）由题意44,5XB，根据二项分布的概率公式及方差公式计算可得.【小问1详解】设事件C表示“随机抽取一件新产品，来自设备A生产”，事件C表示“随机抽取一件新产品，来自设备B生产”，事件D表示

“随机抽取一件新产品为合格品”，因为设备A的生产效率是设备B的2倍，所以2()3PC=，1()3PC=，(|)0.9PDC=，(|)0.6PDC=，所以()()()()()PDPCPDCPCPDC=+21

0.90.60.833=+=，所以所抽产品为合格品的概率为0.8.小问2详解】X表示抽取合格品的件数，X的可能取值为0、1、2、3、4，则由题意44,5XB，则()04044110C55625PX===，()131441161C55625PX

===，()222441962C55625PX===，【()334412563C55625PX===，()4044412564C55625PX===，所以X的分布列为：X0

1234P16251662596625256625256625所以()411645525DX==.17.如图，已知在平行六面体1111ABCDABCD−中，所有的棱长均为2，侧面11DCCD⊥底面1π,,3ABCDDDCDABE==为11CD的中点，1113CFCC=．（1）证明：

平面1ACE⊥底面ABCD；（2）求平面1AEF与平面ABCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21111【解析】【分析】（1）连接CE，根据菱形性质得ECDC⊥，再利用面面垂直的性质定理

得EC⊥底面ABCD，最后利用面面垂直的判定定理证明；（2）取DC中点为O，连接1,DOOB，利用等边三角形的性质及面面垂直的性质得1,,DOOBOC两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面1AEF的一个法向量(),,mxyz=，平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n=，设平

面1AEF与平面ABCD的夹角为，由coscos,mnmnmn==求解.【小问1详解】连接CE，在菱形11DCCD中，因为1π3DDC=，E为11CD的中点，所以11ECDC⊥，所以ECDC⊥，又因为侧面11DCCD⊥底面ABCD，侧面11DCCD底面A

BCDDC=，EC侧面11DCCD，所以EC⊥底面ABCD，又EC平面1ACE，所以平面1ACE⊥底面ABCD；【小问2详解】连接1,DCBD，取DC中点为O，连接1,DOOB，因为11π2,3DDDCDDC===

，故三角形1DDC为等边三角形，则1DODC⊥，因为侧面11DCCD⊥底面ABCD，侧面11DCCD底面ABCDDC=，1DO侧面11DCCD，所以1DO⊥底面ABCD，又,OBOC底面ABCD，所以1DOOB⊥，1DOOC⊥，在三角形BDC中，因为

π2,3BCDCDCBDAB====，故三角形BDC为等边三角形，则BODC⊥，所以1,,DOOBOC两两垂直，则以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，1OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.又13232OBOD===，故1(3,2,0)

,(0,1,0),(0,0,0),(0,2,3)ACDC−，1(3,1,3),(0,1,3)AE−，因为1113CFCC=，所以523(0,,)33F，()1230,,,3,2,033EFEA=−=−，因

为1DO⊥底面ABCD，所以取平面ABCD的法向量为(0,0,1)n=；设平面1AEF的一个法向量为(),,mxyz=，由100EAmEFm==，得32023033xyyz−=−=取2x=，则()2,3,2m=；设平面1AEF与平面ABCD的夹角为，则2211cosc

os,1111mnmnmn====，故平面1AEF与平面ABCD所成角的余弦值为2111118.已知函数()()1ln,fxxaxgxxx=−=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设函数

()()()()hxfgxfx=−，证明：当2e12a−时，函数()hx在1,2a+上只有1个零点.【答案】（1）0a时，()fx在(0,)+上递增；0a时，()fx在(0,)a上递减，在(,)a+上递增；（2）证明见解析【解析】【分

析】（1）利用导数，并讨论0a、0a时()fx的符号研究单调性；（2）令()10,2tax=，设()()2ln1kttat=−+，求导函数，分()10,tx，()2,2txa和()12,txx讨论，结合零点存在定

理以及函数的相关性质，证明结论.【小问1详解】因为()ln,0fxxaxx=−，()1axafxxx−=−=且0x，当0a时，()0fx，()fx在(0,)+单调递增；当0a时，由()0fx，可得0xa时，由()0fx，可得xa，所以

函数()fx在(0,)a上单调递减，在(,)a+上单调递增；故0a时，()fx(0,)+上递增；0a时，()fx在(0,)a上递减，在(,)a+上递增；【小问2详解】当2e12a−时，()()()()2211lnxhxfgxfxaxx+=−=−，令()1

0,2tax=，设()()2ln1kttat=−+，则()22211tatktt−+=+，因为22e14a−，所以224e14a−，则方程2210tat−+=有两个不同点根22121,1xaaxaa=−−=+−，由221aaa+−得1202xxa，当10tx时，(

)0kt，()()()100kxktk=，所以()10,tx时，()ykt=无零点；当()2,2txa时，()0kt，()ykt=单调递增，()()()2222ln412lne0kaaaaaa=

−+−=，在()()220kxka，所以()2,2txa时，()ykt=无零点；当()12,txx时，()0kt，()ykt=单调递减，()()120kxkx，所以()12,txx时，()ykt=只有1个零点；

综上，函数()ykt=在()0,2a只有1个零点，即函数()hx在1,2a+上只有1个零点.19.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为33.（1）求双曲线E的标准方程；（2）若直线l与E的右支及渐近线的交点自上而下依次

为CABD、、、，证明：ACBD=；（3）求二元二次方程2231xy−=的正整数解()()*,,,nnnnnQxyxynN，可先找到初始解()11,xy，其中1x为所有解nx中的最小值，因为()()2212323231=+−=−，所以()1

2,1Q；因为()()22221(23)(23)743743734=+−=+−=−，所以()27,4Q；重复上述过程，因为(23)n+与(23)n−的展开式中，不含3的部分相等，含3的部分互为相反数，故可设()()()()2212323333nnnnnnnnxyxyxy=+−

=+−=−，所以(),nnnQxy.若方程E的正整数解为(),nnnQxy，则1nnOQQ+△的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.【答案】（1）22112yx−=（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据

双曲线,,abc关系和渐近线、实轴相关概念进行列式计算即可求解.（2）分别联立直线l与E及其渐近线方程求出C、A、B、D的坐标或坐标的关系，进而得出线段,ABCD的中点重合，即可得证.（3）结合题目所给的循环构造的方法得,nnxy，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解.【小问1详

解】由题意222223322ababacab=+==+，解得22112ab==，所以双曲线E的标准方程为22112yx−=；【小问2详解】由题意直线l的斜率不为0，设直线:lxmyt

=+，因为直线l与E的右支交于两点，所以0t，联立2221xmytxy=+−=得()2222210mymtyt−++−=，所以222ABmtyym+=−−，且()22Δ4220mt=+−，即2222mt−，联

立2220xmytxy=+−=得()222220mymtyt−++=，所以222CDmtyym−+=−，所以222CDABmtyyyym+=−=+−，即线段,ABCD的中点重合，所以ACBD=.【小问3详解】由题意得方程2221xy−=的初始解为()3,2，则根据循环构造原理得()()2

322,2322nnnnnnxyxy+=+−=−，从而()()()()12322322,32232224nnnnnnxy=++−=+−−，记(),nnnOQxy=，则()111,nnnOQxy+++=，设nOQ，1nOQ+的夹角为，则1nnOQQ+△的面积122211

11sinsin22nnOQQnnnnSOQOQOQOQ+++==22222111cos2nnnnOQOQOQOQ++=−()2221112nnnnOQOQOQOQ++=−()()()22222111112nnnnnnnnxyxyxxyy++++=++−+1112nnnnx

yxy++=−，令()()322,322nnab=+=−，1ab=，则()()()()()()1232232232232216nnOQQSabababab+=++−−−−++−282116ab==，于是1nnOQQ+△的面

积为定值1.【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略：首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.