【文档说明】辽宁省沈阳市第二中学2020届高三下学期第五次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，1.895 MB，由小赞的店铺上传

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沈阳二中2019-2020学年度下学期高三第五次模拟考试理科数学一､选择题1.已知集合()2log5Mxyx==−，1,0Nyyxxx==+，则MN（）.A.(),5−B.)2,+

C.)2,5D.()5,+【答案】B【解析】【分析】根据对数的含义可得5Mxx=，求出函数()1,0yxxx=+的值域，可得2Nyy=，再根据并集运算，即可求出结果.【详解】令-50x，即5x

，故5Mxx=；当0x时，12yxx=+，当且仅当1x=时等号成立，故2Nyy=；故)2,MN=+.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，同时考查了对数的含义和函数值域的求法，属于基础题.2.若复数1zi=+，则zzi=（

）A.0B.2C.2iD.2i−【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算即可.【详解】2(1)(1)222zziiiiiiii+−====−.故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，考查学生的基本计算能力

，是一道容易题.3.已知向量a与b不共线，且0ab=rr，则下列结论正确的是（）A.向量ab+与ab−垂直B.向量ab−与a垂直C.向量ab+与a垂直D.向量ab+与ab−共线【答案】A【解析】【分析】如图所示，作,OAaOCb==，以OA和OC为

邻边作四边形OABC，确定四边形OABC是菱形，得到答案.【详解】如图所示，作,OAaOCb==，以OA和OC为邻边作四边形OABC.由于0ab=rr，则四边形OABC是菱形，所以必有ACOB⊥.又因为,a

bOBabCA+=−=，所以()()abab+⊥−.故选：A.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和

数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有

九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为na，则3a=（）A.17B.29C.23D.35【答案】B【解析】【分析】由已

知可得{}na为等差数列，由9S，求出5a，再结合公差，即可得出结论.【详解】依题意{}na为等差数列，且3d=−，199559()9207,232aaSaa+====，35229aad=−=.故选：B.

【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n项和以及通项的基本量运算，属于基础题.5.设12log3a=,0.213b=,132c=,则（）A.abcB.cbaC.cabD.bac【答案】B【解析】【分析】根据与特殊点的

比较可得因为1230alog=,01b,1c,从而得到cba,得出答案.【详解】解:因为11223log10alog==,0.20110331b==,1133212c==,所以cba.故选:B【点睛】本题主要

考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如1aloga=,log10a=,01a=.6.如果函数3sin(2)6yx=++的图象关于直线x=对称,那么取最小值时的值为（）A.6B.3−C.3D.6−【答案】A【解析】【分

析】根据三角函数的对称性可得262k++=+,整理得162k−=+,结合取最小值时,即可得出的值.【详解】解:函数3sin(2)6yx=++的图象关于直线x=对称,所以262k++=+,即162k−=+,取最小值时6π=.故选:A【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（）A.若//m，//n，则//mnB.若//nm，n⊥，则m⊥C.若//m，//n，mn⊥，则⊥D.若//m，n⊥，

//mn，则//【答案】B【解析】【分析】根据直线与平面的平行、垂直的判定定理与性质定理依次分析每个选项的正误即可.【详解】对于选项A，若//m，//n，则m与n平行，相交或者异面，故A错误；对于选项B，若//nm，n⊥，则m⊥，故B正确；对于选项C，若//m，//n

，mn⊥，则与也可以平行，故C错误；对于选项D，若n⊥，//mn，所以m⊥，因为//m，则与垂直，故D错误.【点睛】本题主要考查直线与平面的平行的判定定理与性质定理，直线与平面的垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.8.下

图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（）A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B.公共类电动汽车充电桩保有量的中

位数是25.7万台C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D.从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%【答案】D【解析】【分析】根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.

8100%687.5%0.8−=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2−，A错误；对于B，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B错误；对于C，公

共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C错误；对于D，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D正确.故选：D.【点睛】本题考查根据统计图

表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.9.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若34A=，3tan4C=，2b=，则ABC的面积S=（）．A.6B.4C.32D.22【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件求

出sinC，cosC，利用三角形的内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinB，再利用正弦定理求出c，最后利用三角形的面积公式求ABC的面积即可.【详解】34A=，由：3tan4C=，22sincos1CC+=，3sin5C=，4cos

5C=，sinB=322sin()sin(cossin)4210ACCCC+=+=−=.由正弦定理sinsinbcBC=，得232510c=，解得62c=，故ABC的面积1sin62SbcA==，故选：A.【点睛】本题主要考查同角

三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、正弦定理的应用、三角形的面积公式，考查数学运算核心素养.10.已知函数()cossin36gxxx=+++，设函数()()214fxxgx=+，函数()fx的导函数为()'fx，则

函数()'fx的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简()gx，再求()'fx，最后根据函数奇偶性以及函数值正负进行确定选项.【详解】()cossin36gxxx=+++Qcoscossinsinsinco

scossin6633xxxx++=−1313cossincossincos2222xxxxx=−++=,()21cos4fxxx=+则()1sin2fxxx=−.()()fxfx−=−Q，函数()fx为奇函数，排除选项,BD，又1106262

f=−.所以舍C，故选A.【点睛】本题考查函数图象以及函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属中档题.11.在三棱锥ASBC−中，10AB=，4ASCBSC==，ACAS=，BCBS=，若该三棱锥的体积为153，则三棱锥SABC−外接球的体积为（）A.

B.43C.5πD.3【答案】B【解析】【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD．根据已知条件可以推出O为棱锥SABC−外接球的球心，再根据13ASBCSOABSCOBOABVV

VSCS−−−=+=计算可得.【详解】如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD．因为4ASCBSC==，ACAS=，BCBS=，所以90SACSBC==，所以OAOBOCOS===．所以O为棱锥SABC−

外接球的球心，设半径为R，又⊥ODAB，且10AB=，所以102ADDB==，252ODR=−，则211102522OABSABODR==−．又由SCOA⊥，SCOB⊥且OAOBO=可证SC⊥平面OAB，所以

2111510252323ASBCVRR−=−=，解得3R=．所以外接球的体积()343433V==．故选：B．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，解题关键是找到球心，属于基础题.12.已知线段AB是过抛物线22(

0)ypxp=的焦点F的一条弦，过点A（A在第一象限内）作直线AC垂直于抛物线的准线，垂足为C，直线AT与抛物线相切于点A，交x轴于点T，给出下列命题：（1）2AFxTAF=；（2）TFAF=；（3）ATCF⊥.其中正确的命题个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【

分析】根据抛物线的定义得到AFAC=，然后判断出过A点的抛物线的切线垂直CF，进而判断出三个命题正确.【详解】根据抛物线的定义可知AFAC=，由于AC垂直抛物线的准线，所以//ACx轴，所以AFxCAF=

.设200,2yAyp，则0,,,022ppCyF−，设D是CF的中点，则00,2yD.所以直线AD的方程为()0002020202yyyyxyp−−=−−，即00

2ypyxy=+.由00222ypyxyypx=+=消去y并化简得22202004ypxpxy−+=，其判别式222020404yppy=−=，所以直线AD与抛物线相切，故直线AD与直线AT重合.由于D是CF的中点，所以ADCF⊥，也即ATCF⊥，命题（3）成立.根据等腰

三角形的性质可知2CAFTAF=，所以2AFxTAF=，命题（1）成立.由于//ACx轴，所以CATFTA=，所以FTATAF=，所以TFAF=，命题（2）成立.综上所述，正确的命题个数为3个.故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和抛物线的切线

方程，属于中档题.二､填空题：13.已知函数13log,02,0xxxfxx（）=，则9ff（）的值是______．【答案】14【解析】【分析】逐层计算，先计算9f（），再计算9ff（）的值．【详解】解：因为9＞0，所以()13992flog==−，

又-2＜0，所以219224fff−=−==（）（）．故答案为14．【点睛】本题考查分段函数的函数值问题，要注意定义域，由内向外计算，属于基础题．14.若31()2nxx−的展开式中第四项为常数项，则n=.【答案】5【解析】【详解】试题分析：先将题

中二项式进行化简得，1132311()()22nnxxxx−−=−，由题意1133332311()()2nnTCxx−−+=−为常数项，则11(3)()3023n−+−=，解得5n=.考点：1.二项式定理的应用；2.二

项式的通项、系数、次数.15.已知双曲线222:1(0)4xyCbb−=的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，若2PBAPAB=+，则双曲线C的焦距为_________．【答案】42【解析】【分析】由2PBAPAB=+可得1PAPBkk=，再结合斜率

公式及双曲线方程求解即可.【详解】解：由2PBAPAB=+，则1PAPBkk=．设()00,Pxy，则20020001224yyyxxx==+−−．∵点P在双曲线C上，2200214xyb−=，2202044ybx=−，214b=

，即2b=，则焦距为24442+=，故答案为：42．【点睛】本题考查双曲线的性质，重点考查了双曲线焦距的求法，属基础题．16.若函数()(0)fxaxaxaa=−++−不存在零点，则a的取值范围是______.【答案】()0,24(

),+【解析】【分析】函数()(0)fxaxaxaa=−++−不存在零点，转化为方程(0)axaxaa−++=无实根，等价于22222aaax=+−无解，求出22ax−的取值范围，即可求解.【详解】函数要有意义，则需00axax−+，解得

axa−，所以aa−，又0a，所以0a，函数定义域为[,]xaa−，因为函数()(0)fxaxaxaa=−++−不存在零点，所以方程(0)axaxaa−++=无实根，平方可得：22222aaax=+−无实根，

22[0,]axa−Q，2222[2,4]aaxaa+−，因为方程无实根，所以22aa或24aa，解得2a或4a，故答案为：()0,24(),+【点睛】本题主要考查了函数零点，方程的根的判定，转化思想，属于难题.三､解答题17.

如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，ADCD⊥，AB//CD，3,4,5,32ABADCDAEAF=====.（1）证明：DF//平面BCE.（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求cos2

.【答案】（1）证明见解析（2）725−【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为

n，平面CDF的法向量为m，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.【详解】（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，B

F⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四边形BEDF，故DF//BE，因为BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如图空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），

C（0，4，0），F（4，3，﹣3），()()0,4,0,4,3,3DCDF==−，设平面CDF的法向量为mxyz=（，，），由404330mDCymDFxyz===+−=，令x＝3，得()3,0,

4m=，易知平面ABF的一个法向量为()1,0,0n=r，所以35mn=cos＜，＞，故27cos22cos125=−=−.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.18.已知数列na满足：12a=，()1422nna

ann−+=−.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足：()1233721nnnbbbba++++−=，求数列nb的通项公式.【答案】（Ⅰ）2nan=；（Ⅱ）221nnb=−【解析】【分析】（Ⅰ）由()1422nnaan

n−+=−可化为()()12220nnanan−−+−+=，令2nncan=−，推出1nncc−=−，根据nc的特征即可求出.（Ⅱ）根据题意可得()()11231137221nnnanbbbb−−−++++−=，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解.【详解】（Ⅰ）由()1422nna

ann−+=−可化为()()12220nnanan−−+−+=.令2nncan=−，则10nncc−+=，即1nncc−=−.因为12a=，所以1120ca=−=，所以0nc=，即20nan−=，故2nan=.（Ⅱ）由()1233721nnnbbbba+++

+−=，可知()()11231137221nnnanbbbb−−−++++−=，两式作差得()()12122nnnnbaan−−=−=，即()2221nnbn=−.又当1n=时，也112ba==满足上式，故221nnb=−.【点睛】本题

考查了由递推关系式求通项公式以及nS与na的关系，属于中档题.19.如图，已知椭圆222:1xCya+=上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆22:6270Mxyxy+−−+=相切，其中1a.（1）求椭圆的方程；（2）不过点A的动直线l与

椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ⊥，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.【答案】（1）2213xy+=；（2）102−，【解析】【分析】（1）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切关系，根据点

到直线的距离公式构建方程，求得a，即可表示方程；（2）设直线AP的方程为1ykx=+，则直线AQ的方程为11yxk=−+，分别于椭圆联立方程求得交点P、Q的坐标，即可表示直线l的方程，得答案.【详解】（1）由题可知，()()0,1,,0AFc，则直线AF的方程为1xy

c+=，即0xcyc+−=因为直线AF与圆22:6270Mxyxy+−−+=相切，该圆的圆心为()3,1,3r=则223333bcbcaabc+−===+故椭圆的标准方程为2213xy+=（2）因为不过

点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ⊥，即直线AP与坐标轴不垂直也不平行由()0,1A可设直线AP的方程为1ykx=+，则直线AQ的方程为11yxk=−+联立22131xyykx+==+，消去y并整理得()221360kxkx++=，解得0x=或2613kk

−+，因此点P的坐标为22266,11313kkkk−−+++，即222613,1313kkkk−−++将上式中的k换成1k−，得点Q22263,33kkkk−++所以直线l

的斜率为22222223131313664313kkkkkkkkkk−−−−++=+++，即直线l的方程为2222163433kkkyxkkk−−=−+++，化简并整理得21142kyxk−=−，故直线l恒过定点1

02−，【点睛】本题考查椭圆中的过定点问题，还考查了求椭圆的标准方程，属于较难题.20.某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优

秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,pp.（1）若123p=，212p=，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243pp+=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行

多少轮游戏才行？并求此时12,pp的值.【答案】（1）49；（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123pp==.【解析】【分析】（1）小明、小亮获“优秀小组”的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次，分别求出对应概率即可求解；（2）借

鉴（1）的求法化简可得()()221212833Ppppp=−，结合基本不等式得121499pp，令12tpp=，则28()33Phttt==−+，结合二次函数最值和二项分布即可求解【详解】（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明

投中2次，小亮投中2次.故所求概率12212222222221112211221143322332233229PCCCCCC=++=（2）他们在一轮游戏

中获“优秀小组”的概率为()()()()()()()()()222222122122211222122221221212121123PCppCpCpCppCpCppppppp=−+−+=+−因为124

3pp+=，所以()()221212833Ppppp=−因为101p，201p，1243pp+=，所以1113p，2113p，又21212429pppp+=所以121499pp，令12tpp=，以1499t，则28()33Ph

ttt==−+当49t=时，max1627P=，他们小组在n轮游戏中获“优秀小组”次数满足~(,)Bnp由max()16np=，则27n=，所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243pp+=，1249pp=，2123pp==【

点睛】本题考查相互独立事件概率的求法，利用函数和基本不等式求解概率最值，二项分布的应用，综合性强，考查了数学运算，转化与化归思想，属于难题21.已知函数sincs()ofxmxx=+，其中m为常数，且23是函数()fx的极值点．（Ⅰ）求m的值；（Ⅰ）若(1)()xkefx−在0x上恒成立，求

实数k的最小值．【答案】（Ⅰ）2m=；（Ⅱ）13．【解析】【分析】(Ⅰ)先对()fx求导,再利用2()03f=,列式求解m,最后再进行检验即可;(Ⅱ)令()(1)sin2cosxgxkexx=−−+,则题意可转化为()0gx在0x上恒成立,对()gx求导,然后分13k

,103k和0k三种情况,研究()gx的单调性,判断其最小值是否大于0,从而得出结论.【详解】(Ⅰ)sincs()ofxmxx=+,则2cos1()(co)smfxmxx+=+,23是函数()fx的极值点,2()0,1032mf=−=,2m=,又2m=时,2cos12()(2)

cosfxxx+=+,当2(0,)3x时,()0fx,2(,)3x时,()0fx,∴()fx在2(0,)3上单调递增,2(,)3上单调递减,∴23是函数()fx的极大值点,∴2m=符合题意;(Ⅱ)令()(1)sin2cosx

gxkexx=−−+,则()00g=,由题得()0gx在0x上恒成立,2co12(scos)(2)xxxgxke+=−+,令2cos1,3tx=+,则22123211,(2)coscos3ttxx+=−+−+,①当13k时,13

xke,则()0gx,∴()gx在(0,)+上单调递增,∴()()00gxg=,成立;②当103k时,令()()hxgx=,则3sincos2(1)(s)()co2xxxhxexk−=−+,在(0,)x时

,()0hx,∴()hx在(0,)上单调递增,又1(0)03hk=−,1(0)hke=+,则在(0,)上存在唯一0x使得()00hx=,∴当()00,xx时,()0hx,()gx在()00,x上单调递减,()()00g

xg=,不符合题意;③当0k时,在(0,)2x时,()0gx,∴()gx在(0,)2上单调递减,此时()()00gxg=,不符合题意;综上所述,实数k的最小值为13.【点睛】本题考查极值点的应用,考查利用导数研究恒成立问题,有一定

难度.在遇见含参的恒成立问题时,常分离参数,将恒成立问题转化为简单函数的最值问题,或者利用分类讨论法解决问题.22.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：=2cos()3−，曲线C2的参数方程为：4coscos3{(0)2sinsin3xtt

yt=+=+为参数，，点N的极坐标为(4)3，．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有两个不同交点，求正数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）(31,31)−+．【解析】【分析】(1)分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与

圆的几何意义求MN的最小值；(2)根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数t的取值范围．【详解】（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点(2,23)N，曲线1C为圆2213122xy−+−=，圆心为113,22O，

半径为1，∴1ON=3，∴MN的最小值为312−=．（Ⅱ）由已知，曲线1C为圆2213122xy−+−=，曲线2C为圆222(2)(3)(0)xytt−+−=，圆心为2(2,

3)O，半径为t，∵曲线1C与曲线2C有两个不同交点，22131231,022ttt−−+−+，解得3131t−+，∴正数t的取值范围是(31,31)−+．23.

记函数1()212fxxx=++−的最小值为m.（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足abcm=，证明：9abbccaabc++++.【答案】（1）1m=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数()fx转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求

解；（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22xxfxxxxx−+−=−+−−当12x−时，1()22fxf−=，当1122x−，1()12fxf=，当12x时，1

()12fxf=，所以min()1mfx==解法二：（1）113,22311(),222113,22xxfxxxxx−+−=−+−−如图当12x=时，min()1mfx==解法三：（1）111(

)222fxxxx=++−+−111222xxx+−−+−1112x=+−当且仅当11022102xxx+−−=即12x=时，等号成立.当12x=时min(

)1mfx==解法一：（2）由题意可知，111abbccacab++=++，因为0a，0b，0c，所以要证明不等式9abbccaabc++++，只需证明111()9abccab++++，因为331111()339abcabccababc++++=

成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a，0b，0c，所以322230abbccaabc++，330abcabc++，又因为1abc=，所以32223()()339abcabbcacabcabc++++=，()

()9abbcacabc++++所以9abbccaabc++++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111abbccacab++=++，因为0a，0b，0c，所以要证明不等式9abbccaabc++++，只需证明111()9abcabc+++

+，由柯西不等式得：2111111()9abcabcabcabc++++++=成立，所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，

绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.