【文档说明】【精准解析】黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高一4月月考数学试题.doc，共(16)页，1.322 MB，由小赞的店铺上传

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高一学年4月月考数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在ABC中，60B=，3b=，则ABC外接圆的面积是（）A.2B.34C.D.

2【答案】C【解析】分析：利用正弦定理2sinbRB=来求外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.详解：因为2322sin3bRB===，所以1R=，外接圆的面积为21=，故选C.点睛：在三角形ABC中，与外接圆的半径有关的公式是：（1）2sinsinsinabcRABC===

，（2）22sinsinsin4ABCabcSRABCR==.2.设数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4的值为（）A.15B.37C.27D.64【答案】B【解析】【分析】利用1nnnaSS−=−，求得数列的通项公式，从而求得4a.【详解】当2n时，()331

1nnnaSSnn−=−=−−，故33443642737a=−=−=.故选B.【点睛】本小题主要考查已知数列的前n项和公式求数列的通项公式.对于已知数列的前n项和公式nS的表达式，求数列的通项公式na的

题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用11,1,2nnnSnaSSn−==−.另一个方向是如果题目给定nS的表达式中含有na的话，可以考虑将na转化为1nnnaSS−=−，先求得数列nS的表达式，再来求na的表达式.3.若()2,,(3,5),(4,7),amAB=−r且

a在AB方向上的投影为2，则实数m=（）A.32−B.15C.15−D.15+【答案】D【解析】【分析】由向量投影定义及投影值，即可确定m的值.【详解】根据定义可知向量a在向量(1,2)bAB==方向上的投影为2225abmb−+==，解得15m=+.故选:D.【点睛】本题考查了平面向量

投影定义及简单应用，属于基础题.4.在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若sinsinsinaAbBcC+，则ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形【答案】C【解析】【分析

】利用正弦定理化简已知不等式，得到222abc+，利用余弦定理即可得出cos0C，可知C为钝角，从而得出结论．【详解】由正弦定理得：222abc+由余弦定理得：222cos02abcCab+−=()0,CC为钝角，则ABC为钝角三角形本题正确选

项：C【点睛】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理进行边角互化、余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解本题的关键．5.已知非零向量ab，满足2ab=，且bab⊥（–），则a与b的夹角为A.π6B

.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()abb−⊥得出向量,ab的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()abb−⊥，所以2()abbab

b−=−=0，所以2abb=，所以cos=22||122||abbbab==，所以a与b的夹角为3，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围

为[0,]．6.ABC的面积是10，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，12cos13A=，则ABAC=uuuruuur（）A.144B.48C.24D.13【答案】B【解析】由12cos13A=得5sin13A=，因为ABC的面积是10，所以115sin102213ABACAA

BAC==，可得52ABAC=，因此124813ABACABAC==，故选B.7.在等差数列na中，157913100aaaaa++++=，6212aa−=，则1a=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B

【解析】【分析】先由题意求出720a=，设等差数列na的公差为d，求出公差，进而可求出结果.【详解】因为157913100aaaaa++++=，所以75100a=，即720a=，设等差数列na的公差为d

，又6212aa−=，所以412d=，故3d=，所以17620182aad=−=−=故选B．【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.8.在正方形ABCD中，设ABa=，ADb=，已知E，F，G分别是AB，DE，CF的中点，则EG=（）A.1

283ab+B.1384ab−C.1142ab+D.1384ab+【答案】D【解析】【分析】根据几何关系，结合向量的加减法，用a和b表示目标向量即可.【详解】由几何图形可知：1122EGEFFGEDFC=+=+()()111222EAADEA

ADDC=++++1111122422ABADABADAB=−++−++1384ABAD=+.1384ab=+故选：D.【点睛】本题考查向量的加减法，严格利用向量加减法的几何意义即可.9.

已知向量(3,4)a=，(6,)bt=，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是（）A.(8,)+B.9(,8)2−C.9(,)2−+D.9(,8)(8,)2−+【答案】D【解析】【分析】在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零．

由此解得实数t的取值范围．【详解】由题意，得0ab，即1840t+，解得92t−.又当8t=时，两向量同向，应舍去，所以a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是：()9,88,2−+故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积、两个向量共线的关系等知识点，在解决两个向量夹

角为锐角（钝角）的问题时，千万要注意两个向量不能共线，否则会有遗漏而致错．属于基础题．10.在数列na中，1nnaaa+=+（*,nNa为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,OAOBOC，

满足12009OCaOAaOB=+uuuruuruuur，且,,ABC三点共线，则1005a等于（）A.12B.1C.2D.14【答案】A【解析】【分析】根据所给递推公式可知数列na为等差数列，由平面向量共线定理及基本定理，可得120091aa+=，结

合等差中项的性质即可求得1005a的值.【详解】数列na中，1nnaaa+=+（*,nNa为常数），则1nnaaa+−=，即数列na为等差数列.平面内,,ABC三点共线，平面上的三个不共线的非零向量,,OAOBOC，则由平面向量共线定理可知

ACAB=，所以()OCOAOBOA−=−，即()1OCOBOA=+−，同时满足12009OCaOAaOB=+uuuruuruuur，所以1200911aa+=+−=，由等差中项性质可知120091005122aaa+

==，故选：A.【点睛】本题考查了等差数列的判断及等差中项的性质应用，平面向量共线定理及平面向量基本定理的应用，属于中档题.11.在ABC中，已知,2,60axbB===，如果ABC有两组解，则x的取值范围是()A.4323，B.4323

，C.4323，D.432,3【答案】A【解析】【分析】已知,,abB，若ABC有两组解，则sinaBba，可解得x的取值范围.【详解】由已知可得sinaBba，则sin602

xx，解得4323x.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC中，已知,,abB且B为锐角，若0sinbaB，则无解；若sinbaB=或ba，则有一解；若sinaBba

，则有两解.12.在ABC中，设222ACABAMBC−=，则动点M的轨迹必通过ABC的（）A.垂心B.内心C.重心D.外心【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得()222ACABACABBCAMBC−=+=，整理可得()0BCMCMB+=，

若E为BC中点，可知BCME⊥，从而可知M在BC中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】()()()222ACABACABACABACABBCAMBC−=+−=+=()20BCACABAM+−

=()()0BCACAMABAMBCMCMB−+−=+=设E为BC中点，则2MCMBME+=20BCME=BCME⊥ME为BC的垂直平分线M轨迹必过ABC的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运

算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC，内角,,ABC的对边分别是,,a

bc，且::1:2:3,1ABCa==，则2sin2sinsinabcABC++=++______【答案】2【解析】【分析】根据三个角的比可分别求得三个内角，结合正弦定理可求得ABC外接圆直径，将要求的式子，结合正弦定理化简即可得解.【详解】因为在ABC中

::1:2:3ABC=，且ABC++=，所以,,632ABC===，由1a=，根据正弦定理可知122sinsin6aRA===，由正弦定理化简可得2sin2sinsinabcABC++++2sin4sin2

sin22sin2sinsinRARBRCRABC++===++，故答案为：2.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用，属于基础题.14.设,xyR，向量(),2ax=，()1,by=，(

)2,6c=−，且,//acbc⊥，则||ab−=_________．【答案】52【解析】【分析】由题意，根据ac⊥，求得6x=，得到向量a的坐标，再由//bc，求得3y=−，得到向量b的坐标，利用向量的加法的坐标运算公式，即可求解.【详解】根据题意，向量(,2),(1,),(2,6)

axbyc===−，由ac⊥，则2260x−=，解得6x=，即(6,2)a=，又由//bc，则21(6)y=−，解得3y=−，即(1,3)b=−，所以(5,5)ab−=，所以225552ab−=+=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及向量的模的求解问题，其中解答中熟记向量的坐标运算公式

和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15.数列na满足12a=，111nnnaaa++=−，则2019a=______.【答案】12−【解析】【分析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得na是周期为4的数列，从而可得结论.【详解】由

12a=，111nnnaaa++=−，得23a=−，312a=−，413a=，52a=，∴na是周期为4的数列，因为201950443=+，所以2019312aa==−.故答案为：12−.【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列

中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.16.在ABC所在的平面内有一点P，若2PAPCABPB+=+uuruuuruuuruur，那

么PBC的面积与ABC的面积之比是_______.【答案】32【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，化简所给等式，以,PAPC为邻边构造平行四边形PANC，PA与NC相交于M，作//ABMN且ABMN=，,BN位于AC

同侧，设PMCSs=，则可用s表示出,PBCABCSS，即可得解.【详解】在ABC所在的平面内有一点P，满足2PAPCABPB+=+uuruuuruuuruur，即2PAPCABPBPAAB+=+−=u

uruuuruuuruuruuruuur，构造以,PAPC为邻边构造平行四边形PANC，PA与NC相交于M，作//ABMN且ABMN=，,BN位于AC同侧，则几何关系如下图所示:设PMCSs=，则PMCPMANMCNMANBANBCBAPSSSSSSS

s=======，则5PABNCPANCABNSSSs=+=，所以53PBCPABNCPABBNCSSSSssss=−−=−−=，而2ABCACNSSs==，即3322PBCABCSsSs==，

故答案为：32.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量在几何关系中的应用，属于中档题.三、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18—22题，每题12分，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知向量a和b的夹角为120，且||2,||1b

a==.（1）求(2)aba−的值；（2）求2ab+的值.【答案】（1）9；（2）2【解析】试题分析；（１）由平面向量数量积的基本运算法则直接求解即可得结果；（２）将2ab+平方，平面向量数量积的基本运算法则求解后，再开平方即可得结果．试题解析：（１）2

(2)2cos1209abaaab−=−=．（２）222|2|4cos12044abaabb+=++=，22ab+=18.在等差数列na中，已知12321aaa++=，123231aaa=．（1）求该数列中2a的值；（2）求该数列的通项公式na．【答案】（1）27a=；（2）41nan

=−或415nan=−+.【解析】【分析】（1）根据等差数列下标和性质可得12323aaaa++=，进而求得结果；（2）设公差为d，则()()123222aaaadaad=−+，构造出方程求得d，由等差数列通项公式可求得结果.【详解】（1）由等差数列性质得：1232321aaaa++==，2

7a=∴；（2）设等差数列公差为d，()()()()()2123222777749231aaaadaadddd=−+=−+=−=，解得：4d=，()22naand=+−，即41nan=−或415nan=−+【点睛】本题考查等差数列中的项、通项公式的求

解问题，涉及到等差数列下标和性质的应用；属于等差数列部分基础知识的应用问题.19.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，已知sinsinsinsincABbaAC+=−+（1）求角B的大小（2）若sin2sinCA=，且23ABCS=，求边b的长【答案】（1）23（2）

27b=【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达式，结合余弦定理即可确定B.（2）由正弦定理将角化为边，结合三角形面积公式及余弦定理即可求得b.【详解】（1）由正弦定理，将角化为边可得sinsinsins

incABabbaACac++==−++，222acbac+−=−，结合余弦定理可知1cos2B=−，(0,)B2;3B=(2)sin2sinCA=由正弦定理，将角化为边可得2,ca=1sin232ABCSacB

==，8ac=，2,4ac==，2222cos28.bacacB=+−=27b=.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.20.已知数列na满足()*112112nnnnnaaanNbaa+==

=+，，，．()1证明数列nb为等差数列；()2求数列na的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）21nan=+【解析】【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列nb为等差数列，确定数列nb的通项公式，即可求出数列na的通项公式

．【详解】()1证明：10a，且有122nnnaaa+=+，()*0nanN，又1nnba=，1121111222nnnnnnabbaaa+++===+=+，即()*112nnbbnN+−=，且1111ba==，

nb是首项为1，公差为12的等差数列．()2解：由()1知()111111222nnnbbn−+=+−=+=，即112nna+=，所以21nan=+．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列

的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.21.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，满足()2acBABCcCBCA−=uuruuuruuruur（1）求角B的大小（2）6,3BABCac−=+=uuruuur，求ABC的面积【答案】（1）

3B=（2）34【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积定义，结合正弦定理将边化为角，即可求得B的大小.（2）由平面向量的线性运算化简，结合余弦定理即可求得ac的值，进而由三角形面积公式求得ABC

的面积.【详解】（1）()2acBABCcCBCA−=uuruuuruuruur，由平面向量数量积定义可得2coscosaccaBcabC−=（），2coscoscosaBbCcB=+，2sincossin()sinABBCA

=+=，(0,)sin0AA，1cos2B=，(0,)B，;3B=（2）6,3,BABCCAbac−===+=由余弦定理变形可得22()22cosbacacacB=+−−，1ac=，13sin.24ABCSacB==【点睛】本题考查了正弦定理与

余弦定理在解三角形中的应用，平面向量数量积的应用，三角形面积求法，属于基础题.22.已知ABC的内角、、ABC所对的边分别为abc、、．向量(,3)mab=，(cos,sin)nAB=且//mn.（1）求A；（2）若3a=，求ABC周长的最大值．【答案】（1）3；（

2）9【解析】【分析】（1）由//mn，得sin3cosaBbA=，由正弦定理求得tan3A=，即可得到3A=；（2）由正弦定理可得23sin,23sinbBcC==，得到周长6sin()36LB=++，进而求得三角周长的

最大值.【详解】（1）//sin3cosmnaBbA=由正弦定理可得：()sinsin3sincossin0ABBAB=所以，tan33AA==（2）由正弦定理可得：23sin,23sinsins

insinabcbBcCABC====所以，周长3232322333636LabcsinBsinCsinBcosBsinB=++=++=+−+=++又203B，则5+666B，1sin12

6B+所以，当3B=时，周长最大值是9.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二

倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.