【文档说明】《中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）》专题02 将军饮马（解析版）.docx，共(21)页，1.649 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2591edb1d7185e5088e0f9bad857063e.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题02将军饮马和最小【例1】如图，抛物线215222yxx=−++与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC+的值最小，求点P的坐标；【解答】解：（1）当0x

=时，则52y=，5(0,)2C，当0y=时，2152022xx−++=，化简，得2450xx−−=，解得，1x=−或5x=，(1,0)A−，(5,0)B；（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP．Q点A和点B关

于抛物线的对称轴对称，APPB=，要使PAPC+的值最小，则应使PBPC+的值最小，BC与对称轴的交点，使得PAPC+的值最小．设BC的解析式为ykxb=+．将(5,0)B，5(0,)2C代入ykxb=+，得5250bkb=+=，21252kb=−=，

直线BC的解析式为1522yx=−+Q抛物线的对称轴为直线22122x==−当2x=时，1532222y=−+=，3(2,)2P；【变式训练1】已知抛物线26(0)yaxbxa=++交x轴于点(6,0)A和点(1,0)B−，交y轴于点C．（1）求抛

物线的解析式和顶点坐标；（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PDPE+取最大值时，求点P的坐标；3【解答】解：（1）Q抛物线26yaxbx=++经过点(6,0)A，(1,0)B−，603666

0abab−+=++=，15ab=−=，抛物线的解析式为2254956()24yxxx=−++=−−+，抛物线的解析式为256yxx=−++，顶点坐标为5(2，49)4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为256yxx=−++，

(0,6)C，6OC=，(6,0)AQ，6OA=，OAOC=，45OAC=，PDQ平行于x轴，PE平行于y轴，490DPE=，45PDEDAO==，45PED=，PDEPED

=，PDPE=，2PDPEPE+=，当PE的长度最大时，PEPD+取最大值，(6,0)AQ，(0,6)C，直线AC的解析式为6yx=−+，设(Et，6)(06)tt−+，则2(,56)Pttt−++，22256(6)6(3)9PEttttt

t=−++−−+=−+=−−+，当3t=时，PE最大，此时，25612tt−++=，(3,12)P；【变式训练2】如图，抛物线23yaxbx=+−经过点(2,3)A−，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C

，且3OCOB=．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PBPC+的值最小，求点P的坐标；【解答】解：（1）令0x=，则3y=−，3OC=，3OCOB=Q，1OB=，(1,0)B−，(2,

3)A−Q，(1,0)B−在抛物线23yaxbx=+−上，5423330abab+−=−−−=，12ab==−，抛物线的解析式为223yxx=−−；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223yxx=−−，抛物线的对称轴直线为1x=，由（1）知，(0,3)C−，(2,3)A−

Q，点A，C关于抛物线对称轴直线1x=对称，直线AB与对称轴直线1x=的交点为点P，设直线AB的解析式为ykxc=+，Q点(2,3)A−，(1,0)B−在直线AB上，023kckc−+=+=−，11kc=

−=−，直线AB的解析式为1yx=−−，令1x=，则2y=−，(1,2)P−；【变式训练3】如图，抛物线2(0)yaxbxca=++与x轴交于点A、(1,0)B，与y轴交于点C，直线122yx=−经过点A、

C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．（1）求抛物线的解析式；（2）设点E为x轴上一点，且AECE=，求点E的坐标；（3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB+的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在

，请说明理由．6【解答】解：（1）如图1，对于直线122yx=−，令0y=，得4x=，令0x=，得2y=−，点(4,0)A，点(0,2)C−，将(4,0)A，(1,0)B，(0,2)C−代入抛物线解析式得：164002abcabcc++=++==−，解

得：12522abc=−==−，抛物线解析式为215222yxx=−+−；（2）如图2，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(,0)e，则4AEe=−，7在RtCOE中，根据勾股定理得：222222CEOCOEe=+=+，AECE=Q，

222(4)2ee−=+，解得：32e=，则点E的坐标为3(2，0)；（3）存在．如图3，取点B关于y轴的对称点B，则点B的坐标为(1,0)−，连接BD，直线BD与y轴的交点G即为所求的点．22151592()22228yxxx=−+−=−−+Q，顶点5(2D，

9)8，设直线BD的解析式为(0)ykxdk=+，8则05928kdkd−+=+=，解得：928928kb==，直线BD的解析式为992828yx=+，当0x=时，928y=，点G的坐标为

9(0,)28．【例2】如图，已知抛物线2(0)yaxbxca=++经过(1,0)A−，(3,0)B，(0,3)C−三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答

】解：（1）把(1,0)A−，(3,0)B，(0,3)C−代入2yaxbxc=++得，09303abcabcc−+=++==−，解得，123abc==−=−，抛物线的关系式为223y

xx==−−；（2）抛物线223yxx=−−的对称轴为212x−=−=，Q点M在对称轴1x=上，且ACM的周长最短，MCMA+最小，Q点A、点B关于直线1x=对称，连接BC交直线1x=于点M，此时MCMA+最小，设直BC的关系式为yxb=+k，9(3,0)BQ，(0,3)C

−，303bb+==−k，解得，13b==−k，直线BC的关系式为3yx=−，当1x=时，132y=−=−，点(1,2)M−，在抛物线的对称轴上存在一点M，使得ACM的周长最短，此时(1,2)M−．【变式训练1】如图，抛物线213yxmxn=−+与x轴交于A、B两点，与y轴交

于点(0,1)C−，且对称轴1x=．（1）求出抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在对称轴上方是否存在点D，使三角形ADC的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由（使用图1)；【解答】解：（1）Q抛物线与y轴交于点(0,1)C−，且对称轴xl=，则11231

mn−−==−，解得231mn==−，抛物线解析式为212133yxx=−−，10令2121033yxx=−−=，得：11x=−，23x=，(1,0)A−，(3,0)B；（2）在对称轴上存

在D使三角形形DAC的周长最小，连接CB交对称轴于点D，此时三角形DAC周长最小．设BC的解析式为ykxb=+，把(3,0)B、(0,1)C−分别代入上式得：130bkb=−+=，解得131kb==−，故直线BC的解析式为113yx=−，

当1x=时，23y=−，所以点D的坐标为2(1,)3−；【变式训练2】如图，已知二次函数24(0)yaxxca=−+的图象与坐标轴交于点(1,0)A−和点(0,5)B−．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长

最小，请求出点P的坐标；11【解答】解：（1）将点A、点B的坐标代入，得405acc++==−，解得：15ac==−，二次函数解析式为245yxx=−−；（2）Q二次函数解析式为245yxx=−−，

对称轴方程为：2x=，令0y=，则2450xx−−=，解得：11x=−，25x=，则抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为(5,0)，设直线BC的解析式为：ykxb=+，将点B、C的坐标代入得：505kbb+=

=−，解得：15kb==−，即直线BC的解析式为：5yx=−，Q点P在抛物线对称轴上，点P的坐标为(2,3)−；【例3】如图，抛物线2343333yxx=−−+与x轴交于A，B两点(A点在B点的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC．

（1）求顶点D的坐标及直线AC的解析式；（2）如图，P为直线AC上方抛物线上的一动点，连接PC、PA，当PAC面积最大时，过P作PQx⊥轴于点Q，M为抛物线对称轴上的一动点，过M作y轴的垂线，垂足为点

N．连接PM，NQ，求PMMNNQ++的最小值．12【解答】解：（1）2343333yxx=−−+，令23433033yxx=−−+=，解得：4x=−或1，故点A、B的坐标分别为：(4,1)−、(1,0)，点43(0,)

3C，由抛物线的表达式知，顶点3(2D−，253)12；将点A、C的坐标代入一次函数：ykxb=+得：40433kbb−+==，解得33433kb==，则直线AC的表达式为：34333yx=+；（2）设直线PQ交AC于点H，设点2

343(,3)33Pxxx−−+，则点343(,)33Hxx+，则PAC面积22134334332[3()](4)233336PHCPHASSPHOAxxxxx=+==−−+−+=−+，306−Q，故PAC面积存在最大值，

此时2x=−，故点(2P−，23)，则点(2,0)Q−；将点P向右平移32个单位得到点1(2P−，23)，作点P关于y轴的对称点1(2P，23)，连接PQ交y轴于点N，过点N作NM垂直于函数的对称轴于点M，则点M、N为所求点，理由：连接PM

、PN，13//PPMNQ，32PPMN==，故四边形PPNM为平行四边形，故PMPCPC==，则PMMNNQPCMNNQMNPQ++=++=+为最小，PMMNNQ++最小值2231373(2)(23)222MNPQ+=+=+++=．【变式训

练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为(8,0)C，(0,6)B，5CD=，抛物线215(0)4yaxxca=−+过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿DABC→→→的方向运动到达C点后

停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的

坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A，求AQQNDN++的最小值．14【解答】解：（1）将(8,0)C，(

0,6)B代入2154yaxxc=−+，得15648046acc−+==，解得386ac==，抛物线的解析式为：2315684yxx=−+；（2）如答图1，作DEx⊥轴于点E，(8,0)CQ，(0,6)B

，8OC=，6OB=．10BC=．BOCBCDDEC==Q，~BOCCED．BCBOOCCDCEDE==．3CE=，4DE=．11OEOCCE=+=．(11,4)D．（3）若点M在DA上运动时，5DMt=，4ONt=，当~BONCDM，则BOONCDDM

=，即6455tt=不成立，舍去；当~BONMDC，则BOONMDDC=，即6455tt=，解得：62t=；若点M在BC上运动时，255CMt=−．15当~BONMCD，则BOONMCCD=，即62555ONt=−，65ONt

=−．当34t„时，164ONt=−．61645tt=−−，解得1972t+=（舍去），2972t−=．当45t„时，416ONt=−64165tt=−−，无解；当~BONDCM，则BOONDCCM=，即65255

ONt=−，306ONt=−；当34t„时，164ONt=−，306164tt−=−，解得7t=（舍去）；当45t„时，416ONt=−，306416tt−=−，解得235t=．综上所示：当62t=时，~BONMDC；972t−=时，~BONMCD

；235t=时，~BONDCM；（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，16Q点(11,4)D，点(11,4)F−．由2315684yxx=−+得对称轴为5x=，点(5,

4)Q．22(511)(44)10QF=−++=，22(05)(64)29BQ=−+−=．29510295AQQNDNBQBAQF++=−+=−+=+．故AQQNDN++的最小值为295+．差最大【例1】如图，已知抛物线23(0

)yaxbxa=++经过点(1,0)A和点(3,0)B，与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）①若点P是直线BC下方的抛物线上一动点，则PBC的面积最大值为；②若点T为对称轴直线2x=上一点，则TCTB−的最大值为．【解答】解：（1）设抛物线的表

达式为2212()()(1)(3)(43)3yaxxxxaxxaxxaxbx=−−=−−=−+=++，解得1a=，故抛物线的表达式为243yxx=−+①；（2）①如图1，过点P作//PHy轴交BC于点H，17由点B、C的坐标得，直线BC的表达式

为3yx=−+，设点2(,43)Pxxx−+，则点(,3)Hxx−+，PBC的面积2211393(343)2222PHCPHBSSPHOBxxxxx=+==−+−+−=−+，Q302−，故PBC的面积有最大值，当32x=时，其最大值为2

78，故答案为278；②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，则TCTBTCTAAC−=−=为最大，故TCTB−的最大值为221310AC=+=，故答案为10；18【变式训练1】如图，抛物线212yxbxc

=++与直线132yx=+交于A、B两点，点A在y轴上，抛物线交x轴于C、D两点，已知(3,0)C−（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线对称轴l上找一点M，使||MBMD−的值最大，请求出点M的坐标及这个最大值．【解答】解：（Ⅰ）当0x=时，1

332yx=+=，则(0,3)A，把(0,3)A，(3,0)C−代入212yxbxc=++得39302cbc=−+=，解得523bc==，抛物线解析式为215322yxx=++；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直

线522bxa=−=−，CQ点和D点关于直线52x=−对称，MCMD=，||MBMCBC−Q„（当B、C、M共线时，取等号），||MBMC−的最大值为BC的长，解方程组213215322yxyxx=+=++，解得0431xxyy==−==

或，则(4,1)B−，22(43)(10)2BC=−++−=，设直线BC的解析式为ykxt=+，把(4,1)B−，(3,0)C−代入得4130ktkt−+=−+=，解得13kt=−=−，直线B

C的解析式为3yx=−−，19当52x=−时，132yx=−−=−，则此时M点的坐标为5(2−，1)2−，点M的坐标为5(2−，1)2−时，||MBMD−的值最大，最大值为2．【变式训练2】如图，已知抛物线上有三点(4,0)A−、(1,

0)B、(0,3)C−．（1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D，能使A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出||PDPB−取最大值时，点P的坐

标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc=++，(4,0)A−Q、(1,0)B、(0,3)C−，016403abcabcc++=−+==−，解得：34a=，94b=，3c=−，抛物线的解析式为2393

44yxx=+−；（2）存在一点(5,3)D−，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：1OB=Q，3OC=，4OA=，225ACOAOC=+=，ABAC=，当CD平行且等于AB时，四边形ACDB为菱形，5CDAB==，点D的坐标为(5,3)−

，当点D在第二、三象限时，以点A、B、C、D为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，20存在一点(5,3)D−，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形．（3）设直线DB的解析式为(0)ykxbk=+，(1,0)BQ，(5,

3)D−，530kbkb+=−+=，解得：34k=−，34b=，直线DB的解析式为3344yx=−+，当点P与点D、B不在同一直线上时，根据三角形的三边关系||PDPBDB−，当点P与点D、B在同一直线上时，||PDPBDB−=，当点P与点D、B在

同一直线上时，||PDPB−的值最大，即点P为直线DB与抛物线的交点，解方程组2334439344yxyxx=−+=+−，得1110xy==（舍去）或22592xy=−=，

点P的坐标为9(5,)2−时，||PDPB−的值最大．【变式训练3】如图，二次函数21212yxx=−++的图象与一次函数1yx=−+的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上

一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使||BHPH−的值最大，求点H的坐标和||BHPH−的最大值；21【答案】（1）点(1,0)H，||BHP

H−的最大值为522；【解答】解：（1）设点(,1)Pmm−+，则点(,0)Em，联立两个函数表达式得212121yxxyx=−++=−+，解得0615xxyy====−或，即点A、B的坐

标分别为(0,1)、(6,5)−，由抛物线的表达式知，点(2,3)C，由B、C的坐标得，直线BC的表达式为27yx=−+，当271yxm=−+=−+时，62mx+=，故点6(2mF+，1)m−+，PEF面积1161(1)()(1)(6)222

4mPEPFmmmm+==−−=−−−g，104−Q，故PEF面积有最大值，此时17(16)22m=+=，故点7(2P，5)2−，当P、B、H三点共线时，||BHPH−的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点(1,0)H，则||BHP

H−的最大值227552(6)(5)222BHPHBP=−==−+−+=；