【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点测试15 函数的实际应用 含解析【高考】.doc，共(13)页，265.500 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试15函数的实际应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同

函数类型增长的含义2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示正确的是()答案B解析蜡烛剩下的长度随时间增

长而缩短，根据实际意义选B.2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格中是某公司前5天监测到的数据：第x天12345被感染的计算机数量y/台12244995190则下列函数模型中能较好地反映在第x天被感染的数量y与x之间的关系的2是()A．y＝12xB．

y＝6x2－6x＋12C．y＝6·2xD．y＝12log2x＋12答案C解析由表格中数据可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数．故选C.3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过

280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元答案D解析设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)

(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝320.故选D.4.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为()答案D解析根

据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先增大，3然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大．故选D.5．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的

部件，各种部件的面积分别为S1，S2，…，Sn(单位：m2)，其相应的透射系数分别为τ1，τ2，…，τn，则组合墙的平均隔声量应由各部分的透射系数的平均值τ－确定：τ－＝S1τ1＋S2τ2＋…＋SnτnS1＋S2＋…＋Sn，于是组合墙的平均隔声量(单位：dB)为R＝10lg1

τ－.已知某墙的透射系数为1104，面积为20m2，在墙上有一门，其透射系数为1102，面积为2m2，则组合墙的平均隔声量为()A．10dBB．20dBC．30dBD．40dB答案C解析由题意知组合墙的透射系数的平均值τ－＝S1τ1＋S2τ2S1＋S2＝20×10－4＋2×10－2

20＋2＝10－3，所以组合墙的平均隔声量R＝10lg1τ－＝10lg110－3＝30dB.故选C.6．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为

y＝1＋3xx＋2(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的5

0%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为()A．30.5万元B．31.5万元C．32.5万元D．33.5万元答案B4解析由题意，得甲产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为30y＋4y×150%＋xy×50%，故年销售收入为z＝30y＋4y×150%＋xy×50

%y＝45y＋6＋12x.所以年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－x2＝17＋45xx＋2－x2(万元).所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万

元).故选B.7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－t30，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当

t∈[0，30]时，污染物数量的平均变化率是－10ln2，则p(60)＝()A．150毫克/升B．300毫克/升C．150ln2毫克/升D．300ln2毫克/升答案C解析因为当t∈[0，30]时，污染物数量的平

均变化率是－10ln2，所以－10ln2＝12p0－p030－0，所以p0＝600ln2，因为p(t)＝p02－t30，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升).8．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是()A．y＝14xB．y＝lgx＋1C．y＝32xD．y＝x答案B解析由题意知，x∈[10，1000]，符合

公司要求的模型需同时满足：①函数5为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.对于y＝14x，易知满足①，但当x>20时，y>5，不满足要求；对于y＝32x，易知满足①，因为324>5，

故当x>4时，不满足要求；对于y＝x，易知满足①，但当x>25时，y>5，不满足要求；对于y＝lgx＋1，易知满足①，当x∈[10，1000]时，2≤y≤4，满足②，再证明lgx＋1≤x·25%，即4lgx＋4－x≤0，设F(x)＝4lgx＋4－x，则F′(x)＝

4xln10－1<0，x∈[10，1000]，所以F(x)为减函数，F(x)max＝F(10)＝4lg10＋4－10＝－2<0，满足③.故选B.9．(多选)一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道

组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．以下四个说法中正确的是()A．在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6kmC．大约在这第二圈的0.4km到0

.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D．在图2的四条曲线(注：s为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹答案AD解析由图1知，在2.6km到2.8km之间，曲线上升，故在这第二圈的2.66km到2.

8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4)km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；最长直线路程应在1.4km到1.8

km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有三个弯道，且两长一短，故D正确．故选AD.10.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫

升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案AD解析把点M的坐标

代入y＝12t－a，得121－a＝4，解得a＝3，A正确；易知当0≤t<1时，y＝4t，4×18＝0.5，C错误；由于y＝4t，0≤t<1，12t－3，t≥1，令y≥0.125＝18，得0≤t<1，4t≥18或t≥1，

12t－3≥18，解得132≤t≤6，6－132＝53132，所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为53132小时，B错误，D正确．11.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与7时间x(天)之间的函数关系：f(x)＝－720x＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量

低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)答案①②解析由函数的图象可知f(x)随着x的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x－12，则f(9)＝15＋9

20×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误．12．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(

a＞0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．答案5解析设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．则利润分别为Q＝a2x(a＞0)，P＝20－x4，由题

意得P＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立，则化简得ax≥x2，在0≤x≤20时恒成立．8①x＝0时，a为一切实数；②0＜x≤20时，分离参数得a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a的最小值为5.二、高考小题13．(2021·新高考Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫

星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．

地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cosα)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为()A．26%B．34%C．42%D．50%答案C解析由题意可得，S占地球表面积的百分比

约为2πr2（1－cosα）4πr2＝1－cosα2＝1－64006400＋360002≈0.42＝42%.故选C.14．(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均

人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝

6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案B解析因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28

－16＝0.38，所以I(t)9＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln20.38≈0.690.3

8≈1.8天．故选B.15．(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水

治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，

t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．答案①②③解析－f（b）－f（a）b－a表示区间端点连线的斜率的相反数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的

相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在t2时刻，甲对应图象的切线的斜率比乙的小，所以切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放

量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段10时间内的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，

④错误．三、模拟小题16．(2022·北京交通大学附属中学高三开学考试)在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一瞬

间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即V＝v01－Kk0(其中v0，k0是正数)，则以下说法正确的是()A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．

随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小答案D解析由V＝v01－Kk0，得V随K的增大而减小，K＝k0－k0v0V，由单位关系，得Q＝VK＝Vk0－k0v0V＝－k0v0V2＋k0V，可以看成是Q关于V的二次函数，图象开口向下，所以随着车流速度V的增大

，交通流量Q先增大后减小．故选D.17．(2021·河北秦皇岛第二次模拟)为了保证信息安全传输，有一种秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如图：明文x――→加密密钥系统密文t――→发送密文t――→解密密钥系统明文y.现在加密密钥为t＝2a

x＋1(a＞0且a≠1)，解密密钥为y＝3t－5，如下所示：发送方发送明文“1”，通过加密后得到密文“18”，再发送密文“18”，接收方通过解密密钥解密得明文“49”，问若接收方接到明文“4”，则发送方发送的明文为()A．－log32B．log332＋1C．162D．log372－1答案A1

1解析由加密密钥为t＝2ax＋1(a＞0且a≠1)，解密密钥为y＝3t－5，且x＝1时，t＝2·a1＋1＝18，解得a＝3，所以y＝3×18－5＝49；当y＝3t－5＝4时，t＝3，令2·3x＋1＝3，解得x＝log332－1＝－log32，所以发送方发送的明文是－l

og32.故选A.18．(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C＝Wlog21＋SN.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信

噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1600，若不改变带宽W，而将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比SN要扩大到原来的约()A．10倍B．20倍C．30倍D．40

倍答案D解析由已知条件可知C＝Wlog21600，设将最大信息传播速度C提升50%，那么信噪比SN要扩大到原来的t倍，则32C＝Wlog2(1600t)，可解得t＝40.故选D.19．(多选)(2021·山东省德州市高三检测)如图所示

，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设

u＝x2＋4＋x，v＝x2＋4－x，则()A．函数v＝f(u)为减函数B．15t－u－4v＝3212C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h答案AC解析

∵u＝x2＋4＋x，v＝x2＋4－x，∴uv＝()x2＋4＋x()x2＋4－x＝4，∴v＝4u是减函数，故A正确；由题意可知t＝x2＋43＋12－x5，0≤x≤12，∴15t＝5x2＋4＋3(12－x)＝5x2＋4－3x＋36＝()x2＋4＋x＋()4x2＋4－4x＋36＝u＋4v＋36，∴15

t－u－4v＝36，故B错误；∵t＝x2＋43＋12－x5，0≤x≤12，∴t′＝13×2x2x2＋4－15＝5x－3x2＋415x2＋4，令t′＝0，得x＝32，当x∈0，32时，t′＜0，t(x)单调递减；当x∈32，1

2时，t′＞0，t(x)单调递增，∴当x＝32时，t(x)最小，且最短时间为4415h，故C正确；当x＝4时，t＝253＋85＞3，故D错误．故选AC.20．(2021·石家庄二模)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2018年为第1

年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝log12x＋a.则你认为最适合的函数模

型的序号为________．答案①解析若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为

f(x)＝log12x＋a，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)＝ax13＋b，由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝32，b＝52，所以f(x)＝32x＋52，x∈N*，将x＝2，x＝4代入验证可得f(x)的值与表中数据较为接近

，所以最适合的函数模型的序号为①.21．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52

℃的物体，放在12℃的空气中冷却，2min以后物体的温度是32℃，则再经过6min该物体的温度可冷却到________．答案14.5℃解析依题意得，32＝12＋(52－12)e－2k，整理得到e－2k＝12，解得k＝ln22；那么

6min后，即t＝8时，θ＝12＋(52－12)＝12＋40×116＝14.5.本考点在近三年高考中未涉及此题型．