【文档说明】【课时练习】2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一2.3.2函数的单调性和最值 含解析【高考】.docx，共(14)页，627.120 KB，由小赞的店铺上传

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12.3.2函数的单调性和最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知0x3„，则16yxx=+的最小值为()

A.253B.8C.20D.102.若函数则()fx的最大值、最小值分别为()A.10，6B.10，8C.8，6D.以上都不对3.函数()(0)1kfxkx=−在[4,6]上的最大值为1，则k的值为()A.1B.2C.3D.44.函数()||(mfxxx=−其中)mR的图像不可能．．．是

()A.B.C.D.25.函数()2533fxxx=−+在区间[1,1]−上的最大值为()A.22B.322+C.1342−+D.4−6.已知二次函数2()fxxbxc=++，若对任意的1x，2[1,1]x−，有12|()()|6fxfx−„，则b的取值范围是()A.

[-5,5]B.[-4,4]C.[-3,3]D.[-2,2]二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）7.若函数1yax=+在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是()A.2B.2−C.1D.0三、填空题（本大题共5小题，

共25.0分）8.(10)xx−的最大值为__________.9.(1)当1x时，41xx+−的最小值为__________；(2)当4x…时，41xx+−的最小值为__________.10.已知函数2(),0()43,0xaxfxxaxx−=

++„，且(0)f为()fx的最小值，则实数a的取值范围是__________.11.若函数的值域为[,),a+则实数a的取值范围是__________.12.已知定义在[1,3]上的函数()fx满足1(1)()1fxfx+=+，且当[2,3]x时，51().122fxx=

−若对定义域上任意x都有()fxt„成立，则t的最小值是__________.四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)已知函数(1)判断并证明函数()fx在1(,)2+上的

单调性；(2)求函数()fx在[1,5]上的最值．314.(本小题12.0分)围建一个面积为2360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，

新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为(x单位：)m，修建此矩形场地围墙的总费用为(y单位：元).(1)将y表示为x的函数：(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．15.(本小题12.0分)已知二次函数2()1fxaxx=++，

且()(1)41.fxfxx−−=−(1)求()fx的解析式；(2)若()()gxfxmx=−在[1,2]上的最大值为1−，求m的值以及()gx的最小值．16.(本小题12.0分)已知aR，函数()||().fxxxa=−(1)当0a时，求函数()fx的单调区间；(2)当0

a…时，求函数()fx在上的最小值．4答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用对勾函数的单调性求最值，属于基础题.利用对勾函数的单调性求解即可.【解答】解：由0x，161628yxxxx=+=…，当且仅当4x=时取等号.由对勾函数

的单调性，得16yxx=+在(0,4)上单调递减，03x„时，16yxx=+单调递减，当3x=时，y取得最小值为16253.33+=故选.A2.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数的最值问题，属于基础题目.根据分段函数的单调性得出函

数的最值即可.【解答】解：函数26yx=+在R上单调递增，且函数7yx=+在R上单调递增，而当1x=时，2678xx+=+=，故得()fx在[1,2]−上单调递增，所以()fx的最大值为(2)10f=，最小值为(1)6.f−=故选.A3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调

性与最大值，正确运用函数的单调性是关键．确定函数的单调性，利用函数在[4,6]上的最大值为1，即可求出k的值．5【解答】解：函数1kyx=−，(0)k在[4,6]上的最大值为1，由题意，0k时，函数1kyx=−在[4,6]上单调递减，141k=−，3k=，故选：.C4.【答案】C【解析

】【分析】本题考查了函数的性质及函数图像的变换，函数解析式中参数的分类讨论.对m讨论，对各选项逐个判断即可得到答案.【解答】解：(1)当0m=，则，故A正确，(2)当0m时，若0x，则，此时为对勾函数的一部分，

若0x，则，此时函数单调递减，故选项B正确，(3)当0m时，若0x，则，此时函数单调递增，若0x，则，此时函数为对勾函数的一部分，故选项D正确，综合，选项C不可能为函数的图像，故选.C5.【答案】B【解析】

【分析】本题考查利用换元思想和二次函数的性质求函数在特定区间上的最值问题，难度一般，关键是换元思想的运用.令53xt−=，[2,22]t，转化为关于t的二次函数在特定区间上的最大值问题，即可得解.【解答】6解：因为53y

x=−在[1,1]−上是减函数，当1x=−时，y取最大值8，当1x=时，y取最小值2，所以[2,8]y，令53xt−=，所以[2,22]t，253tx−=，所以22()2525([2,22])gtttttt=+−=−++，对称轴为1.t=因为()gt在上单调递减，所以max()(2)2225

322gtg==−++=+，所以()fx在区间[1,1]−上的最大值为322+，故选.B6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质及其最值.根据二次函数的性质得到其对称轴，然后讨论其在[1,1]−上的单调性，使其在[1,1]−上的最值之差的绝对值小于等于6即可

.【解答】解：函数2()fxxbxc=++的对称轴是2bx=−，当12b−−„时，即2b…，()fx在[1,1]−上单调递增，要使任意的1x，2[1,1]x−，有12|()()|6fxfx−„，只需(1)(1)116ffbb−−=+

−+„，解得3b„，23b剟；当112b−−时，即22b−，()fx在[1,)2b−−上单调递减，在[,1]2b−上单调递增，要使任意的1x，2[1,1]x−，有12|()()|6fxfx−„，只需，解得226262b−−剟，22b−；当12b−…时，即2

b−„，()fx在[1,1]−上单调递减，7要使任意的1x，2[1,1]x−，有12|()()|6fxfx−„，只需(1)(1)6ff−−„，即116bb−−−„，解得3b−…，32b−−剟；综上所述33b−剟，故选.C7.【答案】AB【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考

查分类讨论的数学思想，是基础题．由已知可得0a，对a分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为2列式求解a值．【解答】解：由题意0a，当0a时，1yax=+在[1,2]上单调递增，有(21)(

1)2aa+−+=，解得2a=；当0a时，1yax=+在[1,2]上单调递减，有(1)(21)2aa+−+=，解得2.a=−综上知2.a=故选：.AB8.【答案】5【解析】【分析】本题考查了函数的最值，由2()10fxxx=−+，结合二次函数性质可得答案.【解答】解：设()(10)f

xxx=−因为，在5x=时有最大值为25，故(10)xx−的最大值为5，故答案为5.9.【答案】51638【解析】【分析】(1)本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.将41xx+−化为4111xx−++−，根据10x−以及基本不等式求出4111xx−++

−的最小值；(2)本题考查利用对勾函数的性质求最值，属于基础题.由函数4yxx=+在[2,)+上为增函数，可知4(1)11yxx=−++−在[3,)+上为增函数，由此可求答案.【解答】解：(1)1x，10x−，441124

15.11xxxx+=−+++=−−…(当且仅当411xx−=−，即3x=时“=”成立)41xx+−的最小值为5；故答案为5；(2)由函数4yxx=+在[2,)+上为增函数，可知4(1)11yxx=−++−在[3,)+上为增函数，4x…，当4x=时，41xx

+−取最小值为4164.413+=−故答案为5；16.310.【答案】[0,4]【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．9若(0)f为()fx的最

小值，则当0x„时，函数2()()fxxa=−为减函数，当0x时，函数4()3fxxax=++的最小值43(0)af+…，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若(0)f为()fx的最小值，则当0x„时，函数

2()()fxxa=−为减函数，则0a…，当0x时，函数4()3fxxax=++的最小值43(0)af+…，即243aa+…，解得：14a−剟，综上所述实数a的取值范围是[0,4]，故答案为：[0,4].11.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的值域，

函数的单调性，对勾函数的性质，属于较难题.221()1(0)11xxaafxxxxx++−==++++…，根据对勾函数的性质，对1a−与0的关系进行分类讨论，综合求出a的取值范围.【解答】解：222(1)11()1(0)111xxaxaafx

xxxxx+++−+−===+++++…，①当10a−„，即1a„时，()fx在[0,)+上单调递增，min()(0)fxfa==满足()fx的值域为[,);a+②当10a−，即1a时，0x…，则11x+…，由基本不等式1

()1211afxxax−=++−+…，当且仅当111axx−+=+时，不等式取等号，此时11xa=−−，()fx在(11,)a−−+单调递增，10又(0)fa=，若()fx值域为[,),a+则需110a−−„，即2a„，此时12a„，综上，(,2].a

−故答案为(,2].−12.【答案】2【解析】【分析】先求出()fx在[1,2)上的解析式，根据函数的单调性求出函数最大值，即可求出t的取值范围，可得t的最小值．本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的单调性，函数解析式的

求法，属于拔高题．【解答】解：当[1,2)x时，1[2,3),x+5151(1)(1)1221212fxxx+=+−=−，又1(1)()1fxfx+=+，12()151fxx=−−，当[1,2)x时，()fx单调递减；1()(

,2]3fx当[2,3]x时，()fx单调递增；13()[,]34fx，()2fx„，对定义域上任意x都有()fxt„成立，2t…，故t的最小值是2，故答案为：21113.【答案】解：(1)函数在区

间1(,)2+上单调递减，证明如下：设1x，2x是区间1(,)2+上的任意两个实数，且21xx，由于2112xx，所以210xx−，且12(21)(21)0xx−−，所以12()()0fxfx−，即12()()fx

fx，所以函数在区间1(,)2+上单调递减．(2)由(1)知，函数()fx在[1,5]上单调递减，因此，函数在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为(1)3f=，最小值为【解析】本题考查了函数的单调性与单调区间、函数的最值的相关知识，

属于基础题.(1)利用定义法证明即可得出答案；(2)由(1)得出函数()fx在[1,5]上单调递减，即可得出最大值和最小值.14.【答案】解：(1)设矩形的另一边长为am，则由已知360ax=，得360ax=，所以23601296002253

60225360(2).yxxxxx=+−=+−(2)因为0x，所以22360225222536010800xx+=…，所以236022536010440yxx=+−…，当且仅当2360225xx=时，等号成立．即当24xm=时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是

10440元．【解析】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．12(1)设矩形的另一边长

为am，则根据围建的矩形场地的面积为2360m，易得360ax=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；(2)根据(1)

中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．15.【答案】解：(1)由()(1)41fxfxx−−=−，得221(1)(1)141axxaxxx++−−−−−=−，所以2141axax−+=−

，所以2a=，故2()21fxxx=++；22(2)()212(1)1gxxxmxxmx=++−=+−+，①当1342m−„，即7m„时，max()(2)1121gxgm==−=−，得6m=，此时()gx的图象的对称轴为1544mx−==，min517()()48gxg==−；②当134

2m−，即7m时，max()(1)41gxgm==−=−，得5m=，无解；综上所述，6m=，()gx的最小值为17.8−【解析】本题考查函数解析式的求法及函数最值的求法，考查分类讨论思想，属于中档题．(1)运用待定系数法求解；(2)讨论二次函数(

)gx的对称轴与区间中点的关系，进而得解．16.【答案】解：函数22,0()||(),0xaxxfxxxaxaxx−=−=−+…(1)0a，函数()fx的图像如图所示13当0x…时，则函数()

fx在区间(0,)2a单调递减，在区间(,)2a+单调递增，当0x时，则函数()fx在区间(,0)−单调递增，综上可知，函数()fx的单调增区间为(,0)−，(,)2a+，单调减区间为(0,).2a(2)0a=时，函数22,0(),

0xxfxxx=−…在区间1[,1]2−上单调递增，则min11()()24fxf=−=−，0a时，22,0()||(),0xaxxfxxxaxaxx−=−=−+…①当12a…，即2a…时，函数()fx在

1[,0]2−单调递增，在(0,1]单调递减，如图所示，且11()242af−=−−，(1)1fa=−，若1()(1)2ff−…，即52a…时，min()(1)1fxfa==−，若1()(1)2ff−，即522a„时，min11()()242afxf=−=−−，14②当12a，即0

2a时，函数()fx在1[,0]2−单调递增，在(0,]2a单调递减，在(,1]2a单调递增，如图所示，且11()242af−=−−，2()24aaf=−，222121(1)2()42444aaaaa−−−−−−−−==而02a时，2(1)204a−−，即21424aa−−

−，即1()()22aff−，所以02a时，min11()()242afxf=−=−−，且此时对0a=，min111()()2424afxf=−=−−=−也成立，综上所述，502a„时，min1()42afx=−−，52a…时，min()1.fxa=−【解析】本题考查函数的单

调性及最值，考查分类讨论及数形结合思想，属于难题.(1)将函数写成分段函数的形式，根据a的取值情况，画出函数图象求出函数的单调区间；(2)分0a=和0a两种情况，求出函数在区间上的最值.