【文档说明】天津市第一百中学、咸水沽第一中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.228 MB，由小赞的店铺上传

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2023～2024学年度第一学期期中联考高二数学一、选择题（共9题，每题5分，满分45分）1.直线310xy++=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为3k=，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】解：

将直线一般式方程化为斜截式方程得：31yx=−−，所以直线的斜率为3k=−，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120.故选：C2.与椭圆C：2212516xy+=共焦点且过点()2,2P的双曲线的标准方程为（）A.221167xy−=B.22163xy−=C.22136xy−=D.2

21916xy−=【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出2a的值，结合222cab=+可求b的值，则双曲线方程可求.【详解】因为椭圆C的焦点坐标为()2516,0−，即()3,0，所以3c=

，记()()12,,,0330FF−，所以1225212232PFPFa−=+−+==，所以3a=，所以226bca=−=，所以双曲线的标准方程为22136xy−=，故选：C.3.设Ra，则“32a=”是直线1l：210xay

+−=和直线2l：()110axay−++=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据12ll//求解出a的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.【详解】若12ll//，则有()121aaa=−

，所以0a=或32a=，当0a=时，12:10,:10lxlx−=−+=，故12,ll重合，舍去；当32a=时，1213:310,:1022lxylxy+−=++=，满足条件，所以123//2lla=，所以“32a=”是

“12ll//”的充要条件，故选：C.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆C，且椭圆C与矩形ABCD的四边相切.设椭圆C在平面直角坐标系中

的方程为22221xyab+=，则下列选项中满足题意的方程为（）A.2214xy+=B.2213616xy+=C.221169xy+=D.221164xy+=【答案】C【解析】【分析】根据题意判断出椭圆的长轴长度乘以

短轴长度等于矩形ABCD的面积，然后逐项判断方程是否符合即可.【详解】由题意可知：2248ab=，所以12ab=，A：2,1,2abab===，不满足；B：6,4,24abab===，不满足；C：4,3,12abab===，满足；D：4,2,8abab===，不满足；故选：C.5.

向量()2,1,2a=−，()4,2,bx=−，ab⊥，则2ab+=（）A.9B.3C.1D.32【答案】A【解析】【分析】根据ab⊥先求解出x的值，然后表示出2ab+的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结

果.【详解】因ab⊥，所以()422120x−+−+=，所以5x=，所以()()()222,1,24,2,50,0,9ab+=−+−=，所以200819ab+=++=，故选：A.6.双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的一条

渐近线过点()1,3P−，1F，2F是C的左右焦点，且12=PF，若双曲线上一点M满足152MF=，则2MF=（）A.12或92B.92C.12D.72【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求解出双曲线方程，

然后根据M在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出2MF的值.【详解】因为()1,0Fc−，12=PF，所以()2132c−++=，所以2c=或0（舍），又因为双曲线的渐近线过点()1,3P−，所以31ba−=−，所以3ba=，所以22223cbaabc==+=，所以13ab=

=，所以22:13yCx−=，若M在左支上，1512MFca=−=，符合要求，所以21592222MFMFa=+=+=，为的若M在右支上，1532MFca=+=，不符合要求，所以292MF=，故选：B.7.已知点()2,0A，()0,2B，点C为圆2266160xyxy+−−+=上一点，

则ABC的面积的最大值为（）A.12B.62C.32D.6【答案】D【解析】【分析】先求解出直线AB方程，然后将圆心到直线AB的距离再加上半径作为ABC的高的最大值，由此求解出ABC的面积的最大值.【详解】因为()2,0A，()0,2B，所以:2

0ABxy+−=，又因为圆的方程为()()22332xy−+−=，所以圆心为()3,3，半径为2r=，所以圆上点到直线AB的最大距离为3322322+−+=，所以ABC的面积的最大值为221322262+=，故选：D.8.

过点31,22P的直线与椭圆22162xy+=交于A、B两点，且满足0PAPB+=.若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则OM的最小值为（）A.1B.2C.2D.22【答案】B【解析】【分析】由0PAPB+=，得点P为线段

AB的中点，然后利用点差法可求出直线AB的方程，则OM的最小值为点O到直线AB的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】椭圆方程22162xy+=.的因为22311221622+=，

则31,22P在椭圆内，可知直线AB与椭圆总有两个交点.因为0PAPB+=，即P为线段AB的中点，设1122(,),(,)AxyBxy，显然12xx，则12123,1xxyy+=+=，22112

222162162xyxy+=+=，可得22222121062−−+=xxyy，则21212121()()3()()0+−++−=xxxxyyyy，即21213()3()0yyxx−+−=，所

以21211yyxx−=−−，即直线AB的斜率1k=−，所以直线AB为1322yx−=−−，即20xy+−=，因为M为直线AB上任意一点，所以OM的最小值为点O到直线AB的距离22002211d+−==+.故选：B.9.已知双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左右焦点分

别为()1,0Fc−，()2,0Fc，过1F的直线l与圆C：222124cxcy−+=相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有2MFx⊥轴，则离心率为（）A.3B.3C.2D.2【答案】C【解析】【分析】首先求出M坐标，设直线1FM与圆C

相切于点D，即可求出1FC，2MF，12FF，1FD，再由锐角三角函数得到22bac=，即可求出离心率.【详解】圆C：222124cxcy−+=的圆心为1,02Cc，半径12rc=，对于双曲线22221xyab−=，令xc=，解得2bya=，则2

,bMca−，设直线1FM与圆C相切于点D，则12CDc=，又132FCc=，22bMFa=，122FFc=，所以22112FDFCCDc=−=，所以21212tan22bcaMFFcc==，则22bac=，所以()222caac−=，即()221ee−=，解得2e=或

22e=−（舍去）.故选：C二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.）的10.椭圆C：222211xymm+=+（0m）的焦点为1F，2F，短轴端点为P，若122π3FPF=，则m=________.【答案】33【解析】【分析】先根据椭圆方程求解出c的值，再根据1tanFPO的值求

解出b的值，由此求解出结果.【详解】记坐标原点为O，因为221mm+，所以焦点在x轴上，且2211cmm=+−=，因为122π3FPF=，所以123FPOFPO==，所以1tan3cFPOb==，所以33b=，所以()2231033mm

==，所以33m=，故答案为：33.11.直线l过点()1,1且被圆C：()2225xy+−=截得的弦长最短，则直线l的方程为________.【答案】yx=【解析】【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与

定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C的方程知圆心()0,2C，半径为5，当圆被直线截得的弦最短时，圆心()0,2C与()1,1的连线垂直于弦，由圆心()0,2C与()1,1的连线斜率为1−，所以直线l的斜率为1，直线l的方程为11yx−=

−即yx=.故答案为：yx=.12.圆2280xy+−=与圆2234180xyxy+−+−=的公共弦的长为______.【答案】4【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆228xy+=的圆心到相交弦所在直线的距离，

利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆2280xy+−=与圆2234180xyxy+−+−=相减可得34100xy−+=，即两圆的公共弦所在的直线方程为34100xy−+=，又圆2280xy+−=圆心O到直线34100xy−+=的距离2210234d==+，圆228xy+=的半径为22，所以公

共弦长为()()222222222224d−=−=.故答案为：4.13.如图所示，四边形ABCD为正方形，ABEF为矩形，且它们所在的平面互相垂直，24ABBE==，M为对角线AC上的一个定点，且3AMMC=，则M到直线BF的距离为________.【答案】705##1705【解

析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B，()4,2,0F，()0,0,4C，()4,0,0A，因为3AMMC=，所以14AMAC=，所以()4,2,0BF=，()()()114,0,04,0,4

3,0,144BMBAAC=+=+−=，令()3,0,1aBM==，()4,2,0255,,05525BFuBF===，所以210a=，655au=，则点M到直线BF的距离为()223

6701055aau−=−=.故答案为：70514.直线l：420mxym−−+=与24xy=−有两个不同交点，则m的取值范围________.【答案】41,3【解析】【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过()0,2−、直线与半圆相切，结合图象求解出m的取值范

围.【详解】24xy=−即为224,0xyx+=，表示圆心在原点半径为2的圆位于y轴右侧的部分，直线420mxym−−+=即为()42mxy−=−，过定点()4,2A，在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示：圆与坐标轴交于

()()()0,2,0,2,2,0−，且直线的斜率为m，当直线经过()0,2−时，此时2420m−+=，解得1m=，当直线与圆相切时，24221mm−+=+，解得43m=或0m=（舍），根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则41,3m，故答案为：41,3

.15.已知抛物线C：24xy=的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且2AF=，则MAMO+的最小值为________.【答案】13【解析】【分析】根据条件先确定A点坐标和准线方程，然后通过作A

关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.【详解】因为2AF=，所以22Apy+=，所以1Ay=，所以2Ax=，不妨取()2,1A，()0,0O，准线1y=−，作A关于准线的对称点B，则()2,3B−，所以MAMO+的最小值即为OB，当

且仅当,,OMB三点共线时取最小值，所以MAMO+的最小值为4913+=，故答案为：13.三、解答题（共5题，满分75分.）16.已知圆心为C的圆经过点()1,1A−和()4,2B，且圆心C在直线10xy−+=上，（1）求圆C的标准方程.（2）过点()2

,1M−作圆的切线，求切线方程（3）求x轴被圆所截得的弦长MN【答案】（1）()()22129xy−+−=（2）2x=−或4350xy++=（3）25【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据ACBC=求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程；（2）

分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；（3）先计算出圆心到x轴的距离d，然后根据半径、d、半弦长之间的关系求解出x轴被圆所截得的弦长即可.【小问1详解】设圆心(),1Cmm+，则ACBC=，所以()(

)()()()2222111412mmmm−++−−=−++−，解得1m=，所以圆心为()1,2，半径()()2214223r=−+−=，所以圆C的标准方程为()()22129xy−+−=；【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为2x=−，圆心到直线的距离为()123r−

−==，满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为()12ykx−=+，即120kxyk−++=，所以221231kkk−++=+，解得43k=−，所以直线方程为4350xy++=，所以切线方程为2x=−或4350xy++=；【小问3详解】因为圆心()1,2到x轴(0y=)的距

离为2d=，且2222MNrd=+，所以25MN=，所以x轴被圆所截得的弦长为25.17.如图，⊥AE平面ABCD，ADAB⊥，//CFAE，//ADBC，22ABCFAD===，28AEBC==（1）

求证：BD⊥平面ECF；（2）求平面BCF与平面ECF夹角的余弦值；（3）求点B到平面ECF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）255（3）455【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量

法计算可得.【小问1详解】因为⊥AE平面ABCD，ADAB⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()2,0,0B，()2,4,0C，()0,1,0D，()0,0,8E，()2,4,2F，所以()2,1,0BD=−，()2,4,8CE=−−，()0,0,2CF=，

所以0BDCE=，0BDCF=，所以BDCE⊥，BDCF⊥，即BDCE⊥，BDCF⊥，又CECFC=，,CECF平面ECF，所以BD⊥平面ECF.【小问2详解】因为()0,4,0BC=，()0,0,2CF=，设平面

BCF的法向量为(),,mxyz=，则4020mBCymCFz====，取()1,0,0m=，又平面ECF的法向量可以为()2,1,0BD=−，设平面BCF与平面ECF的夹角为，则225cos55mBDmBD===，所以平面BCF与平面ECF夹角

的余弦值为255.【小问3详解】点B到平面ECF的距离44555BCBDdBD===.18.如图，在三棱锥−PABC中，PA⊥底面ABC，90BAC=，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线

段AD的中点，4PA=，2ABAC==.（1）求证：//MN平面BDE；（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为49，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析（2）105（3）12【解析】【分析】（1）取

AB中点F，连接,MFNF，根据条件证明出平面//FMN平面BDE，由此可证明//MN平面BDE；（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面BDE的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求

解出结果；（3）设出点H的坐标，分别表示出直线,NHBE的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出AH的长度.【小问1详解】取AB中点F，连接,MFNF，如下图所示：因为,MF为,ADAB中点，所以//MFBD，又因为MF

平面BDE，BD平面BDE，所以//MF平面BDE，因为,NF为,ABCB中点，,DE为,PAPC中点，所以//,//NFACDEAC，所以//NFDE，又因为NF平面BDE，DE平面BDE，所以//NF平面BDE，又因为NFMFF=，NFMF,平面FMN，所以平面//FMN平面BDE

，又因为MN平面FMN，所以//MN平面BDE.【小问2详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，又()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2BCDE，所以()()()0,1,2,2,0,2,0,1,0CEDBDE=−=−=

，设平面BDE一个法向量为(),,nxyz=，所以00nDBnDE==，所以00xzy−==，令1x=，则0,1yz==，所以()1,0,1n=，设直线CE与平面BDE所成角为，所以00210sincos,552CEn+

+===，所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为105.【小问3详解】设()()0,0,04Hmm，且()1,1,0N，所以()()1,1,,2,1,2NHmBE=−−=−，所以22124cos,92144mNHBEm−+==+++，化简得220362

30mm+−=，解得12m=或2310m=−（舍），所以12AH=.19.设椭圆22221xyab+=（0ab）的左右焦点分别为1F，2F，左右顶点分别为A，B，122FF=，23AF=.（1）求椭圆的方程；（2）已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP交y轴于点Q，O为坐标

原点，若四边形OPQA与三角形OPB的面积之比为3:2，求点P坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）262,55或262,55−.【解析】【分析】（1）根据已知线段长度求解出,ac的值，然后根据222abc=+求解出b的值，则椭圆方程可求；（2）根

据条件将问题转化为三角形ABQ与三角形OPB的面积比，由此得到关于,PQyy的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则P的坐标可求.【小问1详解】因为122FF=，23AF=，所以22,3cac=+=，所以2,1ac==，所以223bac=−=，

所以椭圆方程为22143xy+=；【小问2详解】如下图所示：因为四边形OPQA与三角形OPB的面积之比为3:2，所以三角形ABQ与三角形OPB的面积比为5:2，所以152122QPAByOBy=，所以54QPyy=，显然直线BP的斜率不为0，

设直线BP的方程为2xmy=+，联立2223412xmyxy=++=，所以()2234120mymy++=，所以21234Pmym=−+，2Qym=−，所以22512434mmm−=−+，解得223m=，当223m=时，22:

23BPxy=+，21262345Pmym=−=−+，所以226222355Px=−+=，所以262,55P−，当223m=−时，22:23BPxy=−+，21262345Pmym=−=+，所以226222355Px=−

+=，所以262,55P，综上可知，P点坐标为262,55或262,55−.20.已知椭圆22221xyab+=（0ab）的长轴长是短轴长的2倍.（1

）求椭圆的离心率e；（2）直线l过点()0,2N且与椭圆有唯一公共点M，O为坐标原点，当OMN的面积最大时，求椭圆的方程.【答案】（1）32（2）22182xy+=【解析】【分析】（1）依题意可得222ab=，即可得到12ba=，从而求出离心率；（2）由（1）可得椭圆方程为2

22214xybb+=，设直线l为2ykx=+，联立直线与椭圆方程，由Δ0=得到k、b的关系，再求出Mx，由12OMNMSONx=利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的k，从而求出2b，即可得解.【小问1详解】依题

意222ab=，即12ba=，所以离心率22222312cabbeaaa−===−=.【小问2详解】由（1）可得椭圆方程为222214xybb+=，即22244xyb+=，直线l的斜率存在且不为0，设斜率为k，则直线l为2ykx=+，由222244ykxxyb=++=，消去y整

理得()22214161640kxkxb+++−=，所以()()()222164141640kkb=−+−=，即222440kbb+−=，又2814Mkxk−=+，所以228888211122114421424OMNMSkkkkkkk

xkON−====++=+，当且仅当14kk=，即12k=时取等号，此时22214402bb+−=，解得22b=，所以椭圆方程为2248xy+=，即22182xy+=.获得更多资源请扫码加入享

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