【文档说明】东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三4月下学期联合模拟考试数学（理）答案.doc，共(2)页，421.500 KB，由小赞的店铺上传

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2021年高三联合模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题ACBDACACDBBC二、填空题()xcos.13;53.14;2.15;3e2.16三、解答题：17.解：（1）由n1n2nn2naa4aa2a−=++++得()

()21n1n2n2na2a4aa+++==+则1nn2na2aa++=+，所以数列na是等差数列；(),1d,1a21==,na2n=()()22221nn1n1n11nn1n2aa1n2+−

=++=++()()11n111n1n1212111S222222n+−=+−+++−=19解：（1）由题意，((()+−−=,348x,435x7.4348,228x,24.132x83.3288,0x,x25.3y…………………3分（

2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3．()247CC0p31037===，()4021CCC1

p3101327===()407CCC2p3102317===，()1201CC3p31033===故ξ的分布列是：0123p24740214071201()109120134072402112470E=+++=…………8分（3）由题

知，()()Nk,10k05253Ckpk10kk10=−由+−−−−−−++−1k101k1k10k10kk101k101k1k1

0k10kk105253C5253C5253C5253C，解得Nk,533k528．∴当6k=时，()kp概率最大．…………12分18．解：（1）证明：取A1B1中点D，连接DC1、DB，=MBDAMB//DA11四边形A1DBM为平行四边形，所以A1M∥DB，因为DM∥

B1B，DM＝B1B，又B1B∥C1C，B1B＝C1C，所以DM∥C1C，DM＝C1C，所以四边形DMCC1为平行四边形，所以DC1∥MC，A1M∩MC＝M，BD∩DC1＝D，所以平面BC1D∥平面A1CM，又因为BC1⊂平

面BC1D，所以BC1∥平面A1CM；（2）因为侧面ABB1A1是边长为2的菱形，∠ABB1＝120°，所以△A1AB为正三角形，所以A1M⊥AB，又因为平面AA1B1B⊥平面ABC，所以A1M⊥平面

ABC，所以A1M⊥MC，因为AC＝BC＝2，所以CM⊥AB，于是MB、MC、MA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,1A−，()0,1,0C，()0,0,1B，()3,0,2B1，23

,0,23N()==23,0,25AN,0,1,1AC，设平面ACN的法向量为()z,y,xn=．=+==+=0z23x25nAN0yxnAC，令5z−=，()5,3,3n−−=，平面MAC的法向量为()1,0,0m=，所以3

1315nmnmn,mcos−==．故二面角M﹣AC﹣N的余弦值为31315．20．解：（1）设椭圆E的右焦点为()0,cF2，则圆的方程为()222aycx=+−，所以圆心到直线的距离为a2122c=−+，又因为两焦点21FF、与短轴的一个端点的连线构成等

边三角形，所以c2a,c3b==，代入上式解得1c,3b,2a===，所以椭圆方程为13y4x22=+（2）①设()()()112211y,xD,y,xC,y,xB−−，所以43xxyykk2122212221−=−−=②由43kk21−=，则2121xx43yy−=，所

以()()212222212221x443x443yyxx169−−==即()222122212221xxxx416xx++−=，所以4xx2221=+又因为3yy4xx3y4x3y4x22221222122222121+++=

+++=故3yy2221=+，所以7yxyxOCOB2222212122=+++=+21.解：（1）函数定义域为()+−,1，求导得()01x1ax'f+−=,所以函数()xf在()+−,1上单调递减，又()()03ln523ln1a22f,01

0f−−+==，由零点存在定理()xf在()+−,1上有唯一零点.(2)①先证明1xxln−(略），由（1）可设函数的零点为0x而01a11a1a11a11lna1aa11f=+−−−++−−−=

−()()()()1a2lna1aa1fap+−−−=−=，则()0a21a21a'p−+−=，则所以()ap在−−103,上为增函数，则()02ln61.03.2ln61.0103pap−−=−则()()a1fxfa11f0−

−，而函数()xf在()+−,1上单调递减，则a1xa110−−成立；②由()0xf0=即()11xlnax0−+=而()a23x1xln2xf000+++=+,再证明x21xln−成立，从而得1xxlnx21−−令3

x1xx00++=，且a1xa110−−得()4a2a8a22xf4a24a11a4202−+−+−+−22.解：（1）椭圆化为45sin9cos52222=+，所以45y9x522=+，则15y9x22=+.设椭圆的内接矩形PMNQ中，P

的坐标为()sin5,cos3，所以562sin56sin5cos34SPMNQ==所以椭圆的内接矩形面积最大值为56.（2）由椭圆的方程15y9x22=+，得椭圆C的右焦点()0,2F，由直线经过右焦点()0,2F，得2m

=，易得直线的参数方程可化为=+=t23yt212x（t为参数）），代入到45y9x522=+，整理得，025t10t82=−+，所以825tt21−=，即825FBFA=.23.解（1）因为对任意实数

x，都有0m4x2x−−++恒成立，又,64x2x4x2x=+−+−++所以6m|m；（2）由（1）知6n=，所以1b2a31b5a4=+++由柯西不等式知：()()()9b2a31b5a4b2a3b5ab2a31b5a4b7a4b7a4++++++=++

++=+当且仅当1315b,133a==时取等号，所以b7a4+的最小值为9.