【文档说明】湖南省名校联合体2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.265 MB，由小赞的店铺上传

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名校联考联合体2023年春季高二第一次联考数学时量120min满分150分一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足3i1iz+=+，其中i是虚数单位，则z=（）A.2B.3C.5D.10【答案】C【解析

】【分析】先化简复数为2iz=−，结合复数模的求解方法可得答案.【详解】由题意()13iiz+=+，()()()()1i1i1i3iz−+=−+，242iz=−，2iz=−．则5z=．故选：C2.如图，在ABC中，6,3,,22ABACBACBDDC=

===，则ABAD=（）A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】【分析】由2BDDC=可得1233ADABAC=+，则212123333ABADABABACABABAC=+=+，代入化简即可得出答案.【详解】由2BDDC=可得：13DCBC=，所以()1133ACADB

CACAB−==−，所以1233ADABAC=+，212123333ABADABABACABABAC=+=+，因为6,3,2ABACBAC===，所以21213612333ABADABABAC=+==.故选：D.3.(

)41212xx−−的展开式中，常数项为（）A.4−B.6−C.8−D.10−【答案】D【解析】【分析】先求出()412x−展开式的通项公式，然后求出其一次项系数和常数项，从而可求得结果.【详解】()412x−展开式的通项公式为144C(2)C(2)rrrrrrTxx+=

−=−，所以()41212xx−−的展开式中，常数项为1044C(2)(2)C8210−+−=−−=−，故选：D4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P为角终边上的点，则cos2cos+=（）A.8

25B.1325C.2225D.2725【答案】A【解析】【分析】由三角函数定义得3cos5=，再根据二倍角公式计算即可.【详解】解：因为点(3,4)P为角终边上的点，所以，由三角函数的定义知34cos,sin55==，所以2938cos2cos2cos1cos2125525+=−

+=−+=故选：A5.已知等比数列na的各项均为不等于1的正数，数列nb满足36lg1812nnbabb===，，，则数列nb前n项和的最大值等于（）A.126B.130C.131D.132【答案】D【解析】【分析】先根据36,bb求出等比数列的首项和公比，求出n

b，利用等差数列求出前n项和，结合二次函数求解最值.【详解】由题意可知，33lgab=，66lgab=．又318b=，612b=，则2183110aaq==，5126110aaq==，解得210q−=，221

10a=．又na为正项等比数列，∴211lglglg102nnnnbbaa−−−−=−==−，即nb为等差数列，且2d=−，122b=．故()()2212224nbnn=+−−=−+．()()12222nnnnS−=+−22235292324nnn=−+=−−

+．又*Nn∵，故11n=或12时，()max132nS=．故选：D．6.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人都安排

一项工作的不同方法数为45B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为480C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为300D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人

参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126【答案】D【解析】【分析】根据乘法原理，结合排列和组合的定义逐一判断即可.【详解】每人都安排一项工作的不同方法数为54，即选项A错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为24

54CA240=，即选项B错误，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：31223525332222CCCCA150AA+=，即选项C错误，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案

的种数是1232334333CCACA126+=，即选项D正确，故选：D．7.在平面直角坐标系xOy中，()1,0A−，()10B,，若圆C：()()22231xaya−++−=上存在点P，使得2210PAPB+=，则a的取值范围

是（）A.60,5B.51,4−C.5,14−D.6,05−【答案】A【解析】【分析】设(),Pxy，由两点距离公式结合2210PAPB+=可得224xy+=，又点Р在圆C上，可得两圆心距离范围，即可列式求得a的取值范围.【详解

】设(),Pxy，所以()()2222221110PAPBxyxy+=+++−+=，即224xy+=，又点Р在圆C上，所以()()221233aa+−，解得605a，即a的取值范围是60,5.故选：A.8.已知圆()()222:0Mxmymm++=在椭圆()2222:

10xyCabab+=的内部，点A为C上一动点.过A作圆M的一条切线，交C于另一点B，切点为D，当D为AB的中点时，直线MD的斜率为22−，则C的离心率为（）A.12B.22C.32D.64【答案】C【解析】【分析】当点D为AB中点时，由点差法可得22ABODbkka

=−，再由AB与圆M相切可得1ABMDkk=−，可解出24ABk=；设E为C的左顶点，连接OD，则2DMEDOM=，根据正切的二倍角公式可解得2tan2DOM=，即得出22ODk=−，将24ABk=和22ODk=−代入22ABODbkka

=−得2214ba=，然后解出离心率22312bea=−=.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Dxy，则0122xxx=+，0122yyy=+.将A，B的坐标分别代入C的方程，得22112222222211xyabxyab

+=+=，两式相减，得()()222212122211xxyyab−=−−，所以()()()()2121221212yyyybxxxxa−+=−−+，即()()21202120yyybxxxa−=−−.当D为AB的中点

时，22MDk=−，则124ABMDkk=−=，故121224yyxx−=−.如图，设E为C的左顶点，连接OD，则2DMEDOM=，所以tantan2DMEDOM=22tan221tanDOMDOM==−，整理得

22tantan20DOMDOM+−=，解得2tan2DOM=或tan2DOM=−（舍去），则002tan2ODykDOMx=−=−=，所以222242ba−=−，所以2214ba=，故C的离心率13142e=−=.故选：C.【点

睛】本题考查椭圆离心率的计算，难度较大，解答的关键在于根据题目条件解出ABk和ODk，然后运用点差法得出22ABODbkka=−而得出a，b的关系求解离心率，其中难点在于根据DMk得到tanDME，运

用二倍角公式解出tanDOM从而得出ODk.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.从含有3道代

数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（）A.“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件B.“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立C.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是310D.在有代

数题的条件下，两道题都是代数题的概率是13【答案】ACD【解析】【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD．【详解】“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，它们互斥，A正确；“第1次抽到代数题”这个事件发生与否对事件

“第2次抽到几何题”发生的概率有影响，“第1次抽到代数题”发生时，“第2次抽到几何题”的概率是12，“第1次抽到代数题”不发生时，“第2次抽到几何题”的概率是14，它们不独立；B错；第1次抽到代数题且第2次也抽到代数

题的概率是3135210=，C正确；抽取两次都是几何题的概率是2115410=，因此有代数题的概率是1911010−=，在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是31109310=，D正确．故选：ACD．10.下列结论正确的有（）A.若随机变量,满足21=+，则(

)2()1=+DDB.若随机变量()23,N，且(6)0.84=P，则(36)0.34=PC.若样本数据(),(1,2,3,,)iixyin=线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(),xyD.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到24.712=

．依据0.05=的独立性检验()0.053.841=x，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据方差的性质判断即可；对B，根据正态分布的对称性判断即可；对C，根据回归直线的性

质判断即可；对D，根据独立性检验的性质判断即可【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量,满足21=+，则2()2()4()DDD==，故A错误；对B，根据正态分布图象对称性可得(36)(6)0.50.34PP=−=，故B正确；对C，根据回归直线过

样本中心点可知C正确；对D，由24.7123.841=可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确故选：BCD11.已知函数()exfxx=−，()lngxxx=−，则下列说法正确的是（）A.()exg在()0,+上是增函数的B.1

x，不等式()()2lnfaxfx恒成立，则正实数a的最小值为2eC若()fxt=有两个零点12,xx，则120xx+D.若()()()122fxgxtt==，且210xx，则21lntxx−的最大值为1e【答案】ABD【解析】【分析】A选项中，令e1xt=，利用导数可求得()

gt单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得()fx在()0,+上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为2lnxax，令()()2ln1xhxxx=，利用导数可求得()maxhx，由()maxahx可知B正确；C选项中，利用导数可

求得()fx的单调性，由此确定120xx，若120xx+，可等价转化为()()11fxfx−，令()()()()0Fxfxfxx=−−，利用导数可求得()Fx单调性，从而得到()0Fx，知()()11fxfx−

，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为()()()12ln2fxfxtt==，从而可确定211xx，结合()fx单调性得到12lnxx=，由此化简得到21lnlnttxxt=−，令()()ln2tttt=，利用导数可求得()t最大值，知D正确.【详解】对于A，当0x

时，e1x，令ext=，则1t，()lngttt=−，()111tgttt−=−=，当1t时，()0gt恒成立，()gt在()1,+上单调递增；ext=在()0,+上单调递增，根据复合函数单调性可知：()exg在()0,+上为增

函数，A正确；对于B，当1x时，2lnln10x=，又a为正实数，0axa，()e1xfx=−，当0x时，()0fx¢>恒成立，()fx\在()0,+上单调递增，则由()()2lnfaxfx得：2lnaxx

，即2lnxax，令()()2ln1xhxxx=，则()()221lnxhxx−=，.当()1,ex时，()0hx；当()e,x+时，()0hx；()hx在()1,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max2eehxh=

=，2ea，则正实数a的最小值为2e，B正确；对于C，()e1xfx=−，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx¢>；()fx\在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；()()min01fxf==，则1t；不妨设12xx，则必有120

xx，若120xx+，则210xx−，等价于()()21fxfx−，又()()21fxfx=，则等价于()()11fxfx−；令()()()()0Fxfxfxx=−−，则()ee2xxFx−=+−，

0xQ，0e1x，e1x−，ee2ee2xxxx−−+=，即()0Fx，()Fx在(),0−上单调递增，()()00FxF=，即()()fxfx−，()()11fxfx−，可知120xx+不成立，C错误；对于D，由()()()122fxgxtt==，

210xx得：()12ln1222elneln2xxxxxxtt−=−=−=，即()()()12ln2fxfxtt==，由C知：()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；()1e12f=−

，11x，则211xx，2ln0x，12lnxx=，即12exx=，()12111lnlnlnlnexttttxxxfxt===−−；令()()ln2tttt=，则()21lnttt−=，当()2,et时，()0t；当()e,t+时，()0t；()t

在()2,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max1eet==，即21lntxx−的最大值为1e，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于12xxa+（()()12fxfx=）的问题的基本步骤如下：①求导确

定()fx的单调性，得到12,xx的范围；②构造函数()()()Fxfxfax=−−，求导后可得()Fx恒正或恒负；③得到()1fx与()1fax−的大小关系后，将()1fx置换为()2fx；④根据2x与1ax−所处的范围，结合()fx的单调性，可得到2x与1ax−的大小关系，由此证

得结论.12.数列na满足112a=，()*1120Nnnnnaaaan++−−=，数列nb的前n项和为nS，且()*2N31nnbSn−=，则下列正确的是（）A.12023naB.数列1nnba−的前n项

和123322nnCnn+=+−+C.数列1nnaa+的前n项和14nTD.1110121210193322bbbaaa+++=+【答案】BCD【解析】【分析】求得数列na的通项公式判断选项A；求得数列

1nnba−的前n项判断选项B；求得数列1nnaa+的前n项和，进而判断选项C；求得数列nnba的前n项和nA进而判断选项D.【详解】由1120nnnnaaaa++−−=，有1112nnaa+−=，又112a=所以1na是首项为2，公差为

2的等差数列，则12nna=，则12nan=，则12023na，A错误；由213nnbS−=，可得111221=33bSb−=，解之得13b=又2n时，11213nnbS−−−=，则123nnnbbb−−=，整理得13nnbb−=则数列nb是首项为3公比为3的等比数列，则()

3nnbn=N，则数列1nnba−的前n项和()()()2234323nnCn=−+−++−()()122(22)3(13)3324233321322nnnnnnnn++−=++−+++=−=+−+−，B正确；11111()4(1)41nnaannnn+==−++，则数列

1nnaa+的前n项和11111111111(1)(1)4223341414nTnnn=−+−+−++−=−++，C正确；设数列nnba的前n项和nA，则2234323nnAn=+++，2313234323nnAn+=

+++，两式相减得()23122323232323nnnAn+−=++++−整理得()1213322nnnA+−=+，则当10n=时，1110193322A=+，D正确.故选：BCD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知函数()fx的定义域为R，且函数()()2gxfxx=+为奇函数，若31f=（），则3f−=（）______．【答案】19−【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合代入法进行求解即可.【详解】()(

)()()339,33910gfgf−=−+=+=，因函数()gx为奇函数，所以()()()()33039100319ggff−=−++=−=−+故答案为：19−．14.已知随机变量()21N，,且()()0PPa=，若()0

0xyaxy+=，,则12xy+的最小为值为_________．【答案】322+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求2a=，结合基本不等式可求答案.【详解】()21,N，可得正态分布曲线的对称轴为1x=，又()()

0PPa=，12a=，即2a=．则()()121121213332222222yxxyxyxyxy+=++=+++=+，当且仅当2yx=，即222,422xy=−=−时，等号成立.故答案为：322+.15.已知数列na满足101021

C33nnnnan−=，其前n项和为nS，则10S=________．【答案】203##263【解析】【分析】先对通项公式进行变形为110192021C333nnnna−−−=，然后利用二项式定理进行求和.【详

解】因为101011011109921212021C10CC3333333nnnnnnnnnnan−−−−−−===，091890011012

10999920212121CCC3333333Saaa=+++=+++92201203333=+=.故答案为：203.16.已知函

数()fx满足()21,0lg,0xxfxxx−=，若方程()()22420fxmfxm−++=有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________.【答案】1,3【解析】【分析】令()tfx=，则方程22[()]4()20fxmf

xm−++=转化为22420tmtm−++=，原问题等价于22420tmtm−++=有两个根，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组求解即可得答案.【详解】令()tfx=，则方程22[()]4()20fxmfxm−++=转化为22420tmtm−++=，作出函数(

)fx的图象如下图所示，由题意，方程22[()]4()20fxmfxm−++=有五个不相等的实数根，即22420tmtm−++=有一个根()11,t+，一个根(20,1t或有一个根10t=，一个根(20,1t令

22()42httmtm=−++，当有一个根()11,t+，一个根(20,1t则()()2222Δ4420(1)1420mmhmm=−−+=−++解得：13m，当有一个根10t=，一个根(20,1t则()()()2

2222Δ4420114204102220mmhmmmm=−−+=−++−−+=解得：m，综上，实数m的取值范围为1,3故答案为：1,3【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)

常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题:本题共6小题，共

70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．17.已知na是等差数列，nb是公比不为1的等比数列，112226abab====，．（1）求数列nnab，的通项公式;（2）若集合*,,NmmkM

bbamk==∣，且1100k，求M中所有元素之和．【答案】（1）42nan=−，123nnb−=（2）242【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式求解，可得答案；（2）先根据nkba=，以及1100k得出n的范围，利用等比数列求和可得答案.【小问1详解】设na的

公差为d，nb的公比为q，则由112ab==，226ab==，可得2626dq+==，解得43dq==．所以42nan=−，123nnb−=.【小问2详解】设nkba=，即12342nk−=−，得1321nk−=−，因为1100k，所以121199k

−，故113199n−，由于4531993，所以014n−，即15n，所以M中所有元素之和为：()51234521324213bbbbb−++++==−．18.小明参加一个挑战游戏，他每次挑战成功的概率均为01pp（）．现有3次挑战机会，并规

定连续两次挑战均不成功即终止挑战，否则继续下一次挑战．已知小明不放弃任何一次挑战机会，且恰好用完3次挑战机会的概率是2125．（1）求p的值;（2）小明每挑战成功一次，可以获得500元奖励，记其获得的奖励金额为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）35p=（2）分布列见解析，期望为

852.【解析】【分析】（1）利用对立事件以及所给概率值可求出p的值；（2）先求X的所有取值，分别求解每个取值对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得期望.【小问1详解】设事件A：“恰用完3次挑战机会”，则其对立事件A：“前两次挑战均不成功”，依题意，()()()22111125PA

PAp=−=−−=，解得35p=．【小问2详解】依题意，X的所有可能值为0，500，1000，1500；()()240125PXp==−=，()()()()224500111125PXppppp==−+−−=,()327150

0125PXp===,故()()()()541000105001500125PXPXPXPX==−=−=−==,X的概率分布列为：X050010001500P425241255412527125数学期望()424542

705001000150085225125125125EX=+++=.19.直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，点D在线段AB上．（1）当AC1//平面B1CD时，确定D点的位置并证明；（2）当13BDAB=时，求二面角B－CD－

B1的余弦值．【答案】（1）D是AB的中点，证明见解析（2）36161【解析】【分析】（1）连接BC1，交B1C于点E，连接DE，由题意证得DE//AC1，再由线面平行的判定定理即可证明.（2）以C为原点建立如图所

示的空间直角坐标系C－xyz，分别求出平面BCD和平面B1CD的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小问1详解】当D是AB的中点时，AC1//平面B1CD．证明：连接BC1，交B1C于点E，连接

DE.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为1ABC的中位线，所以DE//AC1.因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1//平面B1CD．【小问2详解】由AB＝10，AC＝8，BC＝6得AC⊥BC．以C

为原点建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则B(6，0，0)，A(0，8，0)，()()110,8,8,6,0,8AB．设()(),,00,0Dabab，因为点D在线段AB上，且13BDAB=，即13BDBA=.所以a＝4

，b＝83.所以1BC＝(－6，0，－8)，CD＝(4，83，0)．平面BCD的一个法向量为1n＝(0，0，1)，设平面B1CD的法向量为2n＝(x，y，1)，由1BC·2n＝0，CD·2n＝0得680,8

40,3xxy−−=+=所以43x=−，y＝2，1z=，24,2,13n=−．设二面角B－CD－B1的大小为θ，cosθ＝121236161nnnn=，所以二面角B－CD－B1的余弦值为36161.20.2022年

12月15至16日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，推出了为期10天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠

售房活动期间到访客户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第i天记为ix，第i天到访的人次记为iy，i1,2,3,=）ix（单位：天）1234567iy（单位：人次）12224268132202392（1）根据统计数据，

通过建模分析得到适合函数模型为xycd=（c，d均为大于零的常数）.请根据统计数据及下表中的数据，求活动到访人次y关于活动开展的天次x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次；参考数据：其中770.84111lg,1.84,58.55,106.97

iiiiiiivyvvxv======；参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnuvuvuv，其回归直线ˆˆˆvu=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆ,nniiii

iinniiiiuuvvuvnuvvuuuunu====−−−===−−−；（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意向的决定因素主要

有三类：A类是楼盘的品质与周边的生态环境，B类是楼盘的品质与房子的设计布局，C类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：类别A类B类C类频率0.40.20.4从被回访的客户中再随机抽取3人聘为楼盘的代言

人，视频率为概率，记随机变量X为被抽取的3人中A类和C类的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）0.256.910ˆ=xy；690（2）分布列见解析，数学期望为125【解析】【分析】（1）将xycd=转换lglglgydxc=

?，由最小二乘法求回归直线方程，再换回xycd=形式；（2）4~3,5XB，结合二项分布的概率公式及期望公式即可求.【小问1详解】由xycd=得lglglgydxc=?，由77111lg,1.84,58.557iiiiiiivyvvxv======，4x=，为722

22222211234567140iix==++++++=，∴7172221758.55741.840.2514074l7giiiiixvxvxdx==--创=?-?=-åå，4llg1.840.254,g0.84lg0.

250.8cvdxyx-?-?+==.则所求回归方程为：0.840.250.25106.910ˆxxy+==.当8x=时，0.258ˆ6.910690y==，故预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690；【小问2详解】由题意得，A类和C类被抽取得概率为0.40.40.8+=，X可取0，

1，2，3，且4~3,5XB，∴()03034110C55125PX===，()121341121C55125PX===，()212341482C55125PX===，()30334

1643C55125PX===.∴X的分布列为X0123P1125121254812564125X的数学期望为()412355EX==.21.设函数()()()1ln1fxxx=++．（1）求曲线()yfx=在点()()e1,e1f−−处的切线方程;（2）若对所有的0x

，都有()fxax成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）2e20xy−−+=（2）(,1−．【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后点斜式写出切线方程；（2）将已知条件不等式()fxax在0x时恒成立转化为()()=()0gxfxa

xg−在0x时恒成立，结合极值点与0的关系可得答案.【小问1详解】()e1ef−=，由()()ln11fxx=++，得()e12f−=，则()yfx=在点()()e1,e1f−−处的切线方程为()2e1e2e2yxx=−++=−+，即切线方程为2e2

0xy−−+=.【小问2详解】令()()()1ln1gxxxax=++−，(0)0g=；不等式()fxax在0x时恒成立等价于()()0gxg在0x时恒成立．令()()ln110gxxa=++−=，得1e1ax−=−；当()1

1,e1ax−−−时，()0gx，()gx为减函数，当()1e1,ax−−+时，()0gx，()gx为增函数．()0gx在0x时恒成立等价于1e10a−−，即10eea−，解得1a．故a的取值范围是(,1

−．22.设函数()2lnxfxeax=−.（Ⅰ）讨论()fx的导函数()fx的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a时()22lnfxaaa+.【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx没有零点；当0a时，()fx存在唯一零点.（Ⅱ）见解析【

解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分0a与0a考虑()fx的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()fx在()0+，的唯一零点为0x，根据()fx的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，

即可证明其最小值不小于22lnaaa+，即证明了所证不等式.试题解析：（Ⅰ）()fx定义域为()0+，，()2()=20xafxexx−.的当0a时,()0fx，()fx没有零点；当0a时，因为2xe单调

递增，ax−单调递增，所以()fx在()0+，单调递增.又()0fa,当b满足04ab且14b时，()0fb,故当0a时，()fx存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()fx在()0+，的唯一零点为0x，当()00xx

，时，()0fx;当()0+xx，时，()0fx.故()fx在()00x，单调递减，在()0+x，单调递增，所以当0xx=时，()fx取得最小值，最小值为0()fx.由于0202=0xaex−，所以00022()=2ln2ln2afxaxaaaxaa++

+.故当0a时，2()2lnfxaaa+.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.