【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》1.5 函数y=Asin（ωx φ）的图象含答案【高考】.doc，共(7)页，310.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-函数y=Asin(ωx+φ)的图象整体设计教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并

通过图象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin

(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系

.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(

x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+

φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真

理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=si

nx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这

类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函

数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.推进新课新知探究提出问题①在同一坐标系中作出y=2sinx及

y=21sinx的简图，并指出它们与y=sinx图象间的关系。活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导-2-学生观察y=2sinx图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得A

对y=Asinx的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横向伸缩的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结图1问题②,①作函数y=sin2x及y=sin21x的简图，并指出

它们与y=sinx图象间的关系。由学生作出取不同值时,函数y=sin2x及y=sin21x的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.活动:问题②学生自主完成再进行归纳图2学生得出结论:函数y

=sinωx(其中ω>0)的图象,可看作把y=sinx图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍而得到.问题③作函数y=sin(x+3)和y=sin(x-4)的简图，并指出它们与y=sinx图象之间的关系。教

师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=3,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同

一个y值,y=sin(x+3)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去3.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+3)的图象,可以看作是把正弦曲

线y=sinx上所有的点向左平移3个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移3使之与y=sin(x+3)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=4−,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移-3-4后与y=sin(x4−)

的图象重合.图3如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+

φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+3

)为参照,把y=sin(2x+3)的图象与y=sin(x+3)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+3)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+3)的图象上对应

点的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=21,让学生自己比较y=sin(21x+3)的图象与y=sin(x+3)图象.教

学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(21x+3)的图象.当取ω为其他值时,观察相应的

函数图象与y=sin(x+3)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=s

in(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)-4-或伸长(当0<ω<1时)到原来的1倍(纵坐标不变)而得到.问题⑤,教师

点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3)的图象和y=sin(2x+3)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个

横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+3)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3)的图象

,可以看作是把y=sin(2x+3)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin

(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、

ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函

数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐

标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由

简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ

)的整体考察.②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx的图象

)()10()1(横坐标不变倍这原来的或缩短纵坐标伸长AAA⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯得y=Asinx的图象)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯-5-得y=Asin(ωx)的图象个单位平移或缩短向左||)1()0(⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯得y=

Asin(ωx+φ)的图象.规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象个单位长度平移或向右向左||)0()0(⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯得y=sin(x+φ)的图象)(1)1()10(纵

坐标不变到原来或缩短横坐标伸长⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯得y=sin(ωx+φ)的图象)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长AAA⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯得y=Asin(ωx+φ)的图象.先伸缩后平移的步骤程序(见上).应用示

例-6-例1.如何由xysin=的图像得到)421sin(3−=xy的图像活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝4−,ω＝21,A＝3,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到的)421sin(3

−=xy图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动4个单位长度,得到y=sin(x-4)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(21x-4)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标

不变)而得到函数)421sin(3−=xy的图象.(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数)4

21sin(3−=xy,简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数)421sin(3−=xy)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.知能训练课本本节练习1、2.解答:1.如图6.点评:第(1)(2)

(3)小题分别研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响,第(4)小题则综合研究了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响.2.(1)C;(2)B;(3)C.点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2

x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度,在A1与A2,ω1与ω2,φ1与φ2中,每题只有一对数值不同.课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练

提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3)的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.作业1.用图象变换的方法在同一坐标系

内由y=sinx的图象画出函数y=21−sin(-2x)的图象.-7-2.要得到函数y=cos(2x-4)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.解答:1.∵y=21−sin(-2x)=21sin2x,作图过程

:y=sinx纵坐标不变倍横坐标变为原来的⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯21y=sin2x横坐标不变倍纵坐标变为原来的⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯21y=21sin2x.2.∵y=cos(2x-4)=sin[2+(2x-4)]=si

n(2x+4)=sin2(x+8),∴将曲线y=sin2x向左平移8个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的21倍,再将所得曲线上所有的点向上平移1

个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响

.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换,由于“平移变换

”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数图象变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构

,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.