【文档说明】广西钦州市大寺中学2021届高三下学期4月模拟数学理试题4 PDF版含答案.pdf，共(10)页，835.967 KB，由小赞的店铺上传

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1钦州市大寺中学2021届高三毕业班数学模拟练习[理4]一．选择题1.设集合|01xMxx，|02Nxx，则MN（）A．|01xxB．1|0xxC．|02xx

D．|02xx2.设复数z满足25zi，则在复平面内z对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3.已知平面向量a，b满足1,2a，3,bt，且aab，则b（）A.3B.10C.23

D.54.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．

200号学生C．616号学生D．815号学生5.设等差数列{an}的前n项和为Sn若S3＝9，S6＝27，则S9＝()A．45B．54C．72D．816.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.38πB.π

4C.524πD.724π7.在3101(1)xx的展开式中5x的系数是()A．207B．252C．297D．2078.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA

1＝12，则球O的半径为()A．3172B．210C．132D．3109.已知F是双曲线2222:10,0xyCabab的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A

.22B.3C.5D.2210.函数xxeyx的图象大致形状是（）A．B．C．D．11.已知函数()xxgxee，()()fxxgx,若53,,(3)22afbfcf，则a,b,c的大小关系为（）A．b<a<cB．c<b<aC

．a<b<cD．b<c<a12.设F为抛物线C：23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于,AB两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A．334B．938C．6332D．94二．填空题13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种

.(用数字填写答案)14.某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分

的学生约有________人.15.在正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是__________．16.已知2sincosfxxx，下列结论:①fx即是奇函数也是周期函数②

fx的最大值为33③fx的图象关于直线2x对称④fx的图象关于点,0中心对其中正确的是__________（填序号）．三．解答题17.设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，且3b，1c，2AB．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin(

)4A的值．318.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间（分钟）进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）求实数a的值以及参加课外活动时间在10,20中的人数；（Ⅱ）从每天参加活动不少于40分钟的人中任选3人，用X表示参加课外活动不少于50分钟的人数，求

X的分布列和数学期望．19.已知如图①，在菱形ABCD中，60A且2AB，E为AD的中点，将ABE△沿BE折起使2AD，得到如图②所示的四棱锥ABCDE.（Ⅰ）求证：平面ABE平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的

中点，求二面角PBDA的余弦值.20.已知椭圆的离心率．直线x＝t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△AB

C的面积的最大值．421.已知函数2xfxexax.（Ⅰ）证明：当22ln2a时，函数fx在R上是单调函数；（Ⅱ）当0x时，1fxx恒成立，求实数a的取值范围.22.以平面直角坐标系x

Oy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin26，曲线C的参数方程为2cos3sinxy（为参数）.（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲

线C的普通方程；（Ⅱ）以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最大值.23.已知0a，0b，1ab.（Ⅰ）求11ab的最大值；（Ⅱ）若不等式111xmxab对任意x

R及条件中的任意,ab恒成立，求实数m的取值范围.5钦州市大寺中学2021届高三毕业班数学模拟练习[理4]参考答案一．选择题123456789101112BDBCBDACCDAD1.解：由01xx得(1)010xxx

，解得01x，即{|01}Mxx，∴{|01}MNxx．故选：B．2.解：∵25zi，∴5252222iziiii，∴2zi，∴在复平面内z对应的点在第一象限

.故选：D.3.解：1,23,2,2ttab由aab，所以0aab12220t，1t，3,1b，10b故选：B4.解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽

到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}na，公差10d，所以610nan()nN，若8610n，则15n，不合题意；若200610n，则19.4n，不合题意；若616610n

，则60n，符合题意；若815610n，则80.9n，不合题意．选C．5.解：因为{an}为等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6即36＝9＋S9－27，所以S9＝54，

故选B.6.解析：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即14，下方削去半个球，故几何体的体积为V＝π×122×2－14×π×122×2－12×43×π×123＝72

4π，故选D.7.解：101x的通项公式为110rrrTCx，故可得其5x的系数为510C，2x的系数为210C，故容易得在3101(1)xx的展开式中5x的系数为521010207CC.故选：A.8.解：如图，作出直三棱柱A

BC－A1B1C1的外接球O.由题意，直三棱柱的底面ABC是直角三角形，所以底面△ABC外接圆的圆心是BC的中点E，底面△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点E1.由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O就是线段EE1的中点．连接OA，A

E.在△ABC中，AC⊥AB，所以BC＝AB2＋AC2＝32＋42＝5，所以EA＝12BC＝52.又OE＝12AA1＝12×12＝6，由球的截面的性质可得OE⊥平面ABC，所以OA＝EA2＋OE2＝522＋62＝132.即直三棱柱外接球的半径为132.故选C．9.解：设一

条渐近线方程为0bxay，,0Fc，则点F到C的一条渐近线的距离222bcdbaab，6则双曲线C的离心率2215bea，故选C.10.当0x时,1xxfxee，此时函数fx在0,上是减函数，值域为0,1；当0x时,

1xxfxee,此时函数fx在,0上是增函数，值域为,1.综上，选项D符合题意.故选：D.11.【解】依题意，有()()gxgx，则()eexxgx为奇函数，且在R上单调递增，所以()f

x为偶函数．当0x时，有()(0)gxg，任取120xx，则120gxgx，由不等式的性质可得11220xgxxgx，即120fxfx，所以，函数()fx在(0)，上递增，因此，355(3)222ffff

，故选：A．12.【解】易知抛物线中32p，焦点3(,0)4F，直线AB的斜率33k，故直线AB的方程为33()34yx，代入抛物线方程23yx，整理得22190216xx．设1122(,),(,)AxyBxy，则1

2212xx，由物线的定义可得弦长12||12ABxxp，结合图象可得O到直线AB的距离3sin3028pd，所以OAB的面积19||24SABd．故选：D.二．填空题：13．解：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C

34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种).14．解：因为数学成绩服从正态分布X～N(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×1－35＝15，所以此次

数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人).15．解：由题意，正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，可得a23＋2a3a7＋a27＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，a5与a9的等差中项为4，即a5＋a9＝8，设公比为q，则

q2(a3＋a7)＝4q2＝8，则q＝2(负的舍去)，16．解：由题意，函数2sincosfxxx的定义域为R关于原点对称，又由22sincossincosfxxxxxfx，所以fx是奇函数；且

222sin2cos2sincosfxxxxxfx，所以fx又是周期函数，所以①是正确的；由22sincossincosfxxxxxfx，即fxfx

，7所以fx关于直线2x对称，所以③是正确的；由222sin2cos2sincosfxxxxxfx，所以fx关于点,0对称，所以④是正确的；由32sin1sinsinsinfxxxxx，令sin,[1,1]txt

，32(),()31gtttgtt，令111()0,,(1,)(,1),()0333gttxgt，11(,),()033tgt，()gt的单调递减区间是11(1,),(,1)33，()g

t的单调递增区间是11(,)33，()gt的极大值为111123(),(1)033339gg，所以()gt的最大值为239，即函数()fx的最大值为239，故②错误.所以正确的是①③④三．解答题17．解：（Ⅰ）∵2AB，∴sinsin22sincosABBB，由正弦定

理得22222acbabac∵3,1bc，∴212,23aa．（Ⅱ）由余弦定理得22291121cos263bcaAbc，由于0A，∴22122sin1cos1()33AA，

故2221242sin()sincoscossin()44432326AAA．18.解：（Ⅰ）因为所有小矩形面积之和等于1，所以可得方程100.02100.0375100.017510101aa

，解得0.0125a，由于参加课外活动时间在10,20内的频率等于0.0125100.125，因此参加课外活动时间在10,20中的人数为400.1255．（Ⅱ）依题意，参加课外活动时间在40,50，50,60的人数分别为7人和5人，随机变量

X的取值可能为0，1，2，3．因为373127044CPXC，217531221144CCPXC，812753127222CCPXC，353121322CPXC，所以X的分布列为：X0123P744214472212272171

50123444422224EX．19．【解】（Ⅰ）在图①中，连接BD，如图所示：因为四边形ABCD为菱形，60A，所以ABD△是等边三角形.因为E为AD的中点，所以BEAE，BEDE.又2ADAB，所以1AEDE.在图②中，2

AD，所以222AEEDAD，即AEED.因为//BCDE，所以BCBE，BCAE.又BEAEE，,AEBE平面ABE.所以BC平面ABE.又BC平面ABC，所以平面ABE平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A

EDE，AEBE.因为BEDEE，,BEDE平面BCDE.所以AE平面BCDE.以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则0,0,0E，0,0,1A，3,0,0B，3,2,0C

，0,1,0D.因为P为AC的中点，所以31,1,22P.所以31,1,22PB，31,0,22PD.设平面PBD的一个法向量为,,mxyz，由00PBmPDm得3102231022xy

zxz.令3z，1x3y，所以1,3,3m.设平面BDA的一个法向量为111,,nxyz.因为3,0,1BA，0,1,1AD，由00B

AnADn得1111300xzyz，令11x，得1,3,3n，则1331cos,777mnmnmn，9又二面角PBDA为锐角，所以二面角PBDA的余弦值为17.20．解：（Ⅰ）∵椭圆的离

心率，∴．解得a＝2．∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）依题意，圆心为C（t，0），（0＜t＜2）．由得．∴圆C的半径为．∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d＝t，∴，即．∴弦长．∴．当且仅当，即时，等号成立．∴△ABC的面积的最大值为．21．解：（Ⅰ）2xfxexa

，令2xgxexa，则2xgxe.则当ln2x，时，0gx，当ln2x，时，0gx.所以函数gx在ln2x取得最小值，ln222ln20ga.故0fx，即函数fx在R上是单调递增函数.（

Ⅱ）当0x时，21xexaxx，即11xeaxxx令11xehxxxx（0x），则2221111xxxexexxhxxx令1xxex（0x），则10xxe

.当0x，时，x单调递增，00x.则当01x，时，0hx，所以hx单调递减.当1x，时，0hx，所以hx单调递增.所以min11hxhe

，所以1ae，.22．解：（Ⅰ）由sin26，得31sincos222，将siny，cosx代入上式，得直线l的直角坐标方程为340xy.10由曲线C的参数方程2cos3

sinxy（为参数），得曲线C的普通方程为22143xy.（Ⅱ）设点M的坐标为2cos,3sin，则点M到直线l：340xy的距离为13sin42cos3sin422d（其中2tan3

，为锐角），当dr时，圆M与直线l相切，故当sin1时，r取最大值，且r的最大值为4132.23.解：（Ⅰ）2111121111116ababababab

，当且仅当11ab，即12ab时取等号，11ab的最大值为6.（Ⅱ）111124baabababab，当且仅当baab，即ab时取等号，11ab的最小值为4.又11xmx

m，14m，解得35m，即m的取值范围为3,5.