【文档说明】广西钦州市大寺中学2021届高三下学期4月模拟数学理试题2 PDF版含答案.pdf，共(10)页，958.633 KB，由小赞的店铺上传

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1钦州市大寺中学2021届高三毕业班数学模拟练习[理2]一．选择题1.已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)＝()A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．

{1,6,7}2.已知复数z满足(2)|34|zii（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)D．(2,1)3.设命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，则﹁p为()A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－

x＋1≤0C．∃x0∈R，x20－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<04.设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何

体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)，其直观图如图(1)所示，图(2)中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，

bB．a，cC．c，bD．b，d6.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A.112B.12C.13D.167.已知α∈0，π2）,2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.5

5C.33D.2558.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（）A．89B．910C．1011D．111229.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.6

3B.33C.23D.1310.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－y28＝1D.x28－y24＝111.已知

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36π12.在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC＝3，则该三棱

锥外接球的体积是()A.4π3B．82π3C．43πD．32π3二．填空题13.若实数x，y满足约束条件322020,0xyxyxy，则2zxy的最大值为________．14.5(1)(2)xx

的展开式中，3x的系数为______．15.函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．16.已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.三．解答题17.设nS为等差数列na的前n项和，

9238Saa＝81，＝.（1）求na的通项公式；（2）若314mSaS，，成等比数列，求2mS.318.中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单

位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟0,1010,2020,3030,4040,5050,60总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在40,60的学生评价为“锻炼达标”.（1

）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流

，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：22nadbckabcdacbd，其中nabcd.临界值表：1

9.如图，四棱锥PABCD中，ABCD∥，2BCD，PABD，2AB，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.DABCP420.设A，B，C，D是抛物线E：x2＝2py(p＞0)

上的四点，A，C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧，直线l：x－y－1＝0是抛物线在点C处的切线，BD∥l.(1)求抛物线E的方程；(2)求证：AC平分∠BAD21.已知函数1()lnfxxmxx在区间(0,1)上为增函数，m

R.（1）求实数m的取值范围；（2）当m取最大值时，若直线l：yaxb是函数()()2Fxfxx的图像的切线，且,abR，求ab的最小值.22.以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标

系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为x＝tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数，0≤α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ.(1)若α＝π6，求直线l的普通方程和曲线C的直

角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．23.已知函数f(x)＝14(x＋1)2.(1)证明：f(x)＋|f(x)－2|≥2；(2)当x≠－1时，求y＝14fx＋[f(

x)]2的最小值．5钦州市大寺中学2021届高三毕业班数学模拟练习[理2]参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBCAACBBABCA1.解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}

，∴∁UA＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁UA)＝{6,7}．故选C.2.解析：由题意，(2)5zi，故55(2)5(2)22(2)(2)5iiziiii，其在

复数平面内对应的点的坐标为(2,1).故选B.3.解析：已知原命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定命题的结论，故原命题的否定﹁p为∃x0∈R，x20－x0＋

1≤0.选C4.解析：解法一：由|a＋b|＝|a－b|的几何意义知，以向量a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以a⊥b.故选A.解法二：将|a＋b|＝|a－b|两边分别平方得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a

·b＋|b|2，即a·b＝0，故a⊥b.故选A.5.解析：当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.6.解析：大学生小明与另外3名大学生一起分

配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n＝C24A33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝A33＋C23A22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p＝mn＝

1236＝13.答案C7.解析：由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝15.又α∈

0，π2，∴sinα＝55.故选B.8.解析：由框图可知,输出的11111111119......122334910122391010S故选B69.解析：由题意可得a＝|b·0－a·0＋

2ab|b2＋－a2，故a2＝3b2，又b2＝a2－c2，所以a2＝3(a2－c2)，所以c2a2＝23，所以e＝ca＝63.故选A10.解析：由离心率为2可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a，0)，由题意可知kPF＝4－00－－2a＝4

2a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1，故选B.11.解析：c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝223得sinC＝13，再由正弦定理可得2R＝csinC＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.12.解析

：由PA＝PB＝PC＝2，得点P在平面ABC内的射影O为底面△ABC的外心，PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝3，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC

＝－12，所以sin∠BAC＝32.由正弦定理得OA＝BC2sin∠BAC＝1，即OA＝OB＝OC＝1.在Rt△POA中，PO＝PA2－OA2＝1，所以OA＝OB＝OC＝OP＝1，所以三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，其半径为1，故三棱锥P-ABC的外接球的体积为4π3，选A.二、填空题13.解

析：约束条件表示的平面区域如图所示，32202xyxy解得2585xy即28,55B图形是由原点O，(0,1)A，28,55B，(2,0)C围成的四边形区域（包括边界），由线性规划可得当直线2txy平移到B点时，目标函数2zxy

有最大值，则max28182555z14.解析：∵（2+x）5的展开式的通项公式为Tr+15rC25-r•xr，∴在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为32235522CC40+80＝1

20，7故答案为120．15.解析：∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.又函数f(x)图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴

当t＝1时，f(x)有最小值－4.16.解析：解法一：令f(x)＝x＋lnx，则f′(x)＝1＋1x，∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋

1的切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2.得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－12，又ax20＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax20＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，∴x0＝－12.此时a＝8.解法二：令f(x)＝x＋lnx

，则f′(x)＝1＋1x，f′(1)＝2，所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y＝2x－1.将y＝2x－1代入y＝ax2＋(a＋2)x＋1，得ax2＋ax＋2＝0，由题意得Δ＝a2－8a＝0，得a＝8(a＝0舍去)．三、解答题17.解：（1）nS为等差数列na的前n项和，923

8Saa＝81，＝.∴95123199481238Saadaaad，解得112ad＝，＝，11221nann＝＝.（2）由（1）知，21212nnnSn

.314mSaS，，成等比数列，2314mSSa，即22927m＝解得9m＝，2218324mS18.解：（1）由22列联表中数据，计算得到2K观测值为2200602030901505090110k2006.0615.02433.所以在犯

错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.8（2）（i）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人.（ii）X的可能取值为0，1，2；26210103CPXC

，11642108115CCPXC，242102215CPXC，∴X的分布列为：∴X的数学期望1824012315155EX.19.解：（1）∵AB∥CD，∠BCD2，P

A＝PD＝CD＝BC＝1，∴BD2，∠ABC2，4DBC，∴4ABD，∵AB＝2，∴AD2，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD＝A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（

2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO22，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1122，，0），B（1322

，，0），C（1322，，0），P（0，0，22），BC（﹣1，0，0），BP（1322，，22），设平面PBC的法向量n（x，y，z），则01320222nBCxnBPxyz，取z2，得n（0，23，2），∵PA（1122，，

22），9∴cos22211nPAnPAnPA＜，＞，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为22211．20.解：(1)联立x2＝2py，x－y－1＝0，消去y得x2－2px＋2p＝0.∵l与抛物线相切，∴Δ＝4p2－8p＝0

，∴p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：设点B(xB，yB)，D(xD，yD)，由(1)可得C(2,1)，A(－2,1)．∵直线l∥BD，∴设直线BD的方程为y＝x＋t.由y＝x＋t，x2

＝4y，得x2－4x－4t＝0，∴xB＋xD＝4.又∵kAD＋kAB＝x2D4－1xD＋2＋x2B4－1xB＋2＝xD＋xB－44＝0，∴AC平分∠BAD.21.解：（1）∵1lnfxxmxx，∴211fxmxx．函数fx在区间0,1上为增函数，∴21

10fxmxx在0,1上恒成立，∴221111124mtxxxx在0,1上恒成立．令2211111,0,124txxxxx，则当

1x时，tx取得最小值，且2mintx，∴2m，∴实数m的取值范围为,2．（2）由题意的11ln22lnFxxxxxxx，则211Fxxx，设切点坐标为0001,lnxxx，则切线

的斜率020011afxxx，又0001lnxaxbx，∴002ln1bxx，∴020011ln1abxxx．令211ln1(0)hxxxxx，10则

23233211212xxxxhxxxxxx，故当0,1x时，0,hxhx单调递减；当1,x时，0,hxhx单调递增．∴当1x时，hx有最小值，且

11minhxh，∴ab的最小值为1．22.【解析】(1)当α＝π6时，由x＝tcosα，y＝2＋tsinα，消去t，化简得x－3y＋23＝0.由ρcos2θ＝4sinθ，得(

ρcosθ)2＝4ρsinθ.∴曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝4y，化简得t2cos2α－4tsinα－8＝0.显然cosα不能为0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4sinαcos2α，t1t2＝－8co

s2α.∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝41cos2α＋122－14.∴当cos2α＝1，即α＝0时，|AB|取得最小值42.23.【解析】(1)证明：∵f(x)＝14(x＋1)2≥0，∴

f(x)＋|f(x)－2|＝|f(x)|＋|2－f(x)|≥|f(x)＋[2－f(x)]|＝|2|＝2.(2)当x≠－1时，f(x)＝14(x＋1)2＞0，∴y＝14fx＋[f(x)]2＝18fx＋18fx

＋[f(x)]2≥3·318fx·18fx·[fx]2＝34，当且仅当18fx＝18fx＝[f(x)]2，即x＝－1±2时取等号．∴y＝14fx＋[f(x)]2的最小值为34.