【文档说明】四川省内江市第六中学2023-2024学年高三上学期第一次月考文科数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.520 MB，由小赞的店铺上传

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内江六中2023—2024学年（上）高2024届第一次月考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,1,2,3,4,5A=−，

()()150BxNxx=−−，则AB=ð（）A.3B.2,3C.2,3,5D.1,1,5−【答案】D【解析】【分析】求出集合B，利用补集的定义可求得集合ABð.【详解】()()15015

2,3,4BxNxxxNx=−−==，1,1,2,3,4,5A=−，因此，1,1,5AB=−ð.故选：D.【点睛】本题考查补集计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.122ii+=−+（）A.4

15i−+B.45i−+C.i−D.i【答案】C【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；【详解】解：12(12)(2)52(2)(2)5iiiiiiii++−−−===−−+−+−−，故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，

属于基础题.3.已知()1,1a=−，()1,2b=−，则()2aba+=（）A.1−B.0C.1D.2的【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运算、数量积的坐标表示求得正确答案.【详解】由题知()2

1,0ab+=，所以()()()21,01,11aba+=−=．故选：C．4.设nS为等差数列na前n项和，83742Saa==−，，则9a=（）A.6B.4C.6−D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意求出首项和

公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设等差数列na的公差为d，由83742Saa==−，，得()11187842262adadad+=++=−，解得1102ad==−，所以9186aad=+=−.故选：C.5.设曲线11xyx+=−在点(32)，处的切线与直线10ax

y++=垂直，则=aA.2B.12C.12−D.2−【答案】D【解析】【详解】32221(1)221,|(1)(1)(31)2xxxyyxx=−−+==−=−=−−−−,直线10axy++=的斜率为-a.所以a=-2,故选D6.数学与音

乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）的A.11sinsin2sin323=++yxxxB.11sin

sin2sin323yxxx=−−C.11sincos2cos323yxxx=++D.11coscos2cos323yxxx=++【答案】A【解析】【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中()04πf，判断出A对，B错；由图

像得(0)0f=，判断出C，D错误，即可得出答案．【详解】对于A，函数()11sinsin2sin323yfxxxx==++，因为()()11sinsin2sin323fxxxxfx−=−−−=−，所以函数为

奇函数，又π2121220422623f=++=+，故A正确；对于B，函数()11sinsin2sin323yfxxxx==−−，因为()()11sinsin2sin323fxxxxfx−=−++=−，所以函数为奇函数，又π212211.51

042263232f=−−=−−=，故B错误；对于C，函数()11sincos2cos323yfxxxx==++，因为()11500236f=+=，故C错误；对于D，函数11()coscos2cos323yfxxxx==++，()111101023

6f=++=，故D错误，故选：A．7.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．如图所示的程序框图，输出的S即为小球总数，则S=（）A.

35B.56C.84D.120【答案】B【解析】【分析】设第n层小球个数为na，根据程序框图可知，输出的123456Saaaaaa=+++++，求出各个数即可得到.【详解】设第n层小球个数为na，由题意可知，1nnaan−−=()2n.根据程序框图可知，输出的123456Saaaaaa=

+++++，又11a=，23a=，36a=，43410aa=+=，54515aa=+=，65621aa=+=，所以13610152156S=+++++=.故选：B.8.已知函数()sincosfxxax=+的图像关于π6x=对称，则π3f的值是（）A.332B.2

C.2D.3【答案】D【解析】【分析】先根据三角函数的对称轴对应极值点，再求导且在极值点处导函数函数值为0，求出参数及解析式，最后计算函数值即可.【详解】因为()sincosfxxax=+的图像关于π6x=对称，则()sincosfxxax=+在π6x=取得极值．又()cossinfxxax=−

，则π30622af=−=，得3a=，所以π()sin3cos2sin3fxxxx=+=+，则π2π2sin333f==．故选:D.9.若双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，以F为圆心，22ab+为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线

分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率e=（）A.2B.233C.3D.2【答案】D【解析】【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为22cab=+，得到OFB△是正三角形，60BO

F=，则3ba=求解.【详解】双曲线C的半焦距22cab=+，圆F过原点O.依题意易知OFB△是正三角形，60BOF=，3ba=，212bea=+=.故选：D.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知正

方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（）A.该正方体外接球的体积为3π2B.若M是棱11CD中点，则异面直线AM与1CC夹角的余弦值为23C.若点P在线段1AD上运动，则始终有11CPCB⊥D.若点P在线段1AD上运动，则三棱锥1DBPC−体积为

定值112【答案】D【解析】【分析】画出正方体，根据条件逐个判断对错，动点问题优先考虑线面垂直和等体积法的应用【详解】对于A：正方体外接球的直径为体对角线，即23R=，所以32R=，所以343ππ32VR==，A正确；对于B：如图所示，异

面直线AM和1CC所成角即为1AAM，所以1122212cos31112AAAAMAM===++，所以B正确；对于C：如图所示，连接1BC，则11BCBC⊥，又AB⊥平面11BBCC，而1BC平面11BBCC

，所以1ABBC⊥，因为1ABBCB=I，且AB平面11ABCD，1BC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，而1CP平面11ABCD，所以11BCCP⊥，C正确；对于D：因为11//ADB

C，1AD平面1BCD，所以1//AD平面1BCD，所以直线1AD上的点到平面1BCD距离相等，所以1111111111326DBPCPBCDABCDCABDVVVV−−−−=====，所以D错误，故选：D11.过抛物线()2:20Cypxp=的

焦点F且倾斜角为锐角的直线1l与C交于两点A，B（横坐标分别为Ax，Bx，点A在第一象限），2l为C的准线，过点A与2l垂直的直线与2l相交于点M．若AFFM=，则ABxx=（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】【分析】由已知可求得直线1l的斜率为3，则直线1l的方程为32pyx

=−，联立直线与抛物线的方程，可求出Ax，Bx，即可解得结果.【详解】设直线1l的斜率为k，倾斜角为，π02.由抛物线的定义知，AMAF=，又AFFM=，所以AFM△为等边三角形，且//AMx轴，所以π3FAM==，则tan3k==.,02pF

，则直线1l的方程为32pyx=−，联立直线1l的方程与抛物线的方程2232ypxpyx==−，可得22122030xpxp−+=，解得132xp=，26px=，显然ABxx，所以32Axp=，6Bpx=，所以，32916A

Bpxxp==.故选：C.12.设1.02a=，0025.eb=，0.92sin0.06c=+，则a，b，c的大小关系是（）A.cbaB.abcC.b<c<aD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】先比较a，b的大小，构造函数()exf

xx=−，求()fx，根据()fx与0的符号关系来确定()fx的增减性，进而求得()()min1fxfx=，再把0.02x=代入即可得到ba；比较a，c的大小，根据当0x时，有sinxx，再把0.06x=代入即可得到ca，从而即可得解．【详解】

令()exfxx=−，则()e1xfx=−，当0x，()0fx′，此时()fx单调递增，当0x，()0fx′，此时()fx单调递减，所以()()00e01fxf=−=，所以()0.020.02e0.021f

=−，即0.02e1.02，所以0.0250.02ee1.02ba==；又设()singxxx=−，()cos10gxx=−恒成立，∴当0x，()gx单调递减，()sin(0)0gxxxg=−=当

0x时，有sinxx，则sin0.060.06，所以0.92sin0.060.920.061.02ca=++==，综上可得cab．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等比

数列na中，22a=−，68a=−，则4a=___________.【答案】4−【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列na的公比为q，则462aaq=，所以48

42q−==−，所以22q=，所以242224aaq==−=−.故答案为：4−14.设x、y满足约束条件22010240xyxyxy+−−+−−，则2zxy=+的最大值是__________．【答案】16【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由

2zxy=+可得2yxz=−+，则z表示直线2yxz=−+在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【详解】作出x、y满足约束条件22010240xyxyxy+−−+−−……„表示的平面区域，如图所示：由2zxy=+可得2y

xz=−+，则z表示直线2yxz=−+在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线20xy+=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A时，z最大由10240xyxy−+=−−=可得(5,6)A，此时16z=．故答案为：16．【

点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义．属于中档题.15.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为8π的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．【答案】4π【

解析】【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.【详解】设圆柱外接球半径为R，圆柱的底面半径为r，则其高为2hr=，由圆柱的性质得，外接球球心O在上下底面圆

心连线12OO的中点处，则12hOOr==，因为球O的表面积为8π，所以24π8πR=，则22R=，又因为2221RrOO=+，即222rr=+，所以1r=，则2h=，所以圆柱的侧面积为：2π2π124πrh==.故答案为：4π..16.函数()fx的定义域为R，满足()()21=−

fxfx，且当(0,1x时，()()1fxxx=−．若对任意(,xm−，都有()1625fx，则m的最大值是______．【答案】115##2.2.【解析】【分析】根据题意求出()fx在(1,2]，(1,

0]−，(2,3]上的解析式，画出函数图象，结合图象可求得结果.【详解】因为()()21=−fxfx，且当(0,1x时，()()1fxxx=−．所以当(1,2]x时，1(0,1]x−，则()()2311212(1)(2)20,222fxfxxxx

=−=−−=−−+，当(1,0]x−时，1(0,1]x+，则2111111()(1)(1)0,222288fxfxxxx=+=−+=−++，当(2,3]x时，1(1,2]x−，则(

)()22515212241[0,1]222fxfxxx=−=−−+=−−+−，所以当()1625fx=时，251641225x−−+=，解得115x=或145x=，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，对任意(,xm−，都有()1

625fx，必有115m，所以m的最大值是115，故答案为：115三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，

考生根据要求作答．17.随着北京冬奥会的举办，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃.正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年，某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人

数占总人数的34，女生中有10人对滑雪运动没有兴趣.（1）完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？（2）按性别用分层抽样的方法从对滑雪运动有兴趣的学生中抽取5人，若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2

人中恰有一位是女生的概率.有兴趣没有兴趣合计男女合计参考公式：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0

246.63510.828【答案】（1）22列联表见，有99%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关（2）35【解析】【分析】（1）根据已知条件，得出22列联表，再根据独立性检验公式，即可求解；（2）根据已知条件，得出抽到的男女生数量，再根据古典概型的概率公式结合列举法或排列组合得出

答案.【小问1详解】从某中学随机抽取男生和女生各100人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的34，则共有32001504=人对滑雪运动有兴趣，则没兴趣的共有20015050−=人，女生中有10人

对滑雪运动没有兴趣，则男生中对滑雪运动没有兴趣的有501040−=人，女生中对滑雪运动有兴趣的有1001090−=人，男生中对滑雪运动没有兴趣的有1004060−=人，则22列联表如下：有兴趣没有兴趣合计男6040100女9010100合计15050200则22100102

00(60104090)24015010.82850K=−=，有99%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关.【小问2详解】根据题意，抽到的男生人数为6052150=人，女生人数为523−=人，法一：记两名

男同学为ab、，三名女同学为、、ABC，则若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，共有：abaAaBaCbAbBbCABACBC、、、、、、、、、，10种情况，其中恰有一位是女生的情况有：aAaBaCbAbBbC

、、、、、，6种情况，则其概率为63105=；法二：若从这5人中随机选出2人作为滑雪运动的宣传员，求选出的2人中恰有一位是女生的概率为112325CC3C5P==.18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsin−−=+ABcb

Cab．（1）求A；（2）已知43sin,47Bc==，若ABC是锐角三角形，求a的值．【答案】（1）π3A=（2）285a=【解析】分析】（1）由正弦定理与余弦定理化简求解，（2）由正弦定理求解，【小问1详解】【由正弦定理化简得sinsinsinab

cbcabABC−=−=−+，即222cbcab−=−，而2222cosabcbcA=+−，得1cos2A=，而(0,)A，得π3A=，【小问2详解】由ABC是锐角三角形，故481cos1497B=−=，则3114353sinsin()sin

coscossin272714CABABAB=+=+=+=，而sinsinacAC=，4c=，解得285a=，19.底面ABCD为菱形且侧棱⊥AE底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体．若4DADHDB===，3AECG==．（1）求证：EGDF⊥；（2）求三棱锥

CABF−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）833【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得EG⊥平面BDHF，进而证得EGDF⊥；（2）先求得三棱锥FABC−的体积，进而求得三棱锥CABF−的体积．【小问1详解】连接,,ACBDHF，由//AECG，且AEC

G=，可知四边形AEGC为平行四边形，所以//EGAC．因为底面ABCD为菱形，所以ACBD⊥，侧棱⊥AE底面ABCD，则侧棱BF⊥底面ABCD，AC面ABCD，则ACBF⊥，所以EGBD⊥，EGBF⊥，因为BDBFB=，BD平面BDHF，BF平面BDH

F，所以EG⊥平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF⊥．【小问2详解】设ACBDO=，EGHFP=，连接OP，因为平面//ADHE平面BCGF，平面ADHE平面EFGHEH=，平面BCGF平面EFGHFG=，所以//EHFG，同理可得：//EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形

，所以P为EG的中点，又O为AC的中点，所以//OPAE，且OPAE=，所以3OPAE==，又4DH=，所以2BF=．又侧棱BF⊥底面ABCD，则BF为三棱锥FABC−的高.菱形ABCD中，4DADBAB===，则

60DAB=，111844sin120233323FABCABCVSFB−===△，833CABFFABCVV−−==20.已知函数()()cos0,fxaxxxa=+R（1）当32a=时，求f（x）的单调递增区间：

（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：322Mm−.【答案】（1）π0,3和2π,π3；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求解；(2)根据极值点定义可得方

程sin0ax−=有两个不相等的实根12xx、(12xx)，由正弦函数图象可知12xx+=，利用导数求出函数的极值，进而构造函数()3sin3cossinhxxxxx=+−，再次利用导数求出min()hx即可.【小问1详解】函数()fx的定义域为[0,]，当32a=时，()3cos

2fxxx=+，3()sin2fxx=−，令()03fxx==或23，当(0,)3x时，()()0fxfx，单调递增，当(,)33x时，()()0ffxx，单调递减，当2(,)3x时，()()0fxfx，单调递增，所以函数的单调

递增区间为(0,)3和2(,)3；【小问2详解】()cos()sinfxaxxfxax=+=−，因为函数()fx恰有两个极值点，的所以方程()sin0fxax=−=有两个不相等的实根，设为12xx、且12xx，当0x时，函数sinyx

=图象关于直线2x=对称，则12xx+=，即12sinsinxxa==，因为0x，所以(0,1)a，当1(0,)xx时，()()0fxfx，单调递增，当12(,)xxx时，()()0ffxx

，单调递减，当2(,)xx时，()()0fxfx，单调递增，所以12,xx分别是函数的极大值点和极小值点，即111()cosMfxaxx==+，222()cosmfxaxx==+，于是有112222(cos)(cos)Mmaxxaxx−=+−+，因为12x

x+=，所以21xx=−，所以11233cosMmaxxa−=+−，而1sinxa=，所以111123sin3cossinMmxxxx−=+−，设()3sin3cossinhxxxxx=+−，02x，则()(3)coshxxx

=−，令()03hxx==或2，当03x时，()0()hxhx，单调递减，当32x时，()0()hxhx，单调递增，所以当3x=时，函数有最小值，即min3()()32hxh

==，因此有3()2hx，即322Mm−.【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性、极值与最值，要掌握极值与极值点的定义，缕清极值点与方程的根之间关系，善于培养转化的数学思想，学

会构造新函数，利用导数研究新函数的性质即可解决问题.21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的焦点()1,0F−，点61,22P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F的直线l与C

交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求AMBN的取值范围．【答案】（1）2212xy+=；（2）34,23−−.【解析】【分析】（1）将点61,22P代入椭圆方程，结合1c=，222abc=+得出椭圆C的方程；（2）讨论直线l的斜率存在和为

0的情况，联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合数量积运算得出2423341024kAMBNkk=−+++，再由基本不等式得出所求范围.【小问1详解】由题意可知，2222222161221cababc=

+==+，解得2,1abc===，故椭圆C的方程为2212xy+=；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，22(1,),(1,),(2,0),(20)22,ABMN−−−−，()()2231212222AMBN=−++−=−，当

直线l的斜率为0时，22(1,),(1,),(2,0),(20)22,NMAB−−−−，()()2231212222AMBN=−−−++−=−，当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为ykxk=+，则直线MN的方程为11yxk

k=−−，由2212xyykxk+==+，得2222(12)4220kxkxk+++−=，设23344112(,),(,),(,),(),AxyBxyMxyNxy，则22121222422,1212kkxxxxkk−+=−=++，同理可得2343422422,22kxx

xxkk−+=−=++，因为()()31314224,,,AMxxyyBNxxyy=−=−−−，所以()()3421412342123341AMBNxxxxxyxxxyyyyyyy=−+−−++−2

1212343421(1)(1)(1)(1)kxxxxxxxxk=+++++++++2222222222241224(1)(1)(1)(1)121222kkkkkkkkk−−=+−+++−+++++2242224232113612225kkkkkkkk−−−−+=++=++++−242124

3340kkk−+++=因为24222224633310410410244104kkkkkkk=++++=+（当且仅当21k=时，取等号），所以34,23AMBN−−，综上，34,23AMBN−−.【点睛】关键点睛：在解决

问题二时，关键是将向量数量积转化为韦达定理的形式，再由基本不等式得出范围.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]的22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为32,21

2xtyt=+=（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2224sin31=−．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于

A，B，求AB．【答案】（1）22330xy−−=（2）3【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的互化即可代入化简求解，（2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，即可根据参数的几何意义求解.【小问1详

解】因为曲线C的极坐标方程为()2224sin31=−，根据cossinxy==，222xy+=，可得()222431yxy=+−，即22330xy−−=，所以曲线C的直角坐标方程为2

2330xy−−=【小问2详解】直线l的参数方程32,212xtyt=+=（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程为22330xy−−=，得到223323022tt+−−=，即226390tt++=，设A，B两点对应参数分别为1t，2t，则有1233t

t+=−，1292tt=，由参数的几何意义，得到()21212129427432ABtttttt=−=+−=−=[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3fx=|x|+|x|−．（1）求不等式5||()xfxx的解集

；（2）设函数()fx的最小值为M，若正数a，b，c满足111233Mabc++=，证明239abc++．【答案】（1）()(),04,−+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据x的取值分类讨论，分段求解不等式即可；（2）利用绝对值三

角不等式求得M，再根据基本不等式即可证明.【小问1详解】当3x时，5||()xfxx即235x−，解得4x，不等式解集为()4,+；当03x时，5||()xfxx即35，不等式解集为空集；当0x时，5

||()xfxx即325x−−，解得4x，不等式解集为(),0−；综上所述，5||()xfxx的解集为()(),04,−+.【小问2详解】()3fx=|x|+|x|−()33xx−−=，当且仅当()30xx−，即0,3x时取得等号，故3M=；则111123abc++=，

又0,0,0abc，则()111232323233232332abacbcabcabcabcbacacb++=++++=++++++，又222222ababbaba+=，当且仅当2

ab=时取得等号；332233acaccaca+=，当且仅当3ac=时取得等号；2323223232bcbccbcb+=，当且仅当23bc=时取得等号；故23233322292332abacbcbacacb

+++++++++=，当且仅当23abc==，且111123abc++=，即33,,12abc===时取得等号.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com