【文档说明】【课时练习】2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一2.4.2 简单幂函数的图象和性质 含解析【高考】.docx，共(13)页，607.489 KB，由小赞的店铺上传

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12.4.2简单幂函数的图象和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.

已知函数2222()(1)mmfxmmx−−=−−是幂函数，且在(0,)+上是减函数，则实数.m=()A.2B.1−C.4D.2或1−2.如果函数()yfx=在区间I上是增函数，且函数()fxyx=在区间I上是减函数，那么称函数()yfx=是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数

2()45fxxx=−+是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A.[2,)+B.[2,5]C.[0,5]D.[0,2]3.“2b=”是“函数2()(231)(fxbbx=−−为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件B

.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知函数226()(5)mfxmmx−=−−是幂函数，对任意12,(0,)xx+，且12xx，满足1212()()0fxfxxx−−，若a，bR，且0a

b+，则()()fafb+的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）5.下列所给的函数中，不是幂函数的是()A.3yx=−B.3yx−=C.32yx=D.31yx=−6.下列说法正确

的是()A.若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13yx−=B.所有幂函数的图象均过点(0,0)C.幂函数一定具有奇偶性D.任何幂函数的图象都不经过第四象限7.关于函数的描述错误的命题是()A.0xR，0()0fxB.[0,),()0xfx+…2C.1x，12212()

()[0,),0fxfxxxx−+−D.1212[0,),[0,),()()xxfxfx++三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）8.342.3和342.4的大小关系为__________(填<或).9.已知

11{2,1,,,1,2,3}22−−−，若幂函数()fxx=为奇函数，且在(0,)+上递减，则=__________.10.如果，则m的取值范围是__________.11.已知幂函数223()()mmfxxmZ+−=是奇函数，

且(5)1f，则m的值为__________.12.设幂函数()fx的图象过点，则：①()fx的定义域为R；②()fx是奇函数；③()fx是减函数；④当120xx时，；其中正确的有__________.四、解答

题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)已知幂函数223()(22,)mmfxxmmZ−−+=−满足：(1)在区间(0,)+上为增函数；(2)对任意的xR，都有()()0fxfx−−

=；求同时满足(1)(2)的幂函数()fx的解析式，并求当[0,4]x时，()fx的值域．14.(本小题12.0分)已知幂函数()fx的图象过点(1)求函数()fx的解析式；(2)设函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围.15.(本小题12.0分)已知幂函数21()(22)mfxmmx+=−

++为偶函数．(1)求函数()fx的解析式；(2)若函数()2(1)1yfxax=−−+在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围．316.(本小题12.0分)已知幂函数223()(mmfxxm−−=Z)在(0,)+上单调递减，且为偶函数．(1)求()fx的解析式；(2

)讨论5()()(2)()Fxafxaxfx=+−的奇偶性，并说明理由．17.(本小题12.0分)已知幂函数21()*()().mmfxxmN−+=(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数的图象经过点(2,2)，试确定m的值，并求满足

条件(2)(1)fafa−−的实数a的取值范围.18.(本小题12.0分)已知函数1().hxxx=+(1)直接写出()hx在1[,2]2上的单调区间(无需证明)；(2)求()hx在11[,]()22aa上的最

大值；(3)设函数()fx的定义域为I，若存在区间AI，满足：1xA，2UxAð，使得12()()fxfx=，则称区间A为()fx的“区间”．已知11()([,2])2fxxxx=+，若1[,)2Ab=是函数()

fx的“区间”，求实数b的最大值．4答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值，属于基础题.根据幂函数的定义，令211mm−−=，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在(0,)x+上为减函数即可.【解答】解：幂函数22

22()(1)mmfxmmx−−=−−，211mm−−=，解得2m=，或1m=−；又(0,)x+时()fx为减函数，当2m=时，2222mm−−=−，幂函数为2yx−=，在(0,)+为减函数，满

足题意；当1m=−时，2221mm−−=，幂函数为yx=，在(0,)+为增函数，不满足题意；综上，2.m=故选.A2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的单调区间的求解及对勾函数单调区间的求解，属于基础试题．分别结合二

次函数及对勾函数的单调性求出满足条件的单调区间即可．【解答】解：由题意可得，2()45fxxx=−+的对称轴为2x=，其单调递增区间为[2,),+又()54fxyxxx==+−，根据对勾函数的性质可知单调递减区间为(0,5]和[5,0).−综上可得，满足条件的“缓增区间”I为[2,5].

故选：.B3.【答案】A【解析】5【分析】本题考查充分、必要条件的判断涉及幂函数的定义.求出“函数2()(231)(fxbbx=−−为常数)为幂函数”时b的值，判断与“2b=”的关系即可.【解答】

解：当函数2()(231)(fxbbx=−−为常数)为幂函数时，22311bb−−=，解得2b=或12b=−，“2b=”是“函数2()(231)(fxbbx=−−为常数)为幂函数”的充分不必要

条件.故选.A4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的性质，单调性，幂函数的定义，属于拔高题.由题意，判断出函数的单调性及奇偶性，再根据幂函数的性质求解.【解答】解：对任意12,(0,)xx+，且12xx，满足12

12()()0fxfxxx−−，得函数单调递增.函数226()(5)mfxmmx−=−−是幂函数，则2513mmm−−==或2.m=−又函数单调递增，故3m=，，所以，,abR，且0ab+，ab−，所以故选：.A5.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查幂

函数的定义，属于基础题.利用幂函数的定义判断即可.【解答】6解：由幂函数的定义可知，ACD不是幂函数，B是幂函数，故选.ACD6.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了幂函数的性质，考查函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．根据

幂函数的性质分别判断即可．【解答】解：对于选项A：设幂函数为yx=，幂函数的图象经过点1(,2)8，则函数的解析式为12()8=，解得13=−，整理得13yx−=，故A正确；对于B：比如1yx=，图象不过点(0,0)，故B错误；对于C：对于yx=，无奇偶性，故C错误

；对于D：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确；故选：.AD7.【答案】ACD【解析】【分析】由函数的定义域与值域判断A与B；再由函数的单调性判断.CD本题考查命题的真假判断与应用，考查幂函数的性质，是中档题．【解答】解：函数的定义域为

[0,),+值域为[0,),+故A错误，B正确；函数在[0,)+上单调递增，则对1x，2[0,)x+且12xx，都有1212()()0fxfxxx−−，故C错误；当10x=时，min1()()0fxfx==，不存在212[0,),()(),xfxfx+故D错误

．故选.ACD8.【答案】<7【解析】【分析】本题考查了幂函数的单调性问题，属于基础题．根据幂函数的单调性判断即可．【解答】解：幂函数34yx=在第一象限单调递增，而2.32.4，故33442.32.4，故答案为：.9.【答案】1−【解析】【分析】本题主要

考查幂函数的性质，函数的奇偶性，单调性，属于基础题．由幂函数()fxx=为奇函数，且在(0,)+上递减，得到0，由此分析能求出的值．【解答】解：11{2,1,,,1,2,3}22−−−，幂函数(

)fxx=为奇函数，且在(0,)+上递减，0，当是整数时，是奇数，1=−满足．当为12−时，()fxx=不是奇函数，不满足题意，故答案为1.−10.【答案】13(,)32−【解析】【分析】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由，可得4320mm

+−，解出即可得出．【解答】8解：，4320mm+−，解得13.32m−故m的取值范围为：13(,).32−故答案为：13(,).32−11.【答案】0【解析】【分析】根据题意利用函数的性质列出不等式求出m的值，再验证即可．本题考查了幂函数的

定义与性质的应用问题，是基础题．【解答】解：因为幂函数223()()mmfxxmZ+−=，且(5)1f，22351mm+−，即2230mm+−，解得312m−；又因为mZ，所以1m=−，或0m=；幂函数223()()mmfxxmZ+−=是

奇函数，当1m=−时，2232mm+−=−，不符题意，舍去；当0m=时，2233mm+−=−，符合题意；所以m的值为0.故答案为：0.12.【答案】②④【解析】【分析】本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性

质的判断与应用．根据待定系数法求出幂函数()fx，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．【解答】解：设()afxx=，因为函数()fx的图象过点，所以31228a−==，解得3a=−，9根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是(

)fx在上是减函数，在(0,)+上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；对于④，设点11(,())Axfx，22(,())Bxfx，且120xx，点1212()()(,)22xxfxfxC++为线段AB的中点，点1212(,())22xx

xxDf++，由图可知，点D在点C的下方，所以故答案为②④．13.【答案】解：因为函数()fx在(0,)+递增，所以2230mm−−+，解得：31m−，因为22m−，mZ，所以1m=−，或0.m=又因为对任意

的xR，都有()()fxfx−=，所以()fx是偶函数，所以223mm−−+为偶数．当1m=−时，2234mm−−+=满足题意；当0m=时，2233mm−−+=不满足题意，所以4().fxx=所以，()fx在[0,4]上递增．所以m

in()(0)0fxf==，max()(4)256fxf==，所以函数()fx的值域是[0,256].【解析】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．由题意利用幂函数的性质，先求得()fx的解析式，再利用单调性求出函

数的值域．14.【答案】解：(1)幂函数()afxx=的图象过点(2,4)，(2)24f==，2=，2()fxx=；10(2)函数，，对称轴为2;x=()gx在[1,1]−上为减函数，时，，7a所以a的取值范围为(7,).+【解析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查

了二次函数的性质，是中档题．(1)根据幂函数的图象过点(2,4)，列方程求出的值，写出()fx的解析式；(2)写出函数()gx的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出a的取值范围．15.【答案】解：(1

)由()fx为幂函数知2221mm−++=，即2210mm−−=，得1m=或12m=−，当1m=时，2()fxx=，符合题意；当12m=−时，12()fxx=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．2().fxx=(2)由(1)得2()2(1)12

(1)1yfxaxxax=−−+=−−+，即函数的对称轴为1xa=−，由题意知函数在(2,3)上为单调函数，12a−„或13a−…，即3a„或4a…，即实数a的取值范围为(,3][4,).−+【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函

数的单调性与对称轴之间的关系，考查函数奇偶性的应用，考查函数解析式的求解，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．(1)根据幂函数的性质即可求()fx的解析式；(2)根据函数()2(1)1yfxax=−−+在区间(2,3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可

，求实数a的取值范围．16.【答案】解：(1)由于幂函数223()mmfxx−−=在(0,)+上单调递减，所以2230mm−−，求得13m−，因为mZ，11所以0m=，1，2.因为()fx是偶函数，经检验，当1

m=时符合题意，所以1m=，故4().fxx−=5(2)()()(2)()Fxafxaxfx=+−4(2).axax−=+−当0a=时，()2(0)Fxxx=−，对于任意的(,0)(0,)x−+都有()()FxFx=−−，所以()2(0)Fxxx=−是奇函数；当2a=时，42()

Fxx=，对于任意的(,0)(0,)x−+都有()()FxFx=−，所以42()Fxx=是偶函数；当0a且2a时，(1)22Fa=−，(1)2F−=，因为(1)(1)FF−，(1)(1)F

F−−，所以4()(2)aFxaxx=+−是非奇非偶函数.综上所述，当0a=时，5()()(2)()Fxafxaxfx=+−为奇函数，当2a=时，5()()(2)()Fxafxaxfx=+−为偶函数，当0a

且2a时，5()()(2)()Fxafxaxfx=+−为非奇非偶函数.【解析】本题考查幂函数、单调性、奇偶性和函数的解析式，考查推理能力和计算能力.(1)利用幂函数的定义和性质即可求解；(2)利用奇偶性的定义分别讨论当0a=，

2a=和0a且2a时()Fx的奇偶性即可.17.【答案】解：2(1)(1)mmmm+=+，*mN，而m与1m+中必有一个为偶数，(1)mm+为正偶数.函数21()*()()mmfxxmN−+=的定义域为[0,),+且()fx在其定义域上为增函

数.(2)函数()fx的图象经过点(2,2)，21()22mm−+=，即211()222mm−+=，22mm+=，解得1m=或2.m=−12又*mN，1m=，12().fxx=由(2)(1)fafa−−，得201021aaaa−−−−……，解得31.2a„实数a

的取值范围为3[1,).2【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质和利用单调性求参数的方法，属于拔高题.(1)将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性;(2)将点(2,2)的坐标代入21()()mm

fxx−+=，求出m的值，再利用函数的单调性列出不等式201021aaaa−−−−……，求出实数a的取值范围即可.18.【答案】解：(1)()hx在区间1[,1]2上单调递减；()hx在区间[1,2]上单调递增．(2)由题意知，15()(2)22hh==，①若112a

„，则()hx在1[,]2a上单调递减，()hx的最大值为15()22h=；②若12a„，则()hx在1[,1]2上单调递减，在[1,]a上单调递增，15()(2)()22hahh==„，()hx的最大值为15()22h=；③若2a，则()hx在1[,1]2上单调递减

，在[1,]a上单调递增，1()(2)()2hahh=…，()hx的最大值为1()haaa=+，综上，若122a„，则()hx的最大值为52；若2a，则()hx的最大值为1.aa+(3)由(1)(2)知，①当

112b„时，()fx在1[,)2b上的值域为15(,],2bb+()fx在[,2]b上的值域为5[2,]2，1312bb+…，155(,][2,],22bb+满足121[,),[,2],2xbxb使得12()

()fxfx=，此时1[,)2b是()fx的“区间”；②当12b„时，()fx在1[,)2b上的值域为5[2,]2，()fx在[,2]b上的值域为15[,]2bb+，当1[1,)xb时，11()()fxfbbb=+，1[1,),

xb使得115()[,]2fxbb+，即1212[1,),[,2],()(),xbxbfxfx此时1[,)2b不是()fx的“区间”；综上，实数b的最大值为1.【解析】(1)直接根据1()hxxx=+，写出单调区间即可；(2)根据条件分11

2a„，12a„和2a三种情况判断()hx的单调性，然后求出最值；(3)分112b„和12b„两种情况讨论，然后结合条件求出b的最大值．本题考查了函数的单调性，函数的最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于较难题．