【文档说明】《（2020-2022）高考数学真题分项汇编（新高考地区专用）》专题06 三角函数及解三角形（新高考）（教师版）【高考】.docx，共(14)页，665.848 KB，由小赞的店铺上传

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专题06三角函数及解三角形1．【2022年新高考1卷】记函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋4)+𝑏(𝜔>0)的最小正周期为T．若2𝜋3<𝑇<𝜋，且𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(3𝜋2,2)中心对称，则𝑓(𝜋

2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【解析】由函数的最小正周期T满足2𝜋3<𝑇<𝜋，得2𝜋3<2𝜋𝜔<𝜋，解得2<𝜔<3，又因为函数图象关于点(3𝜋2,2)对称，

所以3𝜋2𝜔+𝜋4=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，且𝑏=2，所以𝜔=−16+23𝑘,𝑘∈𝑍，所以𝜔=52，𝑓(𝑥)=sin(52𝑥+𝜋4)+2，所以𝑓(𝜋2)=sin(54𝜋+𝜋4)+2=1.故选：A2．【2

022年新高考2卷】若sin(𝛼+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=2√2cos(𝛼+𝜋4)sin𝛽，则（）A．tan(𝛼−𝛽)=1B．tan(𝛼+𝛽)=1C．tan(𝛼−𝛽)=−1D．tan(𝛼+𝛽)=−1【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公

式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【解析】由已知得：sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2(cos𝛼−sin𝛼)sin𝛽,即：sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼sin𝛽=0，即：sin

(𝛼−𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=0,所以tan(𝛼−𝛽)=−1,故选：C3．【2021年新高考1卷】下列区间中，函数()7sin6fxx=−单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22

【答案】A【分析】解不等式()22262kxkkZ−−+，利用赋值法可得出结论.【解析】因为函数sinyx=的单调递增区间为()22,22kkkZ−+，对于函数()7sin6fxx=−，由()22262kxkk

Z−−+，解得()22233kxkkZ−+，取0k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为2,33−，则20,,233−，2,,233−

，A选项满足条件，B不满足条件；取1k=，可得函数()fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233−且358,,233

，358,2,233，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sinyAωxφ=+形式，再求()sinyAωxφ=+的单调区间，只需把x+看作一个整体代入siny

x=的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．4．【2021年新高考1卷】若tan2=−，则()sin1sin2sincos+=+（）A．65−B．25−C．25D．65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然

后增添分母(221sincos=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2=−即可得到结果．【解析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos

+++==+++()2222sinsincostantan422sincos1tan145++−====+++．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2=−，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，

可以避开了这一讨论．5．【2021年新高考2卷】北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指O

A与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos)Sr=−（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%【答案】C

【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【解析】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：226400164003600002(1.cos)1cos44242%22rr−−−+===.故选：C.6．【2022年新高考2卷

】已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（）A．𝑓(𝑥)在区间(0,5π12)单调递减B．𝑓(𝑥)在区间(−π12,11π12)有两个极值点C．直线𝑥=7π6是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称

轴D．直线𝑦=√32−𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【解析】由题意得：𝑓(2π3)=sin(4π3+𝜑)=0，所以4π3+𝜑=𝑘π，𝑘∈𝑍，即𝜑=−4π3+𝑘π,

𝑘∈𝑍，又0<𝜑<π，所以𝑘=2时，𝜑=2π3，故𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+2π3)．对A，当𝑥∈(0,5π12)时，2𝑥+2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数𝑦=sin𝑢图象知𝑦=𝑓(𝑥)在(0,5π12)上是单调递减；对B，当

𝑥∈(−π12,11π12)时，2𝑥+2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数𝑦=sin𝑢图象知𝑦=𝑓(𝑥)只有1个极值点，由2𝑥+2π3=3π2，解得𝑥=5π12，即𝑥=5π12为函数的唯

一极值点；对C，当𝑥=7π6时，2𝑥+2π3=3π，𝑓(7π6)=0，直线𝑥=7π6不是对称轴；对D，由𝑦′=2cos(2𝑥+2π3)=−1得：cos(2𝑥+2π3)=−12，解得2𝑥+

2π3=2π3+2𝑘π或2𝑥+2π3=4π3+2𝑘π,𝑘∈𝑍,从而得：𝑥=𝑘π或𝑥=π3+𝑘π,𝑘∈𝑍,所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,√32)处的切线斜率为𝑘=𝑦′|𝑥=0=2cos2π3=−

1，切线方程为：𝑦−√32=−(𝑥−0)即𝑦=√32−𝑥．故选：AD．7．【2020年新高考1卷（山东卷）】下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x+）B．πsin(2)3x−C．πcos

(26x+）D．5πcos(2)6x−【答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【解析】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,不妨令2=,当2536212x+==时

，1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx=++=++=+=−.而5cos

2cos(2)66xx+=−−，故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2T即可求出

ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的

范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形D

EFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，//BHDG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542+【分析】利用3tan5ODC=求出圆弧AB所在圆的半径，结

合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角OAH△的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【解析】设==OBOAr，由题意7AMAN==，12EF=，所以5NF=，因为5AP=,所以45AGP=，因为//BHDG，所以4

5AHO=，因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG⊥，即OAH△为等腰直角三角形；在直角OQD△中，252OQr=−，272DQr=−，因为3tan5OQODCDQ==，所以3252212522rr−=−

，解得22r=；等腰直角OAH△的面积为11222242S==；扇形AOB的面积()221322324S==，所以阴影部分的面积为1215422SS+−=+.故答案为：542+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背

景，体现了五育并举的育人方针.9．【2022年新高考1卷】记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos𝐴1+sin𝐴=sin2𝐵1+cos2𝐵．(1)若𝐶=2𝜋3，求B；(2)求𝑎2+𝑏2𝑐2的最小值．【答案】(1)π6；(2)4√2−5．【分析】（1）

根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos𝐴1+sin𝐴=sin2𝐵1+cos2𝐵化成cos(𝐴+𝐵)=sin𝐵，再结合0<𝐵<π2，即可求出；（2）由（1）知，𝐶=π2+𝐵，𝐴=π2−2�

�，再利用正弦定理以及二倍角公式将𝑎2+𝑏2𝑐2化成4cos2𝐵+2cos2𝐵−5，然后利用基本不等式即可解出．【解析】(1)因为cos𝐴1+sin𝐴=sin2𝐵1+cos2𝐵=2sin𝐵cos𝐵2cos2𝐵=sin𝐵cos𝐵

，即sin𝐵=cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵=cos(𝐴+𝐵)=−cos𝐶=12，而0<𝐵<π2，所以𝐵=π6；(2)由（1）知，sin𝐵=−cos𝐶>0，所以π2<𝐶<π,0<𝐵<π2，而sin𝐵=−cos𝐶=sin(𝐶−π2)，所以𝐶=π2+𝐵，即有�

�=π2−2𝐵．所以𝑎2+𝑏2𝑐2=sin2𝐴+sin2𝐵sin2𝐶=cos22𝐵+1−cos2𝐵cos2𝐵=(2cos2𝐵−1)2+1−cos2𝐵cos2𝐵=4cos2𝐵+2cos2𝐵−5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos2𝐵=√22时取等号，所以𝑎2

+𝑏2𝑐2的最小值为4√2−5．10．【2022年新高考2卷】记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为𝑆1,𝑆2,𝑆3，已知𝑆1−𝑆2+

𝑆3=√32,sin𝐵=13．(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若sin𝐴sin𝐶=√23，求b．【答案】(1)√28；(2)12【分析】（1）先表示出𝑆1,𝑆2,𝑆3，再由𝑆1−𝑆2+𝑆3=√32求得

𝑎2+𝑐2−𝑏2=2，结合余弦定理及平方关系求得𝑎𝑐，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得𝑏2sin2𝐵=𝑎𝑐sin𝐴sin𝐶，即可求解.【解析】(1)由题意得𝑆1=12⋅𝑎2

⋅√32=√34𝑎2,𝑆2=√34𝑏2,𝑆3=√34𝑐2，则𝑆1−𝑆2+𝑆3=√34𝑎2−√34𝑏2+√34𝑐2=√32，即𝑎2+𝑐2−𝑏2=2，由余弦定理得cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐，整理得𝑎𝑐cos𝐵=1，则cos𝐵>

0，又sin𝐵=13，则cos𝐵=√1−(13)2=2√23，𝑎𝑐=1cos𝐵=3√24，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=√28；(2)由正弦定理得：𝑏sin𝐵=𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶，则𝑏2sin

2𝐵=𝑎sin𝐴⋅𝑐sin𝐶=𝑎𝑐sin𝐴sin𝐶=3√24√23=94，则𝑏sin𝐵=32，𝑏=32sin𝐵=12.11．【2021年新高考1卷】记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已

知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC=.【分析】（1）根据正弦定理的

边角关系有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【解析】（1）设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR==，因为sinsinBDABCaC=，所以22

bcBDaRR=，即BDbac=．又因为2bac=，所以BDb=．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC=，如图，在ABC中，222cos2abcCab+−=，①在BCD△中，222()3cos23babbaC+−=．②由①②得22

22223()3babcab+−=+−，整理得22211203abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，解得3ca=或32ca=，当22,33ccabac===时，222()733cos=622cccABC

cc+−=（舍去）．当2233,22ccabac===时，22233()722cos31222ccABCccc+−==．所以7cos12ABC=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC=，则23ABDA

BCSS=△△，即21221sinsin2332bacADABBC=，而2bac=，即sinsinADBABC=，故有ADBABC=，从而ABDC=．由2bac=，即bcab=，即CABACBBD=，即ACBABD∽，故ADABABAC=，即23bccb=，又2bac=，所以

23ca=，则2227cos212cabABCac+−==．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC==，再由2ADDC=得21,33ADbCDb==．在ADB△中，由正弦定理得sinsinADBDABDA=．又ABDC=，所以s3

sinn2iCbAb=，化简得2sinsin3CA=．在ABC中，由正弦定理知23ca=，又由2bac=，所以2223ba=．在ABC中，由余弦定理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca+−−+==

=．故7cos12ABC=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DEAB∥，交BC于点E，则DECABC△∽△．由2ADDC=，得2,,333caaDEECBE===．在BED中，2222()()33cos2323BEDacbac−=+．在AB

C中222cos2aaBCcAbc+−=．因为coscosABCBED=−，所以2222222()()3322233acbacbacac+−+−=−，整理得22261130abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，即3ca=或32ac=

．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2ADDC=，所以2ADDC=uuuruuur．以向量,BABC为基底，有2133BDBCBA=+．所以222441999BDBCBABCBA=++，即222441cos999baccA

BCa=++，又因为2bac=，所以22944cosacaacABCc=++．③由余弦定理得2222cosbacacABC=+−，所以222cosacacacABC=+−④联立③④，得2261130aacc−+=．所以32ac=或13ac=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点

，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0DAC−．由（1）知，3BDbAC===，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设()

(),33Bxyx−，则229xy+=．⑤由2bac=知，2BABCAC=，即2222(2)(1)9xyxy++−+=．⑥联立⑤⑥解得74x=−或732x=（舍去），29516y=，代入⑥式得36||,||6,32aBCcBAb=====，由余弦定理得2227

cos212acbABCac+−==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余

弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合

到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.12．【2021年新高考2卷】在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，1ba=+，2ca=+.（1）

若2sin3sinCA=，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a=.【分析】（1）由正弦定理可得出23ca=，结合已知条件求出a的值，进一步可求得

b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系可求得整数a的值.【解析】（1）因为2sin3sinCA=，则()2

223caa=+=，则4a=，故5b=，6c=，2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC=−=，因此，1137157sin452284ABCSabC===△；（2）显然c

ba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，解得13a−，则0<<3a，由三角形三边关系可得12aaa+++，可得1a，aZ，故2a=.13．【2

020年新高考1卷（山东卷）】在①3ac=，②sin3cA=，③3=cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC，它的内角,,ABC的对边分

别为,,abc，且sin3sinAB=，6C=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出

长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【解析】［方法一］【最优解】：余弦定理由sin3sinAB=可得：3ab=，不妨设()3,0ambmm==，则：22222232cos3232cababCmmmmm=+−=+−=，

即cm=.若选择条件①：据此可得：2333acmmm===，1m=，此时1cm==.若选择条件②：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm+−+−===−，则：213sin122A=−−=，此时：3sin32cAm==，则：23cm==.

若选择条件③：可得1cmbm==，cb=，与条件3=cb矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由,6CABC=++=，得56AB=−．由sin3sinAB=，得5sin3sin6BB−=，即13cossin3sin22BBB+=，得3tan3B=

．由于0B，得6B=．所以2,3bcA==．若选择条件①：由sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得3ac=．解得1,3cba===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c=．若选择条件②：由sin3cA=，得2sin33c=，解得23c=，则23bc==．由

sinsinacAC=，得2sinsin36ac=，得36ac==．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c=．若选择条件③：由于3=cb与bc=矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,abc的关系，

再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，从而可得2,,36bcABC====，再根据选择条件即可解出．