【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题22 导数隐零点问题 Word版无答案.docx，共(8)页，169.444 KB，由小赞的店铺上传

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专题22导数隐零点问题知识梳理方法技巧题型归类题型一：导函数中二次函数的隐零点问题题型二：导函数中非二次函数的隐零点问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试解答题：共12题一、【知识梳理】【方法技巧】1.在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区

间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无

需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.2.当分析导函数的正负性时，可归结为处理某个二次函数在给定区间内的零点问题，但二次函数零点的求解

又很复杂，此时一般要借助于韦达定理或极值的特性来对零点“设而不求”.3.当分析导函数的正负性时，需要归结为分析某个非二次函数的零点，我们处理问题的方法相对就比较有限，其常用的方法为：确定零点存在的前提下，虚设零点并借助该形式化零点进行单调性分析及后续处理，或借助

其满足的恒等式(即导数值为0)，通过恒等代换将问题进行转化.4.零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)

的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．二、【题型归类】【题型一】导函数中二次函数的隐零点问题【典例1】已知实数a满足a≥e＋1e－2，且函数f(x)＝lnx＋x22－

(a＋2)x恰有一个极小值m和极大值M，求m－M的最大值(其中e为自然对数的底数).【典例2】已知函数f(x)＝x＋1x＋alnx，a∈R.若对任意的x∈[1，e]，都有2e≤f(x)≤2e恒成立，求实数a的取值范围(其中e为自然对数的底数).【题型二】导函数中非二次函数的隐零点问题【典例

1】设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)·f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.【典例2】已知函数f(x)＝1ax2＋lnx－2＋1ax(a≠0)．(1)当a＝12

时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)<1－2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整数a的最大值参考数据：ln3<43，ln4>54.【典例3】已知函数𝑓(𝑥)=

e2𝑥−1𝑥.(1)讨论函数𝑓(𝑥)零点的个数;(2)证明:𝑥e2𝑥−ln⁡𝑥−2𝑥−1√𝑥+1>0.三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)讨论函数f

(x)的单调性；(2)证明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．【训练二】已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＝1时，求证：f(x)＋x2－218x＋1>0.【训练三】已

知函数𝑓(𝑥)=ln⁡𝑥−𝑚𝑥+1,𝑔(𝑥)=𝑥(e𝑥−2).(1)若𝑓(𝑥)的最大值是0,求𝑚的值;(2)若对其定义域内任意𝑥,𝑓(𝑥)⩽𝑔(𝑥)恒成立,求𝑚的取值范围.【训练四】已

知函数𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑥2−𝑎𝑥.(1)若函数𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增,求𝑎的取值范围;(2)若𝑎=1,证明:当𝑥>0时,𝑓(𝑥)>1−ln⁡22−(ln⁡22)2.参考数据:e≈2.718

28,ln⁡2≈0.69.【训练五】已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎𝑥sin⁡𝑥.(1)求曲线𝐶:𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=0处的切线方程;(2)当𝑎=−2时,设函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥

,若𝑥0是𝑔(𝑥)在(−𝜋,0)上的一个极值点,求证:𝑥0是𝑔(𝑥)在(−𝜋,0)上的唯一极大值点,且0<𝑔(𝑥0)<2.【训练六】已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥−𝑥ln⁡𝑥.证明:𝑓(𝑥)存在唯一的极大

值点𝑥0,且e−2<𝑓(𝑥0)<2−2.四、【强化测试】【解答题】1.已知函数f(x)＝lnxx＋1x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围．2.已知函数f(x)＝ln（x＋1）x＋1x，若

f(x)>kx＋1在(0，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值.3.若x(ex－2)－(lnx－kx)≥1恒成立，求实数k的取值范围.4.已知函数()lnfxxxax=−的最小值为1−．(1)求a的值；(2)已知()e2xmfxx−−,()Zm

,在1,2+上恒成立,求m的最大值．（参考数据：ln20.6931,12e1.6487）5.已知函数()()2xxfxaexe=−.（1）若0a=,求()fx的单调区间；（2）若对于任意的Rx,()10fxa+恒成立,求a的最小值

.6.已知函数()()e1lnxfxaaxa=−−+,其中2ea−,且0a.(1)当1a=时,求()fx的单调区间；(2)若()fx只有一个零点,求a的取值范围.7.已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎−𝑥ln⁡�

�+𝑥(𝑥∈R)有两个极值点𝑥1,𝑥2(𝑥1<𝑥2),证明:𝑎>2.8.设函数𝑓(𝑥)=e2𝑥−𝑎ln⁡𝑥.(1)讨论𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)的零点个数;(2)证明:当𝑎>0时,𝑓(𝑥)⩾2𝑎+𝑎ln⁡2𝑎.9.已知函数f(x)

＝ax2－xlnx＋2a(a∈R且a≠0)，若不等式f(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.10.证明：函数f(x)＝ex＋sinx，x∈(－π，＋∞)存在唯一极小值点x0，且－1＜f(x0)＜0

.11.已知函数f(x)＝2x＋ln(2x－1).(1)求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求证：f(x)≤(2x－1)e2x－1(e为自然对数的底数).12.已知函数f(x)＝xex－ax－alnx＋a.(1)若a＝e，判断函数f(x)的

单调性，并求出f(x)的最值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.