【文档说明】四川省内江市第六中学2023届高三下学期高考模拟数学（文科）热身训练（一）试卷 含解析.docx，共(24)页，2.218 MB，由小赞的店铺上传

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内江六中高2023届热身训练（一）数学文科试卷考试时间：120分钟满分：150分命题人：向建勇审题人：王春梅一、选择题：1.已知全集U=R，集合2log2Axx=∣，15Bxx=∣，则图中阴影部分表示的集合为（）A.5xxB.01xxC.4xxD.

15xx【答案】B【解析】【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为()UABð，04Axx=，再根据集合运算求解即可.【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为()UABð，因为222loglog4x=，所以04

Axx=，因为15Bxx=∣，所以1UBxx=ð或5x，所以()01UBAxx=ð.故选：B.2.下面关于复数1iz=−+（其中i为虚数单位）的结论正确的是（）A.1z对应的点在第一象限B.1zz+C.z的虚部为iD.0zz+【答案】D【解析】【分析】根据复数的除

法，求模运算，和加法运算即可求解.【详解】1iz=−+,1111i1i11i1i1i1i222z−−−−====−−−+−+−−,所以1z对应的点在第三象限，A错；222(1)121i11zz=−+=+===，故B错；z的虚部为1，故C错；1i1i20z

z+=−++−−=−，故D正确.故选：D.3.命题:p“21,10−xx”，则p为（）A.21,10−xxB.21,10−xxC.2001,10xx−D.2001,10xx

−【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式求解.【详解】命题:p“21,10−xx”为全称命题，其否定为特称命题，即p：2001,10xx−.故选：C4.已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中

正确的是（）A.mnmn，，，B.mnmn，，C.mmnn⊥⊥P，D.nmnm⊥⊥，【答案】D【解析】【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错

误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确.5.若21sin2712sin+=−，则ta

n=（）A.43−B.34−C.34D.43【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，以及同角三角函数关系，整理化简即可求得正切值.【详解】因为21sin2712sin+=−()()()22222sinsin2sincoscossintan1cossincossincossinc

ossin1tancoscos+++++====−+−−−，即tan171tan+=−，解得3tan4=.故选：C.6.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播

间经营化妆品和服装两大类商品．2021年前三个季度的收入情况如图所示，已知直播间每个季度的总收入都比上一季度的总收入翻一番，则下列说法正确的是（）A.该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和．B.该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的16．C.该直播间第

二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的13．D.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍．【答案】C【解析】【分析】利用条形统计图求解判断.【详解】设第一季度的总收入为a，则第二季度的总收入为2a，第三季度的总收入为4a.对于选项A，第一、二季度服装收入

和为(0.1)(20.4)2.5aaaaa−+−=，第三季度服装收入为41.22.8aaa−=，故A错误；对于选项B，第一季度化妆品收入为10%0.1aa=，第三季度化妆品收入为430%1.2aa=，第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.111.2

12aa=，故B错误；对于选项C，第二季度的化妆品收入为220%0.4aa=，第三季度的化妆品收入为430%1.2aa=，第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.411.23aa=，故C正确；对于选项D，第三季度总收入是第一季度总收入的44aa=倍，故D错误

.故选：C．7.英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化冷却模型．如果物体的初始温度是1，环境温度是0，则经过mint物体的温度将满足()010ekt−=+−，其中k是一个随着物

体与空气的接触情况而定的正常数．现有90C的物体，若放在10C的空气中冷却，经过10min物体的温度为50C，则若使物体的温度为20C，需要冷却（）A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min【答案

】C【解析】【分析】首先根据()010ekt−=+−及物体经过10min物体的温度为50C得出k的值，再求出20=时t的值即可．【详解】由题意得190=，010=，50=，10t=代入，105010(9010)

ek−=+−，即101e2k−=，所以1ln210k=，所以ln210010()te−=+−，由题意得190=，010=，20=代入，即ln2102010(9010)et−=+−，得ln2101e8t−=，

即1ln2ln3ln2108t−==−，解得30t=，即若使物体的温度为20C，需要冷却30min，故选：C．8.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为,FO为坐标原点，以OF

为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点O及点33,22A，则双曲线C的方程为（）A.2213yx−=B.22126xy−=C.2213xy−=D.22162xy−=【答案】C【解析】的【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程：b

yxa=，再将点33,22A代入可得33ba=，连接FA，根据圆的性质可得23333c−=，从而可求出c，再由222cab=+即可求解.【详解】双曲线()2222:10,0xyCabab−=，则渐近线方程：byxa=，33ba=，连接FA，则23333FA

cbAOa−===，解得2c=，所以2224cab=+=，解得223,1ab==.故双曲线方程为2213xy−=.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.9.已

知a>0，b>0，且a+b=1，则错误的是（）A.2212ab+B.122ab−C22loglog2ab+−D.2ab+【答案】C【解析】【分析】根据1ab+=，由()22221abaa+=+−结合二次函数可判断A，由2

11aba−=−−可判断B，由.222logloglogabab+=和()212abab+=+结合基本不等式可判断CD【详解】对于A，()222221221abaaaa+=+−=−+21211222a+−=，当且仅当12a

b==时，等号成立，故A正确；对于B，211aba−=−−，所以11222ab−−=，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab++===−，当且仅当12ab==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()

21212ababab+=+++=，所以2ab+，当且仅当12ab==时，等号成立，故D正确.故选：C.10.已知球O是正三棱锥ABCD−（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC=

，2AB=，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A.3π4B.2π3C.π2D.π4【答案】A【解析】【分析】如图，1O是A在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于OE时截面面积最小，求出截面

圆的半径即得解.【详解】如图：1O是A在底面的射影，由正弦定理得，BCD△的外接圆半径311sin602r==.由勾股定理得棱锥的高1211AO=−=设球O的半径为R，则()2211RR=−+，解得1R=，所以10OO=，即1O与O重合，所以当过点E作球O的截面垂直于OE时，截面面积最小，此时

截面半径为32BE=，截面面积为3π4.故选：A.11.如图，ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CPCA=，则PAB面积的最大值为（）A.251−B.4C.23D.23+【答案】D【解析】【分析】根据正

弦定理可得4cosPA=，利用三角形面积公式以及倍角公式、辅助角公式，利用三角函数的性质即可求解最大值.【详解】设π0α2PAC=，，则在PAC△中，由正弦定理得()24cossinπ2sinPAPA==-，所以1π

1ππsin4cos2sin4cossin23233PABSPAAB=+=+=+πsin23cos232sin233=++=++，故当πππ23212+

==时，此时面积最大为23+，故选：D12.若函数()yfx=满足对Rx都有()()22fxfx+−=，且()1yfx=−为R上的奇函数，当()1,1x−时，()1212xxfx=−+，则集合()Axfxx==中

的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据已知可推出函数()fx周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由()1yfx=−为R上的奇函数,()()()()()1112fxfxfxfxfx−=−−−

=−−++−=①，又()()()()2222fxfxfxfx+−=−++=②，由②－①()()()()()202fxfxfxfxyfx+−=+==为周期为2的周期函数,而又()()()()()2211211fxf

xfff+−=+==，当()1,1x−时()()121012xxfxf=−+=当Zx时,()1fx=．又当()1,1x−时，()1212xxfx=−+单调递增，且()1522fx−．故可作出函数(),yfxyx==的大致图象如图：而集合A中的元素个数为函数()y

fx=与yx=图象交点的个数，由以上分析结合函数yx=性质可知，1为集合A中的一个元素，且y=f（x）与yx=在（2，3），（4，5）上各有一个交点，∴集合()Axfxx==中的元素个数为3．故选：A．二、填空题：13.已知(2,),

(3,1)ab=−=，若()abb+⊥，则a=______.【答案】25【解析】【分析】根据题意求得(1,1)ab+=+，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(

3,1)ab=−=，可得(1,1)ab+=+，又因为()abb+⊥，可得()(1,1)(3,1)310bba=+=++=+，解得4=−，所以(2,4)a=−−，所以22(2)(4)25a=−+−=.故答案

为：25.14.已知函数()()21,034,0fxxfxxxx+=−−，则((4))ff−=_________．【答案】6−【解析】【分析】由分段函数解析式计算函数值即可.【详解】(4)(3)(2)(1)(0)(1)1346

ffffff−=−=−=−===−−=−，所以((4))(6)(1)1346ffff−=−==−−=−故答案为：6−.15.如图，已知在扇形OAB中，半径π3,3OAOBAOB===，圆1O内切于扇形

OAB（圆1O和,OAOB，弧AB均相切），作圆2O与圆1,,OOAOB相切，再作圆3O与圆2,,OOAOB相切，以此类推．设圆1O，圆2O…的面积依次为12,SS，那么3S=____________．【答案】π81【解析】【分析】根据锐角三角比的圆的几何特性即可求解.【详解】设圆1O与弧AB相

切于点D，圆1O，圆2O与OA分别切于点,CE，则1OCOA⊥，2OEOA⊥．设圆1O，圆2O，圆3O，…，因为π3AOB=，所以π6AOD=．在1RtOOC△中113OOr=−，则1112OCOO=，即11

32rr−=，解得11r=．在2RtOOE△中，22132OOrr=−−，则2212OEOO=，即212322rrr−−=，解得211133rr==．同理可得，321193rr==，所以233ππ81Sr==故答案为：π81.16.设,A

B是抛物线2:4Cyx=上两个不同的点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之积为4−,则下列结论正确的有________.①||4AB;②||||8OAOB+;③直线AB过抛物线C的焦点;④OAB面积的最小值是2.【答案】①③④【解析】【分析】对于②,可以通过特殊点来判断;而对于选项①③④,

可以通过设直线AB,再联立方程组,结合韦达定理一一判断即可.【详解】取(1,2),(1,2)AB−,满足4OAOBkk=−,从而||||25OAOB+=,故②错误;由题意可知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为xmyt=+,

()()1122,,,AxyBxy,联立24xmytyx=+=,整理得2440ymyt−−=,则12124,4yymyyt+==−,因为1212121644OAOByykkxxyyt===−=−,所以1t=,所以直线AB的方程为1xmy=+,则直线AB过点(1,0),因为抛物线C的

焦点为(1,0)F,所以直线AB过焦点F,故③正确;.则由抛物线的性质可知||24ABp=,故①正确;由上可得直线AB的方程为1xmy=+,()2221212124161641yyyyyymm−=+−=+=+,则()2212||141ABmyym=+−=+,

原点O到直线AB的距离211dm=+,则()222111||41212221OABSABdmmm==+=++△,故④正确.故答案为:①③④.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时,要注意:(1)注意观察

应用题设中的每一个条件,明确确定直线、抛物线的条件;(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.三、解答题：17.在等比数列n

a中，748aa=，且214a，35a−，412a−成等差数列.（1）求na的通项公式；（2）若22111lognnnbnaa−=+，证明：数列nb的前n项和43nT.【答案】（1）12nna+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质

，列方程求解即可.（2）对nT进行分组求和，一部分利用裂项相消进行求和，一部分利用等比数列的求和公式进行求和，再对计算得到的nT进行不等式的放缩，即可证明不等式成立.【小问1详解】设数列na的公比为q，由748aa=，得

3448aqa=，所以2q=.因为214a，35a−，412a−成等差数列，所以()324125124aaa−=+−，即11118108122aaa−=+−，解得14a=.因此11422nnna−+==.【小问2详解】因为()22211111111log1214nnnnn

bnaannnn−=+=+=−+++，所以21111111112231444nnTnn=−+−++−+++++1111111441111113414nnnn−=−+=−+−++−.因为1111n−+，111

1343n−，所以43nT.18.2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务.已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40160X，单位：件.注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分

组统计得到表格如表：蔬菜量X)40,80)80,120)120,160天数204040试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在)40,80、)80,120两组数据中抽6天来分析配

送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟.每辆货车每

趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元.该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使

该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？【答案】（1）35；（2）该选择租赁3辆货车.【解析】【分析】（1）根据分层抽样得到)40,80中抽取2天，)80,120中抽取4天，分别标记后写出样本空间，利用古典概型求解；（2）分

别计算租赁2辆和3辆时的平均利润，比较得结果.【详解】（1）记事件A为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，在)40,80、)80,120两组数据中用分层抽样抽6天，)40,80中抽的天数为206260=天，记为A，B；)80,120中抽的天数为406460=天

，记为a，b，c，d则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：“(),AB，(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ad，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),Bd，(),ab，(),ac，(),ad，(),bc，(),bd，(),cd”共15种选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于8

0件的可能情况有以下：“(),AB，(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ad，(),Ba，(),Bb，(),Bc，(),Bd”共9种∴选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为()93155PA==.（2）若租赁2辆车，平均利润为()20802000

40040003520100100-??若租赁3辆车，平均利润为()()2040402000800400040060004080100100100-?-??∵40803520>，所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大.19.如图，在四边形ABCP

中，ABC为边长为23的正三角形，CPCA=，将ACP△沿AC翻折，使点P到达P的位置，若平面PBC⊥平面ABC，且BCPA⊥．（1）求线段PA的长；（2）设M在线段PC上，且满足2MCPM=，求三棱锥PABM−的体积．【答案】（1）32（2）3【解析】【分析】

（1）由面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而得证AOPO⊥，利用勾股定理即可求解；（2）由2MCPM=可知三棱锥PABM−的体积为三棱锥PABC−体积的13.即可求解.【小问1详解】如图：取BC中点O，连接AO，PO，因为ABC

为等边三角形，O为BC的中点，则AOBC⊥，又,,,BCPAAOAPAAOAP=⊥平面APO，BC⊥平而APO，BCOP⊥．所以23BPCP==，即PBC为等边三角形，所以3OP=，又平面PBC

⊥平面ABC，AOBC⊥，所以AO⊥平面PBC，所以AOPO⊥，又3AO=，所以2232APAOPO=+=【小问2详解】三棱锥PABM−的体积为三棱锥PABC−与三棱锥MABC−的体积之差.因为M在线段PC上，且满足2MCPM=，即13

PMPC=，所以三棱锥MABC−的体积为三棱锥PABC−体积的23.所以三棱锥PABM−的体积为三棱锥PABC−体积的13.由（1）可知，AOPO⊥，BCOP⊥，而BCAOO=，所以PO⊥平面ABC，所以PO为三棱锥PABC−的高，

所以三棱锥PABC−的体积为：111233333332ABCSPO==.所以三棱锥PABM−的体积为：13333=.20.已知函数()()lnfxxtx=+，若函数()fx在1x=处的切线与直线0xy−=平

行．（1）求t的值及函数()fx的单调区间；（2）已知0a，若函数axye=与函数1fxyax=的图像在10,ex有交点，求实数a的取值范围．【答案】（1）0=t，函数()fx的单调递增区间为1,e+，单调递减区间

为10,e；（2）(),e+.【解析】【分析】（1）求出切线的斜率()111kft==+=可得t，分别令()0fx¢>、()0fx可得答案；（2）可化为方程1axfxeax=在10,ex有解，

即11lnlnaxaxeexx=，转化为()1axfefx=在10,ex有解，利用()fx的单调性得lnxax=−，构造函数()lnxgxx=，再利用()gx的单调性可得答案.【详解】（1）由()lnxtfxxx+=+，切线的斜率(

)111kft==+=，得0=t，则()lnfxxx=，()0,x+，()ln10fxx=+=，得1=xe，x10xe1=xe1xe()fx小于0等于0大于0()fx单调递减单调递增函数()fx的单调递增区间为1,e+，单调递减区间为10

,e.（2）由已知可得，方程1axfxeax=在10,ex有解，由11lnaxxxeax=，得11lnaxaxexx=，所以11lnlnaxaxeexx=，有()1axfefx=在10,ex有解，由于0a，0

ax，所以1axe，由10,ex得1ex，由（1）可知，()fx在1,xe+单调递增，则1axex=在10,ex有解，由1axex=得1lnaxx=，所以lnxax=−，即lnxax−=在10,ex有解，令()l

nxgxx=，10,ex，由()21lnxgxx−=，当10,ex时，()0gx，则()gx在10,ex单调递增，由1gee=−，则()(),gxe−−，则ae−−

，所以ae.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义、方程有根求参数的问题，关键点是转化为()1axfefx=在10,ex有解和构造函数利用函数的单调性解题，考查了学生的理解能力、转化能力.21.已知椭圆22:12+=xEy的左、右焦点分别为12,FF，

过2F的直线l与椭圆E交于,AB两点，过2F作直线2PF与直线l垂直且与直线2x=交于P．（1）当直线l与x轴垂直时，求1ABF内切圆半径；（2）分别记2,,PAPFPB的斜率为123,,kkk，证明：123,,kkk成等差

数列．【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得1ABF的周长，结合1ABF面积可求得内切圆半径；（2）设直线:1lxmy=+，可求得()2,Pm−，由l与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用两点连线斜率公式

和韦达定理化简可整理得到132kkm+=−，又2km=−，可知1322kkk+=，由此可得结论.【小问1详解】由椭圆方程得：2a=，1b=，1c=，当直线l与x轴垂直时，1ABF的周长为442a=，又222bABa==，1121122222ABFSABFF===，1ABF内切圆半径12

1242ABFSr==【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy（不妨令A在x轴上方），直线:1lxmy=+，则2:PFymxm=−+，由2ymxmx=−+=得：2xym==−，()2,Pm−；由22112

xmyxy=++=消去x得：()222210mymy++−=，则2880m=+，12222myym+=−+，12212yym=−+，()()()()()()122112131212112211ymmyymmyymymkkxxmymy+−++−+++=+=

−−−−的()()()21212212122121myymyymmyymyy+−+−=−++，将韦达定理代入整理得：3322132222222222222221122mmmmmmmmkkmmmmmm−−++−−

−+++===−−−+−+++，又2021mkm−−==−−，1322kkk+=，2,,PAPFPB的斜率123,,kkk成等差数列.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于

x或y的一元二次方程的形式；②利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，结合韦达定理整理化简可得结果.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos,

3sinxryr=+=+（为参数，0r），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为π22sin4=+.（1）若曲线1C与2C有且仅有一个公共点，求r的值；（2）若曲线1C与2C相交于A，B两点，且3

0||2AB=，求直线AB的极坐标方程.【答案】（1）2r=或32r=（2）2cos2sin30+−=或2cos2sin50+−=.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程和22sincos1+=可得曲线1C是以(3,3)为圆心

，r为半径的圆.利用公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，得曲线2C是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.结合圆与圆的位置关系计算即可求解；（2）由（1），将两圆的方程相减可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式，结合圆的垂径定理计算即

可求解.【小问1详解】由3cos(3sinxryr=+=+为参数)，得3cos(3sinxryr−=−=为参数)，又22sincos1+=，所以曲线1C的普通方程为222(3)(3)xyr−+−=，即曲线1C是以(3,3)为圆心，r为半径的圆.2π22sin2s

in2cos2sin2cos4=+=+=+，由222,cos,sinxyxy+===得222222(1)(1)2xyxyxy+=+−+−=，即曲线2C是以(1,1)为圆心，2为半

径的圆.若曲线1C与2C有且仅有一个公共点，则两圆相切，所以22(31)(31)2r−+−=+或22(31)(31)|2|r−+−=−由0r，解得2r=或32r=.【小问2详解】将两圆的方程相减，得244180xyr++−=，即直线AB的方程为244180xyr++−=.

因为30||2AB=，所以圆2C的圆心到直线AB的距离为22224418||222444rABd+−+=−==+，解得212r=或28r=，则直线AB的方程为2230xy+−=或2250xy+−=，故直线AB的极坐标方程为2cos2sin30+−=或2cos2sin50

+−=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1||1|fxxxx=−−++.（1）解不等式1()12fxx−；（2）是否存在正实数k，使得对任意的实数x，都有()()fxkfx+成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说

明理由..【答案】（1）2(,6),23−−（2）存在，[4,)+【解析】【分析】（1）写出()fx的分段型式，解不等式；（2）结合函数()fx的图象可知4k，再进一步证明.【小问1详解】2,1()11

,112,1xxfxxxxxxxx+−=−−++=−−−，①当1x−时，1()12fxx−，1212xx+−，6x−；②当11x−时，1()12fxx−，则112xx−−，23x，则213x；③当1x时，1()12fxx−，1212xx−−，2x，则

12x.综上所述，不等式1()12fxx−的解集为2(,6),23−−.【小问2详解】假设存在正实数k，使得对任意的实数x，都有()()fxkfx+成立.2,1(),112,1xxfxxxxx+−=−−−，当=1x−时

，因为(1)(1)1(3)fkff−+−==成立，结合函数()fx的图象可知，13k−+，所以4k.下面进一步验证：若4k，则(,1)(1,)x−−−+，()()fxkfk+成立.①当(,1)x−−时，()()|1||1|(2)|1

||1|2fxkfxxkxkxkxkxkxk+−=+++−−++−+=++−−++−，因为|1||1||(1)(1)|2xkxkxkxk+−−++−+−−++=−，所以()()220fxkfxk+−−−，所以()()fxkfx+成立.②当(1,)−+x时，()()2(|1||1|)2|

1||1|fxkfxxkxxxkxx+−=+−−+−−+=−−−++.因为|1||1||(1)(1)|2xxxx+−−−+−−=−，所以()()220fxkfxk+−−−，所以()()fxkfx+成立.综

上所述，存在正实数k，使得对任意的实数x，都有()()fxkfx+成立，此时k的取值范围是[4,)+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com