【文档说明】《（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）》三年专题13 不等式、推理与证明（教师版）【高考】.docx，共(10)页，298.846 KB，由小赞的店铺上传

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三年专题13不等式、推理与证明1．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{𝑥+𝑦⩾2,𝑥+2𝑦⩽4,𝑦⩾0,则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化

目标函数𝑧=2𝑥−𝑦为𝑦=2𝑥−𝑧，上下平移直线𝑦=2𝑥−𝑧，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以𝑧max=2×4−0=8.故选：C.2．【2021年乙卷文科】若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy+−则3z

xy=+的最小值为（）A．18B．10C．6D．4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3yxz=−+，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43xyy+==可得点()1,3A,转换目标函数3zxy=+为3yxz=−+，上下平移直线3yxz

=−+，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时min3136z=+=.故选：C.3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（）A．224yxx=++B．4sinsinyxx=+C．222xxy−=+D．4lnlnyxx=+【答案】C【

解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，()2224133yxxx=++=++，当且仅当1x=−时取等号，所以其最小值为

3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx=+=，当且仅当sin2x=时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy−=

+=+=，当且仅当22x=，即1x=时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx=+，函数定义域为()()0,11,+，而lnxR且ln0x，如当ln1x=−，5y=−，D不符合

题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线x

=对称D．f(x)的图象关于直线2x=对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sinx可以为负，所以A错；1sin0()()sin()sinxxkkZfxxfxx

−=−−=−QQ()fx关于原点对称；11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxx−=−−−=+=Q故B错；()fx关于直线2x=对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶

性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．【2022年新高考2卷】若x，y满足𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1，则（）A．𝑥+𝑦≤1B．𝑥+𝑦≥−2C．𝑥2+𝑦2≤2D．𝑥2+𝑦2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即

可判断各选项的真假．【详解】因为𝑎𝑏≤(𝑎+𝑏2)2≤𝑎2+𝑏22（𝑎,𝑏∈R），由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为，(𝑥+𝑦)2−1=3𝑥𝑦≤3(𝑥+𝑦2)2，解得−2≤𝑥

+𝑦≤2，当且仅当𝑥=𝑦=−1时，𝑥+𝑦=−2，当且仅当𝑥=𝑦=1时，𝑥+𝑦=2，所以A错误，B正确；由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为(𝑥2+𝑦2)−1=𝑥𝑦≤𝑥2+𝑦22，解得𝑥2+𝑦2≤2，当且仅当𝑥=𝑦

=±1时取等号，所以C正确；因为𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1变形可得(𝑥−𝑦2)2+34𝑦2=1，设𝑥−𝑦2=cos𝜃,√32𝑦=sin𝜃，所以𝑥=cos𝜃+1√3sin𝜃,𝑦=2√3sin𝜃，因此𝑥2+𝑦2=cos2𝜃+53sin2𝜃+2

√3sin𝜃cos𝜃=1+1√3sin2𝜃−13cos2𝜃+13=43+23sin(2𝜃−π6)∈[23,2]，所以当𝑥=√33,𝑦=−√33时满足等式，但是𝑥2+𝑦2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．6．【2020年新高考1卷（

山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A．2212ab+B．122ab−C．22loglog2ab+−D．2ab+【答案】ABD【解析】【分析】根据1ab+=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，()222221221abaaaa+=+−=−+212112

22a+−=，当且仅当12ab==时，等号成立，故A正确；对于B，211aba−=−−，所以11222ab−−=，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab++===−，当且仅当

12ab==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()21212ababab+=+++=，所以2ab+，当且仅当12ab==时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单

调性，侧重考查数学运算的核心素养.7．【2020年新课标1卷理科】若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy+−−−+则z=x+7y的最大值为______________.【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大

值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7zxy=+即：1177yxz=−+，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：22010xyxy+−=−

−=，可得点A的坐标为：()1,0A，据此可知目标函数的最大值为：max1701z=+=.故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜

0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.8．【2020年新课标2卷文科】若x，y满足约束条件1121,xyxyxy+−−−−，，则2zxy=+的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析

】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12yx=−，在平面区域内找到一点使得直线1122yxz=−+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图

所示：平移直线12yx=−，当直线经过点A时，直线1122yxz=−+在纵轴上的截距最大，此时点A的坐标是方程组121xyxy−=−−=的解，解得：23xy==，因此2zxy=+的最大值为：2238+=.故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想

，考查数学运算能力.9．【2020年新课标3卷理科】若x，y满足约束条件0,201,xyxyx+−，，则z=3x+2y的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的

几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32zxy=+，所以322xzy=−+，易知截距2z越大，则z越大，平移直线32xy=−，当322xzy=−+经过A点时截距最大，此时z最大，由21yxx==，得12xy==，(1,2)A，所以max31227z

=+=.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.10．【2020年新课标3卷理科】关于函数f（x）=1sinsinxx+有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的

图象关于直线x=2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的

定义可判断命题③的正误；取0x−可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f=+=，152622f−=−−=−，则66ff−，所以，函数()fx的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数

()fx的定义域为,xxkkZ，定义域关于原点对称，()()()()111sinsinsinsinsinsinfxxxxfxxxx−=−+=−−=−+=−−，所以，函数()fx的图象关于原点对称，命题②

正确；对于命题③，11sincos22cossin2fxxxxx−=−+=+−，11sincos22cossin2fxxxxx+=++=++，则22fxfx−=+，所以，函数()fx的

图象关于直线2x=对称，命题③正确；对于命题④，当0x−时，sin0x，则()1sin02sinfxxx=+，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.