【文档说明】四川省成都市东部新区养马高级中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题 含解析.docx，共(17)页，1.114 MB，由小赞的店铺上传

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成都东部新区养马高级中学2022–2023学年度（上）2021级半期高数学试题（理科）一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.1x是2x的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：涉及范围的命题应记住以下结论：若集合AB，则A是B的充分条件.本题中|1|2xxxx，故选B.充要条件问题易将充分性、必要性弄反，解题应考虑清

楚.考点：不等关系，命题及其充分性必要性.2.已知两直线0xkyk−−=与()1ykx=−平行，则k的值为()A.1B.－1C.1或－1D.2【答案】B【解析】【详解】试题分析：两条直线平行，则斜率相等，解得，因为当时，两

条直线重合，故舍去，考点：两条直线平行应用．3.命题“()**,nNfnN且()fnn的否定形式是（）A.()**,nNfnN且()fnnB.()**,nNfnN或()fnnC.()**00,nNfnN且()00fnnD.()**00,nNfn

N或()00fnn【答案】D【解析】的【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“()**,nNfnN且()fnn的否定形式是()**00,nNfnN或()00fnn故选D.考点：命题的否定4.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称

轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F上，片门位于另一个焦点2F上，由椭圆一个焦点1F发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F，已知

12||8cmFF=，1||1cmAF=，则光从焦点1F出发经镜面反射后到达焦点2F经过的路径长为（）A.5cmB.10cmC.7cmD.27cm【答案】B【解析】【分析】由椭圆的性质求解即可【详解】由

题意可知：4,1cac=−=，则15ac=+=，则光经过的路径长210a=.故选：B5.若实数,xy满足条件0222xyxyxy−+−−−，则2zxy=+的最大值是A.10B.8C.6D.4【答案】C【解析】【详解】试题分析：画出0{22

2xyxyxy−+−−−所表示的可行，如图，当直线2yxz=−+过()2,2时，z的最大为2226+=，故选C.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三

求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.

已知,mn是两条不同的直线，,a是两个不同的平面，若,mn⊥⊥，且⊥，则下列结论一定正确的是（）A.mn⊥B.mn∥C.m与n相交D.m与n异面【答案】A【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可判断出答案.【详解】因为,mn⊥⊥

，⊥，所以mn⊥，故选：A.7.已知等差数列na的前n项和为nS，且452a=，1015S=，则7a=（）A.12B.1C.32D.2【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得1153210910152adad+=+=，解方程组

求出1,ad，从而可求出7a【详解】解：设等差数列na的公差为d，因为452a=，1015S=，所以1153210910152adad+=+=，即11265293adad+=+=，解得19223ad

==−，所以79216()232a=+−=，故选：A【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题8.“4=−”是“函数()cos(3)fxx=−的图象关于直线4x=对称”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】（1）先证明充分条件：只需4=−带入()cos(3)fxx=−中，验证4f函数值时-1，即可说明函数()cos(3)fxx=−的图象关于直线4x=对称；（2）再证明必要条件：函数()co

s(3)fxx=−对称轴若是4x=，则33,()44kkkz−==−则，故说明不一定是4=−，所以满足必要条件【详解】当4=−时，()cos34fxx=+，若4x=时3coscos1444f=+==

−，故：4x=是对称轴，排除：B,D函数()cos(3)fxx=−对称轴若是4x=，则33,()44kkkz−==−则，故排除：C，答案选A【点睛】本题主要判断充分必要条件．9.已知平行于x轴的一条直线与椭圆22221(0)xyabab+=相交于P，Q

两点，12PQa=，π3PQO=，（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A.105B.55C.53D.255【答案】D【解析】【分析】设点P位于第一象限，根据12PQa=求出点P坐标，进而可得OP，再根据π3PQO=可得POQ△为等边三角形，可得12OPPQa=

=，再由离心率公式222abea−=即可求解.【详解】因为直线PQ平行于x轴，且12PQa=，设点P位于第一象限，将14xa=代入22221xyab+=可得154yb=，所以点P坐标为115,44ab

，因为π3PQO=，根据对称性可得POQ△为等边三角形，所以OPPQ=即22115116162aba+=，整理可得：225ab=，所以2222222252555cabbbeaab−−===，故选：D.10.已知点()4,0A、()0,4B，直线25:4

lx=，动点P到点A的距离和它到直线l的距离之比为4:5，则PB的最大值是（）A.41B.7C.52D.213【答案】C【解析】【分析】设点(),Pxy，由题意可求出点P的轨迹方程，再利用平面内两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求得PB的最大值.【

详解】设点(),Pxy，由题意可得()22442554xyx−+=−，整理可得221259xy+=，则2225259xy=−，其中33y−，所以，()22222251642581684199PBxyyyyyy=+−=−+−+=−−+，所以

，当94y=−时，PB取最大值，即max52PB=.故选：C.11.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，过1F且斜率为37−的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若()12120FFFAFA+=，则

此双曲线的渐近线为（）A.yx=B.2yx=C.72yx=D.3yx=【答案】D【解析】【分析】通过()12120FFFAFA+=得到1122AFFFc==，结合题干中的斜率条件表达出A点坐标，再代入双曲线方程求解b与a的关系，求解渐近线方程.【详解】因为()12120FF

FAFA+=，所以()1212FFFAFA+⊥，故三角形12AFF△是等腰三角形，即1122AFFFc==，又因为137AFk=−，过点A作AB⊥x轴于点B，则11tan37ABAFBFB==，设1FBx=，37ABx=，由勾股定理得：()()222372xxc+=，解得：14xc=

，故537,44Acc−，把A点代入双曲线方程，得：42242554630baba−−=，解得：()()2222252130baba+−=，显然223ba−=0，所以3ba=，所以双曲线的渐近线为3

yx=故选：D12.已知圆22:()()3(,R)Mxaybab−+−=与圆22:1Oxy+=相交于A，B两点，且||3AB=.给出以下结论：①MAMB是定值；②四边形OAMB的面积是定值；③ab+的最小值为2−；④ab的最大值为2，则其中正确结论的是（）A.①②④B.①②③C.③④D.①③

【答案】A【解析】【分析】利用等边三角形结合数量积判断①，利用勾股定理得出圆心距判断②，令2sina=，2cosb=，利用辅助角公式判断③，利用基本不等式判断④.【详解】由题意因为圆M的半径3MAMB==且||3AB=，所以MAB△为

等边三角形，π3AMB=，所以π3cos32MAMBMAMB==是定值，①正确；设MO与AB相交于点C，所以32ACBC==，圆心距223313222OMMCOC=+=−+−=，所以132OAMBSMOAB==是定值，②正确；因为222MOab

=+=，所以224ab+=，设2sina=，2cosb=，则π2sin2cos22sin4ab+=+=+，所以ab+的最小值为22−；由均值定理得2222422ababab=+=，当且仅当22ab=即2ab==时等号成立，所以ab的最大

值为2，④正确；综上①②④正确，故选：A二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.lg42lg5+=___________.【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算公式，直接计算即可得解.【详解】lg42lg52lg22lg52(lg2lg5)2lg102+=+=

+==，故答案为：2.14.已知2:2310pxx−+，2:(21)(1)0qxaxaa−+++≤．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__．【答案】10,2【解析】【分析】利用不等式的解法求处命题,pq中的不等式范围问题，结合二者

的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围.【详解】2:2310pxx−+，计算得出112x，p：12x或1x，()()2:2110qxaxaa-+++?计算出1axa+，:qxa或1xa+，因为p是q的必

要不充分条件，即(,)(1,)aa−++1(,)(1,)2−+所以1211aa+计算得出102a≤≤．则实数a的取值范围是10,2，故答案是：1[0,]2.【点睛】该题考查是有关根据

必要不充分条件求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意正确求解各个命题为真命题时对应的范围，再者可以通过p是q的必要不充分条件，可以得出p是q的充分不必要条件，从而得到相应的结果，属于简单题目.15.已知0a，0b，若直线()1210axy−+−=与直线0xby+=互相垂直，则ab最

大值是__________．【答案】18.【解析】【详解】分析：根据两直线垂直的条件，求出,ab满足的关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值．详解：因为直线(1)210axy−+−=与直线0xby+

=互相垂直，所以(1)120ab−+=，21ab+=，又0,0ab，所以21121(2)()2228ababab+==，当且仅当2ab=，即11,24ab==时，等号成立．所以ab的最大值为18．点睛：本题主要考查了两直线垂直的条件以及基本不等

式，属于中档题．本题使用基本不等式时，注意凑项，方便使用基本不等式．16.已知圆22:2410Cxyxy+−−+=上存在两点关于直线:10lxmy++=对称，经过点,()Mmm作圆C的切线，切点为P，则MP=_____

________.【答案】3【解析】【详解】试题分析：因为圆22:2410Cxyxy+−−+=的圆心为()1,2，且圆上存在两点关于直线:10lxmy++=对称，所以10xmy++=过点()1,2，所以1210m++=，得221,13,4mMCr=−==,的的切割线1343M

P=−=,故答案为3.考点：1、圆的对称性；2、数形结合思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的对称性、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要

的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度，本题根据圆的图象的对称性，将圆22:2410Cxyxy+−−+=上存在两点关于直线:10lxmy++=对称，转化为圆心在直线上是解题的关键.三､解答题（本大题共6小题，共70分.）17.

在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足2coscosbcCaA−=（I）求A的大小；（II）若10a=，82b=，C角最小，求ABC的面积S.【答案】（1）4；（2）8【解析】【详解】试题分析：（1）先根据正

弦定理将边化为角，再根据诱导公式得cosA＝22，解得A的大小；（2）先根据余弦定理得c，再根据三角形面积公式求面积.试题解析：(1)由正弦定理，得2sinsincossincosBCCAA−=所以2sinBcosA＝cosCsinA＋sinCcosA，即2sinBcosA＝sin(A＋C)＝

sinB.因B∈(0，π)，所以sinB≠0.所以cosA＝22.因为A∈(0，π)，所以A＝4.(2)由余弦定理及a＝10，b＝82，得102＝(82)2＋c2－2×82×22c.为解之得c＝14（舍）或c＝2.所以S＝

12bcsinA＝8.18.已知圆1C圆心为原点，且与直线34100xy+−=相切，直线l过点(1,2)M．（1）求圆1C的标准方程；（2）若直线l被圆1C所截得的弦长为23，求直线l的方程．【答案】（1）224xy+=；（2）1x=

或3450xy−+=【解析】【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；（2）先由弦长公式求出1d=，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由1d=解出直线斜率，即可求解.【小问1详解】设圆的半径为r，则2210234r−==+，故圆1C的标准方

程为224xy+=；【小问2详解】设圆心到直线到l距离为d，则2223rd−=，解得1d=；当直线l斜率不存在时，易得:1lx=，此时圆心到l的距离1d=，符合题意；当直线l斜率存在时，设:2(1)lykx−=−，即20kxyk−+−

=，则2211kdk−==+，解得34k=，即:3450lxy−+=，故直线l的方程为1x=或3450xy−+=.19.已知p：任意xR，都有()221xmx+，q：存在xR，使2210xxm+−−=.若p且q为真，求实数m的取值范围.【答案】21m−−

【解析】【分析】根据p真求出m的范围，根据q真求出m的范围，然后求交集可得结果.【详解】()221xmx+可化为220mxxm−+.若p为真，则220mxxm−+对任意的xR恒成立．的当0m=时，不等式可化为20x−，显然不恒成立；当0m时，则有0m，且21440m=−，

解得1m−；故p真时，1m−.若q为真，则方程2210xxm+−−=有实根，∴24440m=++，解得2m−，故q真时，2m−.所以p且q为真时，21m−−.20.已知等比数列na的前n项和为n

S，且231Saa=−.（1）求数列na的公比q的值.（2）记21lognnba+=，数列nb的前n项和为nT，若452Tb=，求数列11nnbb+的前9项和.【答案】（1）1−或2（2）910【解析】【

分析】（1）由题意得，设等比数列na的通项公式，利用条件231Saa=−即可求解；（2）由（1）可得到数列nb的通项公式，再由452Tb=，求出数列11nnbb+的通项公式，然后利用裂项即可求解.【小问1详解】由na是等比

数列，则11nnaaq−=，由题知公比1q（否则与231Saa=−矛盾），由231Saa=−，得()2121111aqaqaq−=−−，则220qq−−=，解得1q=−或2；【小问2详解】由题意知q取值为2，则()2121log2lognnbaan==+，所以

数列nb是一个公差为1的等差数列，由452Tb=得()4114624Tbb=+=+，解之得11b=，即nbn=，所以数列11nnbb+的前9项和，91111111191122391022391010H=+++=−+−++−=.21.

已知椭圆C的两个焦点分别为()()121,0,1,0FF−，短轴的两个端点分别为12,BB.（Ⅰ）若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与椭圆C相交于,PQ两点，且11FPFQ⊥，求直线l的

方程.【答案】（Ⅰ）2214133xy+=；（Ⅱ）710xy+−=或710xy−−=．【解析】【详解】试题分析：（1）由112FBB为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合222abc=+可求22,ab，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，

结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11FPFQ⊥转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l

的方程可求试题解析：（1）112FBB为等边三角形，则22222224333{{{1113aabbcbabcb=−==−===椭圆C的方程为：223314xy+=；（2）容易求得椭圆C的方程为2212xy+=，当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线的斜率

存在时，设直线l的方程为()1ykx=−，由()221{12ykxxy=−+=得()()2222214210kxkxk+−+−=，设()()1122,,,PxyQxy，则()22121222214,2121kkxxxxkk

−+==++，()()1111221,,1,FPxyFQxy=+=+∵11FPFQ⊥，∴11·0FPFQ=，即()()()()()2121212121211111xxyyxxxxkxx+++=++++−−()()()2222121227111

1021kkxxkxxkk−+−−+++==+＝解得217k=，即77k=，故直线l的方程为710xy+−=或710xy−−=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=短轴的两个顶

点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460xy++=与圆222()xyba+−=相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()3,0M作两条互相垂直的直线12,ll，与椭圆C分别交于,,,ABCD四点，如图，求

四边形ACBD的面积的取值范围.【答案】（1）2214xy+=（2）32,225【解析】【分析】（1）利用等边三角形的特点以及点到直线的距离公式结合,,abc的关系求解；（2）根据韦达定理表示出,ABCD，并表示出面积，利用基本不等式讨论范围求解.【小问1

详解】因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以222bbca=+=，即2ab=，又因为直线3460xy++=与圆222()xyba+−=相切，所以224634ba+=+结合2ab=解得2,1a

b==，所以椭圆22:14xCy+=.【小问2详解】(i)若1l垂直于x轴，则2l与x轴重合，由22143xyx+==解得12y=，所以1AB=，又因为124,22ACBDCDaSABCD====同理2l垂直

于x轴，则1l与x轴重合时1,4,2ACBDCDABS===.(ii)若12,ll都不与x轴平行或垂直，设直线()()11122:3(0),,,,lxmymAxyBxy=+，22143xyxmy+==+得：()2242310mymy

++−=1l与椭圆C相交于,AB两点，()2Δ1610,mm=+R则12212223414myymyym+=−+=−+，()221212122222234444144myyyyyymmmm−++++−=+−==+()

221224114mABmyym+=+−=+12ll⊥当0m时，直线21:3lxym=−+，将()22414mABm+=+的m替换为1m−可得()224114mCDm+=+，()()()2242228119212417

4414ACBDmmSABCDmmmm+===−++++229214417mm=−++，因为2222444248mmmm+=，所以2293221425417mm

−++，当且仅当2244=mm，即1m=时“=”成立，32225ACBDS综上32225ACBDS所以四边形ACBD的面积的取值范围为32,225.