【文档说明】2023届高考人教A版数学一轮复习试题（适用于老高考旧教材）单元质检卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入含解析【高考】.docx，共(6)页，80.325 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:60分钟满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021广西南宁一模)复数z=(1+i

)(1-2i),则z的虚部是()A.-3B.-1C.1D.32.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)∥c,则t=()A.-32B.32C.-23D.233.(2021山东聊城二模)已知复

数z1=-2+i,z2=𝑧1i,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是()A.√5B.√10C.5D.104.(2021云南昆明三模)已知向量a=(0,3),b=(4,0),则cos<a,a-b

>=()A.35B.45C.-35D.-455.(2021山西名校联考三模)已知△ABC的重心为O,则向量𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=()A.23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗C.-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.-13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),则()A.a⊥bB.a与b同向2C.a与b

反向D.|a|=2|b|7.(2021四川泸州诊断测试)已知平面向量a,b满足|a|=√3,|b|=1,|a+b|=|a-b|,则|a-2b|=()A.√5B.5C.√7D.78.(2021湖北黄石模拟)原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,|𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗|=2,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=1,|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3,若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则𝜇𝜆=()A.-√33B.√33C.-√3D.√39.(2021山东泰安考前模拟)已知向量a=(λ,1),a-b=(0,4),a⊥b,

则a-b在a方向上的投影为()A.√2B.2C.√3D.√510.(2021四川资阳中学高三月考)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)(其中r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.已知有公式[r(cosθ+isinθ)]n

=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z),由公式可知,“n为偶数”是“复数cosπ2+isinπ2n(n∈Z)为实数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.(2021

湖南岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则△AOB的面积是()A.4√3B.8√33C.4√33D.2√312.(2021天津南开中学三模

)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=√3,∠BAD=π6,𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗),则𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗

⃗的最大值为()3A.4+√132B.2+√132C.4+√134D.2+√134二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=.14.(2021福

建莆田三模)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=.15.(2021山东淄博二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=√3,则向量a-b和b的夹角为.16.(2021浙江嘉兴模拟)给定两个长度为1的平面向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗和𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,它们的夹角为

120°,点C在以O为圆心的圆弧𝐴𝐵⏜上运动,若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,其中x,y∈R.则x+y的最大值为;x-y的取值范围是.答案：1.B解析:z=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,因此复数z

的虚部为-1.2.D解析:由2a+b=(1,2),又(2a+b)∥c,∴2t=2-t,可得t=23.3.B解析:z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2=𝑧1i=-i(-2+i)-i2=1+2i对应的点坐标为(1,2),所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为√(-2-1

)2+(1-2)2=√10.4.A解析:因为向量a=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),所以cos<a,a-b>=3×33×√(-4)2+32=35.5.C解析:如图,设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,

所以𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23×(𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=23×12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.46.C解析:a·b=1×(-2)+(-3)×6=-20≠0,故A错误;∵b=(

-2,6)=-2(1,-3)=-2a,∴a与b反向,故B错误,C正确;|a|=√1+9=√10,|b|=√4+36=2√10,|b|=2|a|,故D错误.7.C解析:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a

·b=0,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,∴|a-2b|=√7.8.D解析:建立如图所示的直角坐标系,根据题意,A(2,0),B-√32,12,C-32,-3√32,因为𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,由向量相等的坐标表示可得{2𝜆-√32𝜇=-32,𝜇2=-3√32,解得{𝜆=-3,𝜇=-3√3,即𝜇𝜆=√3.9.B解析:由a=(λ,1),a-b=(0,4),得

b=(λ,-3),由a⊥b,得a·b=λ2-3=0,解得λ=±√3,所以|a|=2,故a-b在a方向上的投影为(𝑎-𝑏)·𝑎|𝑎|=42=2.10.C解析:由cosπ2+isinπ2n=cos𝑛π2+isin𝑛π2为实数,得sin𝑛π2=0

,故𝑛π2=kπ,k∈Z,即n=2k,k∈Z;反之,若n为偶数,则设n=2k,k∈Z,则sin𝑛π2=sinkπ=0,则cosπ2+isinπ2n=cos𝑛π2+isin𝑛π2=cos𝑛π2,为实数.故“n为偶数”是“复数cosπ2+isinπ2n(n∈Z)为实数”的充要条件.

11.D解析:根据题意,设AB的中点为D,△ABC是等边三角形,则CD⊥AB,AB的中点为D,则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,又由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗,则O是CD的中点,5又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=2√3,则OD=√3,则S△AOB=12×4×√3=2√3.12.C解析:由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴正方向,以DA方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,因为|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=√3,∠BAD=π6,

所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,√3).又𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗),所以M,

N分别为BA,DA的中点,因此M12,√32,N0,√32,又CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点,设C(x,y),则(𝑥-12)2+y2=14,即x2+y2=x,又𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12-x,

√32-y,𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=-x,√32-y,所以𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗=-12x+x2+34−√3y+y2=12x-√3y+34,令m=12x-√3y,即x-2√3y-2m=0,所以点C(x,y)为直线x-2√3y-2m=0与圆(𝑥-12)2+y2=14的一个交点,因

此圆心12,0到直线x-2√3y-2m=0的距离小于等于半径12,即d=|12-2𝑚|√1+12≤12,解得1-√134≤m≤1+√134,所以𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为1+√134+34=4+√134.13.-103解析:∵a

⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-103.614.1+2i(答案不唯一)解析:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a

2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b或任取不为零的实数b,求出a即可得,答案不唯一,如z=1+2i.15.5π6解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,由cos<a-b,b>=(𝑎-𝑏)·𝑏|�

�-𝑏|·|𝑏|=𝑎·𝑏-𝑏22√3=1-42√3=-√32,所以向量a-b和b的夹角为5π6.16.2[-1,1]解析:如图所示,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B-12,√32,设C(cosθ,sinθ)0≤𝜃≤2

π3.由于𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(cosθ,sinθ),𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=-12,√32,根据𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得到{cos𝜃=𝑥-12𝑦,sin𝜃=√32𝑦,从而{𝑥=

cos𝜃+1√3sin𝜃,𝑦=2√3sin𝜃,故x+y=cosθ+√3sinθ=2sinθ+π6,当θ=π3时,(x+y)max=2.x-y=cosθ-√33sinθ=2√33cosθ+π6,又π6≤𝜃+π6≤5π6,∴-√32≤c

osθ+π6≤√32,即-1≤x-y≤1.