【文档说明】江西省南昌市新建区第一中学2021届高三高考押题卷（二）数学（理）试卷 含答案.doc，共(15)页，1.839 MB，由小赞的店铺上传

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新建一中2021年高考押题卷（二）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{(,)|1}Mxyxy=+=，{(,)|3}Nxyxy=−=，则MN=（）A.(2,1)

−B.{(2,1)}−C.{2,1}−D.2x=，1y=−2.在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C对应的复数分别为iiii(21,3,21−−+−为虚数单位），则向量→OD对应的复数为（）A.i55−B.i−1C.i

31+D.i+−33.已知04,0:2++xxxp恒成立，012,:0200=++xxRxq有解，则下列正确的是（）A.qp)(B.qpC.)(qpD.)()(qp4．已知向量，()1,b=−，若向量2ab−与向量a共线，则b=（）A．32−B．132C．13D．13

45.设0<b<a<1，则下列不等式中成立的是（）A．a2<ab<1B．0loglog2121abC．ab<b2<1D．222ab6.随着社会的繁荣与发展，人口结构与社会经济、自然资源分配间的矛盾日趋尖锐.把握人口发展的变化情况，将为政府机构制定和完善未来收入、

消费、教育、就业、养老、医疗社会保障等相关政策提供决策依据.某市为更好地了解该市近30年来，人口年龄结构的变化情况，统计了该市2000年，2010年，2019年各年龄段人口数量的比例，得到如图所示的柱形图：根据图示信息，

得出下列推断，其中不正确的推断是（）A.该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少B．该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加C．该市20

00年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加D．该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少7.函数21()sin2fxxxx=−的大致图象可能是()A.B.C.D.8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大面的面积为是（）主

视图左视图俯视图A．4B．8C．26D．469.被誉为“中国现代数学之父”的数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比0.618是215−=t的近似值

，有一个内角为36的等腰三角形中，较短边与较长边之比为黄金分割比，则126sin=（）A.215−B.215+C.415−D.415+10.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，点M，N分别在抛物线上，且34MFMN=，16MN=，则p=（）A

.4B．6C．8D．1211.已知三棱锥PABC−的外接球的表面积为64，2AB=，23AC=，ABAC⊥，8PA=，则三棱锥PABC−的体积为（）A.8B.1633C.833D.1612.已知函数()fx及其导数

()fx，若存在0x使得()()00fxfx=，则称0x是()fx的一个“巧值点”给出下列四个函数：①()2=fxx；②()xfxe−=；③()lnfxx=；④()tanfxx=，其中有“巧值点”的函数是（）A．①②

B．①③C．①③④D．②④二、填空题13.二项式621(0)xmmx−的展开式中常数项为60，则m=_________．14.从1，2，3，...，15中，甲、乙两人各任取一个数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，则

甲数大于乙数的概率为15．在△ABC中，已知2cos2B+7cosB＝0，BC＝2，AB＝4，则cosA的值为16．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=虚轴的一个顶点为D，直线2xa=与C交于A，B两点，若ABD△的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为___

________.三、解答题17.已知数列na满足111,1nnaaan+==++．（1）求na的通项公式；（2）求数列12nna+的前n项和nS．18．（12分）如图，在三棱柱111ABCABC

−中，四边形11BCCB是菱形，ABBC⊥，1C在底面ABC上的射影是BC的中点．（1）证明：1CB⊥平面1ABC；（2）若2BCAB=，求1CB与平面11ACCA所成角的正弦值．19.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻

石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短

的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒

)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用byax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确

到1)?（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()EX.参考数据（其中1iizx=）71iiizy=z72217iizz=−184.50.370.55参

考公式：对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线ˆˆˆvau=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆˆˆ,niiiniiuvnuvavuunu==−==−−

.20.已知圆()22:212Cxy++=，动圆M过点()2,0D且与圆C相切.（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OA

PB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.21.已知函数xxaexfx−−=sin)(，曲线)(xf在))0(,0(f处的切线方程为01=−+yx.（1）求a的值，并证明：Rx,0)(xf恒成

立。（2）设函数1)()(−+=xxfxh，是判断函数)(xh在)0,(−上零点的个数，并说明理由22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为cos,sinxty==（0t，为参数）

.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()34+=．（1）当1t=时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．23．已知0a

，0b，42abab+=．（1）求ab+的最小值；（2）若2132abxx+−++对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．新建一中2021年高考押题卷（二）理科数学参考答案1.解答：联

立=−=+31yxyx解得−==112yx所以MN=)}1,2{(−，故选B2.解答：由复数与点的对应关系可知)2,1(−A，)1,3(−B，)2,1(−C，由平行四边形ABCD可知)1,2(−−=

=→→BCAD，)1,3(−=+=→→→ADOAOD，由复数与向量对应关系可知向量→OD对应的复数为i+−3，故选D3.解答：42++=xxy开口向上，且015−=，故p为真命题，当10−=x时0120

20=++xx，故q为真命题，由复合命题性质可知qp为真命题。故选B4.解答()24,32ab−=−，又向量2ab−与向量a共线，3-2l=6，解得：32=−，()22391311242b=−+−=+=.故选：B.5.解答：ab0两边分别同时乘以整

数ba,得22aabb，故A，C错误，由xy21log=单调递减知ab2121loglog，故B错误，故选择D.6.解答：对于A，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少，选项A正确；对于B，根据柱形图知

，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加，选项B正确；对于C，根据柱形图知，该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在大于20岁的人口比例增加，所以人

口的平均年龄不断增加，选项C正确；对于D，根据柱形图，不能得出该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数是增加还是减少，所以选项D错误．故选：D7.解答：由题意，函数()fx，满足2211()()()sin()sin()22fxxxxxxxfx−=−−−−=−

=，即()()fxfx−=，xR，得函数()fx是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B项；又由2111()()(1)062662626f=−=−，排除D，故可能的图象为C，故选C．8.解答：几何体直观图如图所示，故最大面为6222322121===CDACSACD

9.解答：当内角为36时，如图所示等腰三角形中=36BAC，AD为中垂线，则=18DAC,依题意，215−=ACBC，故415sin18sin−===ACDCDAC，故41518sin2136cos126sin2+=−==，故选D当内角为36

为底角时，同理可得126sin=415+10解答：由条件易知,4,12==NFMF，如图作yNNyMM⊥⊥,，xNH⊥交x轴于点K，交MM于点H，则4,12====NFNNMFMM，由相似三角形知31==MNNFM

HKF，所以314124=−−p解得6=p故选B.11.解答：设球的半径为R，则6442=R，得4=R，由8=PA知PA球的为直径，故球心O为PA的中点，ACAB⊥，所以BC的中点E是直角三角形ABC的外心，所以⊥OE平面ABC，又AE平面ABC，所以AEO

E⊥，422=+=ACABBC，221==BCAE，3222=−=AEOAOE，由因为O为PA的中点，所以832)32221(3123122====−−OESVVABCABCOABCP，故选择A12.解答：①(

)2fxx=，2()2,2,0,2fxxxxxx====有“巧值点”②()xfxe−=，(),xxxfxeee−−−=−−=无解，无“巧值点”③()lnfxx=，11(),lnfxxxx==令g(x)=lnx-1x,g(1)=-1<0,g(e)

=1-1e>0.由零点在性定理，所以在(1,)e上必有零点,f(x)有“巧值点”④()tanfxx=,2211(),tan,sincos1,coscosfxxxxxx===即sin22x=,无解，所以f(x)无“巧值点”．所以有“巧值

点”的是①③，选B.13.解答：242226621160xCCmxm−==，所以214m=，因为0m，所以12m=．14.解答：设事件A表示“甲取到的数比乙大”，设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”。则显然所要求的概率为)|(BAP。依题意可知51153)(=

=BP，709)(1151141141914=++=CCCCCABP，故149)()()|(==BPABPBAP.故答案为14915.解答：∵2cos2B+7cosB＝0，∴2（2cos2B﹣1）+7cosB＝0

，即4cos2B+7cosB﹣2＝0，解得cosB＝或﹣2（舍），由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝16+4﹣2×4×2×＝16，∴AC＝4，由余弦定理知，cosA＝＝＝．故：【答案】8716.解

答：设ABD△的垂心为H，则DHAB⊥，不妨设(0,)Db，则(,)Hxb，代入渐近线方程byxa=，解得xa=，则(,)Hab，因为直线2xa=与双曲线交于点A，B，则A，B两点的坐标分别为：(2,3)Aab，(2,3)Bab−，因为(31)(31)12ADBHbbkkaa−+=

=−−，化简可得22ab=，所以双曲线的离心率为2212cbeaa==+=，故答案为：2．17.解：（1）因为11nnaan+=++，所以213212,3,,nnaaaaaan−=+=+=+3分累加可得，21232nnnaan+=++++=．

5分（2）由（1）可知，2121122221nnnnannnn+=+=−+++，7分所以1211111122222212231nnSnn=−++−+++−++

8分1211111212222231nnn=−+−++−+++++9分112221112nn+−=−++−11分1221nn+=−+．

12分18．解：证明：（1）设BC中点为D，连结1CD，因为1C在底面ABC上的射影为BC中点，所以1CD⊥平面ABC，1分又因为1CD平面11BCCB，所以平面11BCCB⊥平面ABC，又因为平面ABC平面11BCCBBC=，ABBC⊥，所以AB⊥平面11B

CCB，3分因为1BC平面11BCCB，所以1ABBC⊥，4分又因为四边形11BCCB为菱形，所以11BCBC⊥，5分而1ABBCB=，所以1BC⊥平面1ABC

．6分（2）不妨设2BC=，则1AB=，因为1CDBC⊥，BDDC=，所以11CBCC=，又因为四边形11BCCB为菱形，所以1CCCB=，故1CBC为等边三角形，所以160BCC=，故13C

D=，由（1）知AB⊥平面11BCCB，ABBC⊥，以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz−如图，8分(0,0,0)B，(0,1,0)A，(2,0,0)C，1(1,0,3)B−，1(1,0,3)C，9

分所以1(3,0,3)CB=−，1(2,1,0),(1,1,3)ACAC=−=−，设平面11ACCA法向量为(,,)nxyz=，由100ACnACn==，可得=+−=−0302zyxyx，可设(3,23,1)n=10分设1C

B与平面11ACCA所成角为，则41432|333||||||||,cos|sin111=+−===→→→nCBnCBnCB，所以1CB与平面11ACCA所成角的正弦值为14．12分19.解

答：（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y++++++==，1分可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557iiiiizyzybzz==−−====−，3分所以501000.371

3aybz=−=−=，4分因此y关于x的回归方程为：100ˆ13yx=+，5分所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒6分（2）由题意，可得随机变量X的取值为3,4,6

,9，7分可得141(3)669APX===，1422(4)669APX===，()111142241205(6)66369AAAAPX++====，11221(9)669AAPX===，9分所以X的分布列为X3469P1929

591910分所以125150()346999999EX=+++=.12分20.【答案】（1）2213xy+=；（2）是定值，定值为32.解答：（1）因为2223CD=，所以点D在圆内.

1分又因为圆M过点D且与圆C相切，所以23MCMD=−，所以23MCMDCD+=.即点M的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.则223a=，即3a=.3分又因为222ab−=，所以21b=.故动圆圆心M的轨迹E的方程为：2213xy+=.

5分（2）当直线AB的斜率不存在时，可得直线AB的方程为32x=，此时32Ay=，所以四边形OAPB的面积32S=.6分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm=+，由22,13

ykxmxy=++=整理得，()()222316310kxkmxm+++−=.因为直线l与轨迹E相交于A，B两点，所以()()()222222361231112310kmkmkm=−+−=−+△.7分设()11,Axy，()22,Bxy，则122631kmxxk+=

−+，()21223131mxxk−=+.所以()121222231myykxxmk+=++=+.8分设AB的中点为Q，则Q的坐标为223,3311kmmkk++−.因为四边形OAPB为平行四边形，所以22622,3131kmmOPOQkk==−++，

所以点P的坐标为2262,3131kmmkk−++.又因为点Р在椭圆上，所以222262311331kmmkk−++=+.整理得，22431mk=+.10分又因为2

2222122223311113131kmABkxxkkkk−+=+−=+=+++△，原点О到直线AB的距离为21mdk=+，所以平行四边形OAPB的面积222233132312AOBmkmSSABdk−+====+.综上可知，平行四边形OAPB的面积为定值32

.12分21.解答：（1）根据题意可得1cos)(−−=xaexfx，由1)0(−=−==afk得1=a。2分所以xxexfx−−=sin)(，此时0)(xf恒成立等价于xxexsin−，因为]1,1[sin−x，故只要证1−xex。令xexg

x−=)(，则1)(−=xexg，当0x时0)(xg，当0x时0)(xg，故函数)(xg在)0,(−上单调递减，在),0(+上单调递增，所以1)0()(=gxg，当且仅当0=x时取等号。因此0sin1sin−−−xxxex，等号成立条

件不同，故0sin−−xxex,xxexsin−5分（2）根据题意可知，1sin)(−−=xexhx，xexhxcos)(−=在同一直角坐标系中作出函数xey=和xycos=的图像如下：由图可知函数xey

=和xycos=的图像恰好有一个交点，设为0x，7分且当),(0xx−，0cos)(−=xexhx，当当)0,(0xx时，0cos)(−=xexhx，故)(xh在),(0x−上单调递增，在)0,(0x上

单调递减，10分又易知01)(−=−−eh01)(−=−−eh，0)0(=h，故0)()(0max=xhxh，)(xh在)0,(−上有唯一零点。12分22．解答：（1

）直线l的直角坐标方程为03=−+yx1分曲线C上的点)sin,(cos到直线l的距离2|3)4sin(2|2|3sincos|−+=−+=d4分当1)4sin(−=+时，2232max+=d所以曲线C上的点到直线l的距离最大值为2232+

5分（2）因为曲线C上的所有点均在直线的下方，所以对R，有03sincos−+t恒成立7分即3)cos(12−+t恒成立（其中t1tan=）因此312+t9分结合0t，解得220t，即实数t的取值范围是)2

2,0(10分23．已知0a，0b，42abab+=．（1）求ab+的最小值；（2）若2132abxx+−++对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围．解答：（1）因为0a，0b，42abab+=，所以1

212ab+=，2分所以1212529()22222222abababababbaba+=++=++++=，当且仅当32a=，3b=时，取等号．故ab+的最小值为92；5分（2）因为|21

||32|abxx+−++恒成立，所以9|21||32|2xx−++，6分当12x时，921322xx−++，17210x当2132x−时，912322xx−++，2132x−

，当23x−时，92322xx−−−，112103x−−，9分实数x的取值范围是117,1010−．10分