【文档说明】河北省承德市重点高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.479 MB，由管理员店铺上传

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承德市重点高中高一联考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()1i3iz+=−，则z的虚部为（）A.2−B.1−C.2i−D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数除

法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由()1i3iz+=−，则3i12i1iz−==−+，所以z的虚部为2−．故选：A．2.下列说法中不正确的是（）A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等【

答案】B【解析】【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；单位向量是模为1的向量，C正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；

故选:B.3.在ABC中，若3,4,5ABBCAC===，则BCAC=（）A.16−B.16C.9D.0【答案】B【解析】【分析】根据题意得到ABBC⊥，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．【详解】由3,4,5ABBCAC===，则222ABBCAC+=，所以ABBC⊥，所以()221

6BCACBCABBCBCABBCBC=+=+==．故选：B．4.若π0,2，1sin3π3−=，则cos的值为（）A.2616+B.2616−C.2236+D.2236−【答案】D【解析】【分析】根据角的范围，结合同角的三角

函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为π0,2，所以,6π3π3π−−，所以2ππ22cos1sin333−=−−=，所以coscos3

3ππ=−+coscossinsin3333ππππ=−−−2211322332326−=−=.故选：D.5.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,

abc，若30a=，25b=，42A=，则此三角形解的情况为（）A.无解B.有两解C.有一解D.有无数解【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理可得5sinsin6BA=，由sinA的取值范围可求得sinB的范围，结合大边对大角可知B为锐角

的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理sinsinabAB=得：sin5sinsin6bABAa==，sin30sinsin45A，12sin22A，则5552sin12612A，552sin11212B

，ab，AB，B只能为锐角的一个值，ABC只有一个解.故选：C.6.已知ABC的三边长分别为a，3a+，6a+，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A.23B.34C.45D.38【答案】B【解析】【分析】设ABC的最小内角为，利用

正弦定理得到6cos2aa+=，再利用余弦定理得到()15cos26aa+=+，进而即可求解．【详解】设ABC的最小内角为，由正弦定理得6sinsin2aa+=，整理得6cos2aa+=，又余弦定理得()()()222

(3)(6)15cos23626aaaaaaa+++−+==+++，所以()615226aaaa++=+，解得12a=，则3cos4=．故选：B．7.已知点O是ABC所在平面内一点，若非零向量AO与向量coscosABACABBACC+共线，则（）A.O

ABOAC=B.0OAOBOC++=C.OBOC=D.0AOBC=【答案】D【解析】【分析】计算得出0coscosABACBCABBACC+=，可得出0AOBC=，即可得出结论.【详解】因为0coscoscoscosABACABBCACBCBC

BCBCABBACCABBACC+=+=−+=，所以BC与coscosABACABBACC+垂直，因为AO与coscosABACABBACC+共线，所以AOBC⊥，则0AOBC=.故ABC均无

法判断，D对.故选：D.8.将函数sin23cos2yxx=+的图象向右平移π02个单位长度后得到()fx的图象，若()fx在4ππ,3上单调递增，则的取值范围为（）A.3,88B.π,42

C.π5π,412D.ππ,42【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到()π2sin223fxx=−+，再根据正弦函数的单调性求出函数()fx的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即

可．【详解】由πsin23cos22sin23yxxx=+=+，将函数π2sin23yx=+的图象向右平移π02个单位长度后得到()fx的图象，则()()ππ2sin22sin2233fxxx=−+=−+

，由πππ2π222π232kxk−+−++，kZ，得5ππππ,1212kxkk−+++Z，又()fx在4ππ,3上单调递增，则π4ππ1235πππ12kk++

−+，kZ，解得17ππ125ππ4kk−−，即5π17πππ,412kkk−−Z，又π02，则当1k=时，π5π412，即的取值范围是π5π

,412．故选：C．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若复数z为纯虚数，则（）A.zz+为实

数B.zz−为实数C.2z为实数D.iz为实数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，设i(Rzmm=且0)m，得到izm=−，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为z为纯虚数，设i(Rzmm=且0)m，则izm=−，由0zz+=，所以A正确；由2izzm−=，所

以B错误；由22zm=−为实数，所以C正确；由iiizmm==−=为实数，所以D正确.故选：ACD.10.已知函数()tanfxx=，则下列关于函数()fx的图象与性质的叙述中，正确的有（）A.函数()fx的最小正周期为πB.函数()fx在(

)ππ,πZ2kkk+上单调递增C.函数()fx的图象关于直线π2x=对称D.π4π55ff【答案】ABC【解析】【分析】根据正切函数性质画出()tanfxx=图象，即可判

断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55ff判断D.【详解】函数()tanfxx=的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()fx最小正周期为π、()ππ,πZ2kkk+

上单调递增、图象关于直线π2x=对称，故A，B，C正确，又ππ4π4π4πππtan,tantanπtantan5555555ff===−=−=，所以π4π55ff=

，故D错误．故选：ABC.11.已知非零向量a，b满足42ab−=，则下列结论正确的是（）A.若a，b共线，则||4||2ab+=B.若ab⊥，则22164ab+=C.若22166ab+=，则44ab+=D.14ab−【答案】BD的【解析】【分析】当a，b同向时即可判断A；根据a

b⊥，有0ab=，再对42ab−=两边平方即可判断B；根据()22224421612ababab−++=+=，求解即可判断C；对42ab−=两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D．【详解】对于A，由22244816abaabb=−=−+，()22244816abaabb=+=+

+，所以当a，b同向时，88abab−=−，此时42ab+，故A错误；对于B，若ab⊥，则0ab=，42ab−=，两边平方得22164ab+=，故B正确；对于C，由()22224421612ababab−++=+=，所以2|4|8ab+=，即422a

b+=，故C错误；对于D，由222448168816abaabbababab=−=−+−−，得14ab−，故D正确．故选：BD．12.在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2(sinsin)(2sinsin)sinABBCC+=+，且3sin3A，则下列

结论正确的是（）A.coscaaC−=B.a>cC.c>aD.π3C【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦边角关系可得2222()abcbca+−=−，结合余弦定理及锐角三角形知coscaaC−=、0caa−

判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得sinsin1cosCAC=+，应用倍角公式得3tan23C，注意π02C，即可得范围判断D正误.【详解】由正弦边角关系知：2()(2)abbcc+=+，则22222aabbbcc

++=+，所以2222()abcbca+−=−，而222cos02abcCab+−=，则coscaaC−=，A正确；由上知：0caa−，即ca，B错误，C正确；由coscaaC−=知：sinsinsincosCAAC−=，则22sincossin322sintan1cos232

cos2CCCCACC===+，又π02C，故π024C，则ππ624C，即ππ32C，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：3i1i+=−___________.【答案】5【解析】【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.【

详解】()()()()3i1i3i24i12i51i1i1i2++++===+=−+−.故答案为：514.已知3a=，向量b在a上的投影向量为23a−，则=ab__________.【答案】6−【解析】【分析】设向量,ab的夹角为，根

据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．【详解】设向量,ab的夹角为，由b在a方向上的投影向量为23a−，则2cos3abaa=−，即cos23ba=−，所以()cos326abab==−=−．故答案为：6−．15.已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用

此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【答案】2π【解析】【分析】根据条件求出扇形半径r，设割出的圆半径为a，圆心为C，由rCOa=+求得a，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r，∴21π3π,3232r

r==如图：设割出的圆半径为a，圆心为C，∴2πsin6aCOa==,33rCODCa==+=，故1a=，所以最大的圆周长为2π.故答案：2π16.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为ABC的重心，OBOC⊥，34bc=，则cos

A=__________．【答案】56【解析】【分析】根据πADBADC+=及余弦定理建立方程得出2225bca+=，再由余弦定理求解即可．【详解】连接AO，延长AO交BC于D，由题意得D为BC的中点，OBO

C⊥，所以12ODBDCDa===，32ADa=，因为πADBADC+=，所以22222291914444coscos03131222222aacaabADBADCaaaa+−+−+=+=，得2225bca+=，又34bc=，则43bc=，

故2222222112243555cos2255346bcbcbcabcAbcbccb+−−+−===+=+=．为故答案为：56．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知虚数z满足5z=

.（1）求证：5izz+在复平面内对应的点在直线yx=上；（2）若z是方程2240(R)xxkk++=一个根，求k与z.【答案】（1）证明见解析（2）10k=，12iz=−【解析】【分析】（1）由题设可得5i

izzzz+=+，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数izab=+代入方程求参数即可.【小问1详解】设izab=+(,R,0)abb，由5z=，则5zz=，所以5iii(i)i()()izzzababababz+=+=++−=+++，所以5izz+在复平面内对应

的点为(,)abab++，在直线yx=上.【小问2详解】同（1）设复数i(,R,0)zababb=+，因为z是方程2240(R)xxkk++=的一个根，所以22(i)4(i)0ababk++++=，即22224(44)i0abakabb−

++++=，所以222240abak−++=且440abb+=，得1a=−，的因为225ab+=，所以2b=，把1,2ab=−=代入222240abak−++=得：10k=，所以10k=，12iz=−.18.已知函数

()sin()(0,0,0π)fxAxA=+的图象的一部分如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）当4,33x−时，求函数()(2)yfxfx=++的最值.【答案】（1）π3π()2sin44fxx=+

；（2）最小值22−；最大值6.【解析】【分析】（1）由函数()fx的图象，求得2A=，24T=，得到π()2sin4fxx=+，再由()12f−=，求得3π4=，即可得到函数()fx的解析式；（2）化简得到函数()(

2)yfxfx=++π22sin4x=−，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数()sin()(0,0,0π)fxAxA=+的图象，可得2A=，24T=，即2π8T==，所以π4=，可得π()2sin4fxx

=+，又因为()12f−=，即ππ(1)2π,42kk−+=+Z，可得3π2π,4kk=+Z，又由0π，所以3π4=，所以函数()fx的解析式为π3π()2sin44fxx=+.（2）由题意

，函数()(2)yfxfx=++π3ππ3π2sin2sin(2)4444xx=++++π3ππ3π2sin2cos4444xx=+++ππ22sinπ22sin44x

x=+=−.因为4,33x−，所以ππ3π,434x−，所以当ππ42x=，即2x=时，y取最小值22−；当ππ43x=−，即43x=−时，y取最大值6.【点睛】

本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，向量()()2,,co

s,cosmbcanAB=−=，且mn⊥.（1）求角A；（2）若ABC的周长为33，且ABC外接圆的半径为1，判断ABC的形状，并求ABC的面积.【答案】（1）π3（2）等边三角形，334【解析】【分析】（1）由mn⊥，可得2coscoscoscAaBbA=+，后由正弦定理结合()sins

inABC+=即可得答案；（2）由（1），ABC的周长为33，且ABC外接圆的半径为1，可得23bc+=，后由余弦定理可得3bc=，解出b,c即可得答案.【小问1详解】因为mn⊥，所以()2coscos

0bcAaB−+=，即2coscoscoscAaBbA=+.由正弦定理得2sincossincossincosCAABBA=+，因为()sincossincossinsinABBAABC+=+=，所以2sincossi

nCAC=.因为()0,πC，所以sin0C，所以1cos2A=.因为()0,πA，所以π3A=.【小问2详解】设ABC外接圆半径为R，则1R=.由正弦定理，得2sin3aRA==.因为ABC的周长为33，所以23bc+=.由余弦定理，得22222cos()33abcb

cbcbc=+−=+−，即3123bc=−，所以3bc=.则2333bcbcbc+====.所以ABC为等边三角形，ABC的面积11333sin32224SbcA===.20.已知向量a，b满足||2a=，(2)(2)12abab−+=−，23ab=．（1）求向量a与b的夹

角；（2）求|3|ab−．【答案】（1）6（2）2【解析】【分析】（1）由(2)(2)12abab−+=−，||2a=，解得||2b=，再由向量的数量积，即可得出答案．（2）22|3|(3)abab−=−，由向量的数量积，即可得出答案．【小问1详解】解：因为(2)(2)12abab−

+=−，所以22||4||12ab−=−，因为||2a=，所以244||12b−=−，解得||2b=．而23ab=，所以233cos222||||abab===，的又[0,]，所以6=．【小问2详解】解

：因为||2a=，||2b=，23ab=所以()2222|3|3||233||42323344ababaabb−−=−=+=−+=，所以|3|2ab−=．21.2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区

中的网红景点的路线图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/mi

n.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，索道AB长为1040m，经测量，123cos,cos135AC==.（1

）求山路AC的长；（2）乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【答案】（1）1260m（2）当()35min37t=时，甲､乙两游客距离最短【解析】【分析】（1）利用123cos,cos135AC==，可得sin,sinCB，后由正弦定理可得答案；（2

）假设乙出发t分钟后，甲在D点，乙在E点.由图，题意，余弦定理可得()22200377050DEtt=−+，即可得答案.【小问1详解】在ABC中，因为123cos,cos135AC==，所以54sin,sin135AC==.从而()()5312463sins

inπsinsincoscossin13513565BACACACAC=−+=+=+=+=.由正弦定理sinsinABACCB=，得()104063sin1260m4sin655ABACBC===.所以山路AC的长为1260m；【小问2详解】假设乙出发t分钟后，

甲在D点，乙在E点.此时，()10050mADt=+，130mAEt=，所以由余弦定理得()()222212(10050)(130)21301005020037705013DEtttttt=++−+=−+2351250007400

3737t=−+.因为10400130t，即08t，故当()35min37t=时，甲､乙两游客距离最短.22.已知圆O的半径为2，圆O与正ABC的各边相切，动点Q在圆O上，点P满足2AOAQAP+=.（1）求222PAPBPC++的值；（2）若存在(

),0,xy+，使得CPxPAyPB=+，求xy+的最大值.【答案】（1）51（2）5【解析】【分析】（1）方法1，由题可得O为正三角形ABC中心，则0OAOBOC++=，||||||4OAOBOC===，又由2AOAQAP+=，可得||

1OP=，后注意到222222()()()PAPBPCPOOAPOOBPOOC++=+++++即可得答案；方法2，以点O为坐标原点，直线OA为y轴，过点O与直线OA垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设()cos,sinP，则可得22222cos(4sin)PAPBPC++=+−

22(23cos)(2sin)++++22(23cos)(2sin)+−++，化简后可得答案；（2）方法1，由CPxPAyPB=+，可得()()()111xyPOxOAyOB++=−+−，平方后结合（1）可得()215()1848150xyxyxy+−+−+=，后由基

本不等式可将其化为()2()650xyxy+−++，即可得答案；方法2，由（1）结合CPxPAyPB=+，可得()231422cos,sin11yxyxyxy−−−==++++，则()22221661055cossinxyxyxyθθ++−−

++==.后由基本不等式可将其化为()2()650xyxy+−++，即可得答案.【小问1详解】方法1，由题意知120,0AOBBOCAOCOAOBOC===++=，且||||||4OAOBO

C===，44cos1208OAOBOAOCOBOC====−，2,AOAQAPAOAPAPAQ+=−=−，POQPP=为OQ的中点.||2,||1OQOP==，222222()()()PAPBPCPOOAPOOBPOOC++=+++++()222232POPOOA

POOBPOOCOAOBOC=++++++()222232POOAOBOCPOOAOBOC=++++++31616162051PO=++++=；方法2，如图，以点O为坐标原点，直线OA为y轴，过点O与直线OA垂直的直线为x轴建立直角坐标系，则()()()0,4,23,

2,23,2ABC−−−.由2AOAQAP+=得()2AOAOOQAOOP++=+，所以2OQOP=.||2,||1OQOP==，设()cos,sinP，则()cos,4sin,PA=−−()()23cos,2sin,23c

os,2sinPBPC=−−−−=−−−.则22222cos(4sin)PAPBPC++=+−22(23cos)(2sin)++++22(23cos)(2sin)+−++()223cossin4851=++=；【小问2详解】方法1，,C

PxPAyPB=+()()COOPxPOOAyPOOB+=+++0∵++=OAOBOC，OPPO=−，()()()111xyPOxOAyOB++=−+−.两边平方得：()()222222(1)(1)(1)211xyxOAyOBxyOAOBOP++=−+−+−−，由（1）得8OAOB=−，则

()215()1848150xyxyxy+−+−+=.()22215()1815484812()2xyxyxyxyxy++−++==+（当且仅当xy=时取“=”号），整理得()2()65015xyxyxy+−+

++，即xy+的最大值为5；方法2，由（1）()()cos,4sin,23cos,2sin,PAPB=−−=−−−−()23cos,2sinPC=−−−，又CPxPAyPB=+，则()()()cos23cos23cos23cosxyyxy−=−+

−−=−−+，()()()2sin4sin2sin42sinxyxyxy+=−+−−=−−+.可得()231422cos,sin11yxyxyxy−−−==++++.则()22221661055cos

sinxyxyxyθθ++−−++==，整理得()222616164()1()55525xyxyxyxyxy++−++==+（当且仅当xy=时等号成立），整理得()2()650xyxy+−++，解得15xy+.所以xy+的最大值为5..获得更多资源

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