【文档说明】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考数学（理）试题含答案byde.doc，共(12)页，1.047 MB，由小赞的店铺上传

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景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．若集合2=xxM，02−=xx

xN，则=NM（）.A]1,0[.B]2,0[.C)2,1[.D]2,(−2．复数ii−−232等于（）.Ai5754−.Bi5457−.Ci5457+.Di5754+3.已知2=a,3=b,1)(−=−

aba,则向量a与b的夹角是（）.A6.B4.C3.D24.已知函数)0(1)(2++−=xexexfx,则函数)(xf在1=x处的切线方程为（）.A01=−+−eyex.B0=+yx.C0=−yx.D01

=−++eyex5.按右图所示的程序框图运算,若输入200=x,则输出k的值是（）.A2.B3.C4.D56.设随机变量服从正态分布)1,0(N，若pP=)1(，则)01(−P等于（）.Ap+21.Bp−21.Cp21−.Dp−17.在63)1(x+的展开式中，x的系数等于（）.A

6.B10.C15.D208.−−11)sin1(dxx的值为（）.A1cos22+.B1cos22−.C2.D09.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成

，不同的安排方案共有（）（第5题）输入x0=k12+=xx1+=kk输出x，k?2012x否是结束开始.A8种.B9种.C10种.D12种10.已知函数xxxxf2sin2)2cos2(sin)(22−+=的图象向左平移8个单位后得到函数)(xgy=的图象,以下关于函数)(xg

的判断正确的是（）.A点)0,163(为函数)(xg图象的一个对称中心.B16=x为函数)(xg图象的一条对称轴.C函数)(xg在区间)163,0(上单调递减.D函数)(xg在区间)0,8(−上单调递减11.已知定义域为R上的函数)(xf既是奇函数又是周期为3的周期函数，当

)23,0(x时xxfsin)(=,则函数)(xf在区间]6,0[上的零点个数是（）.A3.B5.C7.D912.已知双曲线122=−byax)0,0(ba的左、右焦点21,FF,c是半焦距,P是双曲线上异于实轴端点的点

,满足21tanFPFc=12tanFPFa,则双曲线的离心率e的取值范围是（）.A)31,21(++.B),21(++.C)21,2(+.D)21,1(+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设变量yx,满足约束条件+−100yyxyx，则

目标函数yxz3+=的最大值是.14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正(主)视图和侧视图如右图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的体积是.15.角的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合且终边过两直线xyl2:1=与

03:2=−+yxl的交点P,则=2sin.16.某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这

3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是．111三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成

为等比数列nb中的3b、4b、5b.（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）数列nb的前n项和为nS，求证：数列+45nS是等比数列.18.(本小题满分12分)在ABC中，cba,,分别为内角CBA

,,的对边，且)cos(2CB−1sinsin4−=CB.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若3=a，312sin=B，求b.19.(本小题满分12分)已知矩形ABCD，⊥PA面ABCD，NM,分别是PCAB,的中点，设6=AB，4==BCPA.（Ⅰ）证明：ABMN⊥；（Ⅱ）求二面角A

CDP−−的大小.PABCDMN20.(本小题满分12分)张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有1L,2L两条路线(如图),1L路线上有1A,2A,3A三个路口,各路口遇到红灯的均为21；2L上有1B,2B两个路口,各路口遇到红灯

的概率依次为43,53.(1)若走1L路线,求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走2L路线,求多遇到红灯的次数X的数学期望.21.(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+byaxC)0(ba的右顶点A)0,2(,离心率为23,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知P(

异于点A)为椭圆C上一个动点,过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点DE,,求APDE的取值范围.H1A2A3A1B2BC22.(本小题满分12分)已知函数xaxxfln1)(+=),0(Raa（Ⅰ）若1=a,求函数)(x

f的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间],0[e上至少存在一点0x,使得0)(0xf成立,求实数a的取值范围.数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1A2B3A4A5C6B7D8C9D10C11D12B二、填空题（每小题5分，共20分）13．414.65515.5416

.600三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解:(1)设成等差数列的三个数分别为da−,d,da+依题意得:5−=a………（1分）所以数列nb中的3b、4b、5b依次为d−7,10,d+18,由)7(d−100)18(=+d,…………………………………………………………………（2分）

解得2=d或13−=d(舍),…………………………………………………………………（3分）故数列nb53=b公比为2=q……………………………………………………………（4分）由213qbb=得451=b,………………………………………………………………………（5分）所以3125245−−==

nnnb.……………………………………………………………………（6分）(2)由(1)知数列nb的前n项和452521)21(452−=−−=−nnnS,即22545−=+nnS,…………………………………………………………………………（7分）所以2545

1=+S.…………………………………………………………………………（8分）因为225254545211==++−−+nnnnSS,……………………………………………………………………（9分）所以数列+45nS是以45为

首项,公比为2的等比数列.…………………………………（10分）18.解：（1）因为1sinsin4)cos(2−=−CBCB,……………………………………………（1分）所以1sinsin4sinsin2coscos2−=+CBCBCB,…………………………………………（2分）即1)sins

incos(cos2−=−CBCB,……………………………………………………………（3分）得21)cos(−=+CB，………………………………………………………………………（4分）因为+CB0，所以32=+CB,…………………………………………………………（5分）所以3

=A.…………………………………………………………………………………（6分）（2）由B0，所以3222cos312sin==BB，…………………………………………（8分）所以9242cos2sin2sin==BBB，……………………………………………………………（10分）因为AaBbsi

nsin=，…………………………………………………………………………（11分）所以968sinsin==ABab.…………………………………………………………………………（12分）19.解法一:(1)如图连接AC,BD交于点O,因为ABCD是矩形,所以O是AC与BD的中点,再连NO,MO.…（2

分）因为NM,分别是PCAB,的中点，所以BCMOPAON//,//,所以MOAB⊥.………………………………………（3分）又因为⊥PA面ABCD,所以⊥NO面ABCD,ABNO⊥.…………………………………………(4分）又因为MO面MNO,NO面M

NO,所以⊥AB面MNO,…………（5分）而MN面MNO,所以MNAB⊥.………………（6分）(2)因为⊥PA面ABCD且ABCD是矩形,所以由三垂线定理知CDPD⊥,PABCDMNO所以PDA就是二面角ACDP−−的平面角,………………………………………………（9分）因为4==BCPA且

ADPA⊥所以45=PDA,……………………………………………（11分）故二面角ACDP−−的平面角为45.…………（12分）解法二:(1)证明:如图,以A为原点,分别以APADAB,,为zyx,,轴建立平面直角坐标系,（1分）则)0,0,0(A,)0,0

,6(B,)0,4,6(C,)0,4,0(D,)0,0,3(M,)2,2,3(N,)4,0,0(P,……（3分）)0,0,6(=AB,)2,2,0(=MN，…………….（4分）MNABMNAB⊥=0.…………（6分）(2

)由(1)知)0,4,6(=AC,)0,4,0(=AD,)4,4,6(−=PC，)4,4,0(−=PD，……………（7分）可知平面ACD的法向量为)1,0,0(=m，…………………………………………………（8分）设平面PCD的法向量为),

,(zyxn=,则==00nPDnPC=−=−+0440446zyzyx，解得)1,1,0(=m.……………………………………（10分）设二面角ACDP−−的平面角为，则22cos==nmnm，……………………………………………………（11分）

故二面角ACDP−−的平面角为45.………………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）设走1L路线最多遇到1次红灯为事件A，则()21212121213303=+=CCAP.……………………………………………(5分)（Ⅱ）依题意，X的可能取值为2,1,

0.………………………………………………(6分)PABCDMNxyz()3310114510PX==−−=，()33339111454520PX==−+−=，()20953432==

=XP.………………………………………………………………(9分)随机变量X的分布列为：…………………………………(10分)1992701210202020EX=++=.…………………………………………………………(12分)21．解：（Ⅰ）因为()2,0A是椭

圆C的右顶点，所以2a=.又32ca=，得3c=.所以222431bac=−=−=.所以椭圆C的方程为2214xy+=.………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，

4AP=，DE为椭圆C的短轴，则2DE=.所以12DEAP=.…………………………………………………………………………（6分）当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为()2ykx=−，()00,P

xy，则直线DE的方程为1yxk=−.…………………………………………………(7分)由()222,1,4ykxxy=−+=得()224240xkx+−−=，即()222214161640kxkxk+−+−=，所以20216241kxk+=+，所以2028241kx

k−=+.……………………………………（8分）所以()()()()22220002012APxykx=−+−=+−，即224141kAPk+=+.同理可得22144kDEk+=+.X012P110920920所以2222221441441441kDEkkAPkkk+++==+++.

………………………………………………（10分）设24tk=+，则224kt=−，2t.()22441415154tDEttAPttt−+−===−()2t.令()()1542gtttt=−，所以()gt是一个增函数，所以24154415122DEtAPt−−==.

综上，DEAP的取值范围是1,2+.………………………………………………（12分）22.解：（1）因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，……………………………………（2分）当1a=时，()'21xfxx−=，令()'0fx=，得1x=，……

………………………（3分）又()fx的定义域为()0,+，()'fx，()fx随x的变化情况如下表:x()0,11()1,+()'fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以1x=时，()fx取得极小值为1.()fx

的单调递增区间为()1,+，单调递减区间为()0,1.……………………………………（5分）（2）因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，………………………………………（6分）且0a.令()'0fx=，得1xa=，若在区间(0,e上存在一点0

x，使得()00fx成立，其充要条件是()fx在区间(0,e上的最小值小于0即可.…………………………（7分）()i当10xa=，即0a时，()'0fx对()0,x+成立，所以，()fx在区间(0,e上单调递减，故()fx在区间(0,e上的最小值为()11l

nfeaeaee=+=+，由10ae+，得1ae−，即1,ae−−.…………………………………………（9分）()ii当10xa=，即0a时，○1若1ea，则()'0fx对(0,xe成立，所以()fx在

区间(0,e上单调递减，所以，()fx在区间(0,e上的最小值为()11ln0feaeaee=+=+，显然，()fx在区间(0,e上的最小值小于0不成立.………………………………（10分）○2

若10ea，即1ae时，则有x10,a1a1,a+()'fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以()fx在区间(0,e上的最小值为11lnfaaaa=+.由()11ln1ln0faaaaaa=+

=−，得1ln0a−，解得ae，即(),ae+.…………………………………………(11分)综上，由()i()ii可知a()1,,ee−−+符合题意.……………………………(12分)请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评

分标准酌情给分.