【文档说明】【精准解析】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题.doc，共(21)页，1.663 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1.若集合{|2}Mxx=，{|01}Nxx=，则MN=（）A.[0,1]B.[0,2]C.[1,2)D.(,2]−【答案】A【解析】【分析】直接根据集合的交集的定义

进行运算，可得答案.【详解】因为{|2}Mxx=，{|01}Nxx=，所以MN={|01}xx.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.复数232ii−−等于（）A.4755i−B.7455i−

C.7455i+D.4755i+【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则可得答案.【详解】232ii−−(23)(2)(2)(2)iiii−+==−+745i−7455i=−.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，属于基础题.3.已知2,3ab==，()1aba−=−，则向量

a与b的夹角是（）A.6B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】化简整理()1aba−=−求出3ab=，再根据夹角公式求解即可.【详解】解：因为()1aba−=−，所以1abaa−=−，又2,3ab==，所以4aa=所以3ab=结合向量的夹角公式有：cos,2333

2ababab===，据此可得：向量a与b的夹角为6.故选：A【点睛】考查向量的运算以及用夹角公式求向量的夹角；基础题.4.已知函数()()210xfxeexx=−++，则函数()fx在1x=处的切线方程为（）A.10exye−+−=B.0xy+=C.0xy−=D.10e

xye++−=【答案】A【解析】【分析】求得函数()yfx=的导数()fx，求出()1f和()1f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()()210xfxeexx=−++，()2xfxexe=−，则()11f=，()1fe=，因此，函数()yfx=

在1x=处的切线方程为()11yex−=−，即10exye−+−=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.5.按如图所示的程序框图运算，若输入200x=，则输出k的

值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】依次列出每次循环的结果即可.【详解】依题意，执行题中的程序框图，当输入200x=时，进行第一次循环，401x=，1k=，不满足2012x进行

第二次循环，803x=，2k=，不满足2012x进行第三次循环，1607x=，3k=，不满足2012x进行第四次循环，3215x=，4k=，满足2012x，结束循环，输出4k=故选：C【点睛】本题考查的是程序框图的循环结

构，较简单.6.设随机变量服从正态分布(0,1)N，若(1)Pp=，则(10)P−=（）A.12p+B.1p−C.12p−D.12p−【答案】C【解析】随机变量服从正态分布(0,1)N，(1)(1)PPp−==.11(10)[12(1)]22

PPp−=−=−7.在()631x+的展开式中，x的系数等于（）A.6B.10C.15D.20【答案】D【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为1，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】()631x+的展开式通项为(

)33166rrrrrTCxCx+==，令13r=，得3r=.因此，在()631x+的展开式中，x的系数等于3620C=.故选：D.【点睛】本题考查二项式中指定项的系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.8.11(1sin)xdx−−的值为（）A.22co

s1+B.22cos1−C.2D.0【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，直接计算，即可得到结果.【详解】()()()1111(1sin)cos1cos11cos12xdxxx−−−=+=+−−+=.故选：C.【点睛】本题主要考查求定积分，熟记

微积分基本定理即可，属于基础题型.9.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A.12种B.10种C.9种D.8种【

答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有122C=种选法；第二步，为甲地选两个学生，有246C=种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有26112=种，故选A．考点：排列组合的应用．10.已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxx

xx=+−的图象向左平移8个单位后得到函数()ygx=的图象，以下关于函数()gx的判断正确的是（）A.点3,016为函数()gx图象的一个对称中心B.16x=为函数()gx图象的一条对称轴C.函数()gx在区间30,16

上单调递减D.函数()gx在区间,08−上单调递减【答案】C【解析】【分析】先化简()fx，然后根据图象变换求出()gx的解析式，结合解析式逐项判断.【详解】222()(sin2cos2)2sin21sin42sin2fxxxxxx=+−=

+−cos4sin42sin(4)4xxx=+=+，()32sin[4()]2sin(4)844gxxx=++=+；因为316x=时，33()2sin2162g==−，显然3,016不是函数()gx图象的一个对称中

心，所以A错误；因为16x=时，()2sin016g==，显然16x=不是函数()gx图象的一条对称轴，所以B错误；因为30,16x时，3334,442x+，而333,,4222，所以

C正确；因为,08x−时，334,444x+，而3,244，所以D错误；故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，把函数解析式化简为最简形式是求解这类问题的通法，侧重考查数学运算的核心素养

.11.已知定义域为R上的函数()fx既是奇函数又是周期为3的周期函数，当30,2x时，()sinfxx=，则函数()fx在区间[0,6]上的零点个数是（）A.3B.5C.7D.9【答案】D【解析】

【分析】根据当30,2x时，()sinfxx=，令()0fx=，求得根，再结合奇函数，求出一个周期33,22−上的零点，然后根据周期性得到区间[0,6]上的零点即可.【详解】因为当30,2x时，()sinfxx=，令()0

fx=，解得1x=，又因为()fx是以3为周期的周期函数，所以(3)()fxfx+=，有33()()22ff−=，又因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以333()()()222fff−==−，所以3()02f=，所以在区间33,22−上有33

(1)(1)()()022ffff−==−==，且(0)0f=，因为()fx是以3为周期的周期函数，所以方程()0fx=在区间[0,6]上的零点是：0，1，32，2，3，4，92，5，6，共9个，故选：D【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综

合应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点12,FF，c是半焦距，P是双曲线上异于实轴端点的点，满足1221tantancPFFaPFF=，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.(12,13)++B.(12,

)++C.(2,12)+D.(1,12)+【答案】B【解析】【分析】根据1221tantancPFFaPFF=，得到2112tantanPFFceaPFF==，设()Pmn,，由()()12,0,,0FcFc−，利用直线的斜率公式得到2112tan21tanPFFcePFFmc==

−−−，结合ma，解不等式即可.【详解】因为1221tantancPFFaPFF=，所以2112tantanPFFceaPFF==，设()Pmn,，()()12,0,,0FcFc−，所以2112tan++21tanPFFnmcmccePFFm

cnmcmc==−=−=−−−−−，因为ma，所以2221111ccemcace−−−−+=−+−−−，所以211eee+−，即2210ee−−，解得12e+.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的取值范围以及斜率

公式，还考查了化简运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量,xy满足约束条件001xyxyy−+，则目标函数3zxy=+的最大值为_______.【答案】4【解析】【分析】作出可

行域，平移目标函数1133yxz=−+，其截距最大时，3zxy=+有最大值.【详解】解：作出可行域如图：由01xyy−==解得11A（，），由3zxy=+得1133yxz=−+，平移直线13yx=−，结合图像知，直线过点A时，max4z=，故答案为：4.【点睛】考查线性规划中求目标函数的最大

值，其关键是平移目标函数，结合图像即可求解；基础题.14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正（主）视图和侧视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的体积是_______．【答案】556【解析】【分析】由已知的正视图，我们可得该四棱柱的底面棱长和高，进而求出底面外接圆半径r

及球半径R，最后依据球的体积公式求出球的体积．【详解】解：由已知底面是正方形的直四棱柱的正视图和侧视图，我们可得该正四棱柱的底面边长为2，高为1．球半径()()()222222215R=++=，所以52R=该球的

体积33255644533RV===故答案为：556．【点睛】本题考查多面体的外接球，球的体积的计算，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．15.角的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合且终边过两直线12:lyx=与2:30lxy+−=的

交点P，则sin2=________．【答案】45【解析】【分析】由直线方程得出点P的坐标，再由三角函数的定义以及倍角公式，即可得出答案.【详解】由320yxxy+=−=，得出(1,2)P由三角函数的定义可知，2222sin512==+，2211cos512==+则214

sin22sincos2555===故答案为：45【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及倍角公式，属于中档题.16.13.某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生

的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____.【答案】600【解析】【分析】首先计算成绩小于60的三个小矩形的面积

之和，即成绩小于60的学生的频率，再乘以3000即可．【详解】解：由频率分布直方图成绩小于60的学生的频率为10（0.002+0.006+0.012）＝0.2，所以成绩小于60分的学生数是3000×0.2＝600故答案为600【点睛】本题考查频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布，考

查识图能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+}是等

比数列．【答案】（Ⅰ）15·24nnb−=（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（I）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式；（II）根据（

I）及等比数列的前n项和公式可求nS，要证数列54nS+是等比数列⇔154054nnSqS++=+即可【详解】（I）设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d依题意，得a﹣d+a+a+d=15，解得a=5所以{bn}中的依次为7﹣d，10，18+d依题意，有（7﹣d）（18

+d）=100，解得d=2或d=﹣13（舍去）故{bn}的第3项为5，公比为2由b3=b1•22，即5=4b1，解得所以{bn}是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（II）数列{bn}的前和即，所以，

因此{}是以为首项，公比为2的等比数列18.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，且2cos()4sinsin1BCBC−=−.（1）求A；（2）若13,sin23Ba==，求b.【答案】（1）3;（2）869b=．【解析】【分析】(1)由已知

利用两角和的余弦公式展开整理,1cos()2BC+=−.可求BC+,进而可求A；(2)由1sin23B=,可求22cos23B=,代入sin2sincos22BBB=可求B,然后由正弦定理sinsinbaBA=,可求b.【详解】(1)由2cos()4sinsin1BCBC−=−得

,2(coscossinsin)4sinsin1BCBCBC+−=−,即2(coscossinsin)1BCBC−=−.从而2cos()1BC+=−,得1cos()2BC+=−，0BC+，23BC+=,故3A=(2)由题意可得203B,023B,由1sin23B

=,得22cos23B=,42sin2sincos229BBB==，由正弦定理可得3,sinsin42392babBA==，解得869b=.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用

法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19.已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，,MN分别是,ABPC的中

点，设6AB=，C4PAB==．（1）证明：MNAB⊥；（2）求二面角PCDA−−的大小．【答案】（1）见解析；（2）45．【解析】【分析】解法一（1）接AC，BD交于点O，连NO，MO，可得ABMO⊥，NOAB⊥，可得AB⊥面MNO，从而可证明结论

.（2）根据条件，PA⊥面ABCD,则PACD⊥，又ABCD是矩形，则ADCD⊥，可得CD⊥面APD,所以PDCD⊥，所以PDA就是二面角PCDA−−的平面角，再根据C4PAB==，可求得答案.解法二，建系（1）利用空间向量数量积计算证明，（2）先求两平面法向量，再根据法向量夹角与

二面角关系得结果.【详解】（1）如图连接AC，BD交于点O，因为ABCD是矩形，所以O是AC与BD的中点，再连NO，MO．因为,MN分别是,ABPC的中点，所以//,//ONPAMOBC，所以ABMO⊥．又因为PA⊥面ABCD，所以NO⊥面ABCD，NOAB⊥．又因为MO面MNO，NO面

MNO，所以AB⊥面MNO，而MN面MNO，所以ABMN⊥．（2）因为PA⊥面ABCD,则PACD⊥ABCD是矩形，则ADCD⊥,又ADAPA=所以CD⊥面APD,所以PDCD⊥所以PDA就是二面角PCDA−−的平面角，因为4PABC==且PAAD⊥所以4

5PDA=，故二面角PCDA−−的平面角为45．解法二：（1）证明：如图，以A为原点，分别以,,ABADAP为,,xyz轴建立平面直角坐标系，则(0,0,0)A，(6,0,0)B，(6,4,0)C，(0,4,0)D，(3,0,0)M，(3,2,2)N

，(0,0,4)P，(6,0,0)AB=，(0,2,2)MN=，0ABMNABMN=⊥．（2）由（1）知(6,4,0)AC=，(0,4,0)AD=，(6,4,4)PC=−，(0,4,4)PD=−，可知平面ACD的法向量为(0,0,1)m=，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则00

PCnPDn==6440440xyzyz+−=−=，解得(0,1,1)m=．设二面角PCDA−−的平面角为，则2cos2mnmn==，故二面角PCDA−−的平面角为45．【点睛】本题考查证明

线线垂直和求二面角的大小，垂直的证明可以用向量法来处理，二面角的求法常用定义法和向量法，属于基础题.20.张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有1L，2L两条路线（如图），1L路线上有1A，2A，3A三个路口，各路口遇到红灯的均为12；2L上有1B，2B

两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（1）若走1L路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走2L路线，求他遇到红灯的次数X的数学期望【答案】（1）12；（2）2720EX=.【解析】【分析】（1）根据题意，设走1L路线最多遇到1次红灯为事件A，利用排列组合知识能

求出；（2）根据题意，X的可能取值为0,1,2，再分别求出其概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望.【详解】（1）设走1L路线最多遇到1次红灯为事件A，则()32013311112222PACC=+=．（2）依题意，X的可能取值为0,1,2，则()33101

14510PX==−−=，()33339111454520PX==−+−=，()33924520PX===．随机变量X的分布列为：X012P1109209201992701210202020EX=++=．【点睛】本

题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.21.已知椭圆:C22221(0)xyabab+=的右顶点()2,0A，离心率为32，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆

C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点,ED，求DEAP的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）1,2+.【解析】【分析】（1）由椭圆右顶点求出a，由离心率求出c，再由222b

ac=−求出b，从而求出椭圆方程；（2）先考虑AP斜率不存在，再考虑斜率存在时，设出AP方程，联立椭圆方程，解出点P坐标，然后求出AP长度，同理求出DE长度，从而求出DEAP比值，用换元法结合单调性求出其范围.【详解】解：（Ⅰ）因为()2,0A是椭圆C

的右顶点，所以2a=.又32ca=，所以3c=.所以222431bac=−=−=.所以椭圆C的方程为2214xy+=（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，4AP=，DE为椭圆C的短轴，则2DE=，所以12DEAP=.当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的

方程为()2ykx=−，()00,Pxy，则直线DE的方程为1yxk=−.由()222,14ykxxy=−+=得()222214161640kxkxk+−+−=.所以202162.41kxk+=+所以20282.41kxk−=+所以()()()()22222000241201

241kAPxykxk+=−+−=+−=+..同理可求22144kDEk+=+.所以设24,tk=+则224kt=−，2t.()22441415(2).tDEttAPtt−+−==令()2415(2)tgttt−

=，则()22415'0tgtt+=.所以()gt是一个增函数.所以24154415122DEtAPt−−==.综上：DEAP的取值范围为1,2+.【点睛】本题考查了椭圆的离心率与标准方程，直线与椭圆的位置关心，弦长公式与最值

，属于中档题.22.已知函数1()ln(0,)fxaxaaRx=+．（1）若1a=，求函数()fx的极值和单调区间；（2）若在区间(0,e上至少存在一点0x，使得()00fx成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）()f

x取得极小值为1，()fx的单调递增区间为(1,)+，单调递减区间为(0,1)；（2）a()1,,ee−−+.【解析】【分析】（1）求函数()1lnfxxx=+的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数()fx的导数和驻

点，然后列表讨论，求函数()fx的单调区间和极值；（2）若在区间(0,e上存在一点0x，使得()00fx成立，其充要条件是()fx在区间(0,e上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在区间(0,e上的最小值，先求出导函数()fx，然后讨

论研究函数在(0,e上的单调性，将()fx的极值点与区间(0,e的端点比较，确定其最小的极值点．【详解】解：1()ln(0,)fxaxaaRx=+的定义域为(0,)+，因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，（1）当1a=时，()'21

xfxx−=，令()'0fx=，得1x=，又()fx的定义域为()0,+，()'fx，()fx随x的变化情况如下表:x()0,11()1,+()'fx−0+单调递减极小值单调递增所以1x=时，()fx取得极小值为1．()fx的单调递增区间为(

1,)+，单调递减区间为(0,1)．（2）因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，且0a．令()'0fx=，得1xa=，若在区间(0,e上存在一点0x，使得()00fx成立，其充要条件是()fx在区间(

0,e上的最小值小于0即可．()i当10xa=，即0a时，()'0fx对()0,x+成立，所以，()fx在区间(0,e上单调递减，故()fx在区间(0,e上的最小值为()11lnfeaeaee=+=+，由10ae+，得1ae−，即1,ae−

−．()ii当10xa=，即0a时，若1ea，则()'0fx对(0,xe成立，所以()fx在区间(0,e上单调递减，所以，()fx在区间(0,e上的最小值为()11ln0feaeaee=+=+，显然，()fx在区间(0,e上的最小值小于0不成立

．若10ea，即1ae时，则有x10,a1a1,a+()'fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以()fx在区间(0,e上的最小值为11lnfaaaa=+．由()11ln1ln0faaaaaa=+=−，得1

ln0a−，解得ae，即(),ae+．综上，由()i()ii可知a()1,,ee−−+符合题意．【点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函

数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．