【文档说明】辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期5月期中联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(22)页，970.054 KB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列na的前n项和为nS

，若11a=，33a=，则4S=（）A.12B.10C.8D.62.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程11ybxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点()10,32，根据剩下的数据得到回归直线方程22ybxa=+，相关系数

为2r．则（）A.1201rrB.2101rrC.1210rr−D.2110rr−3.下列求导运算中错误的是（）A.(3)3ln3xx=B.2ln1lnxxxx−=C()1ln1xaa+=+D.(sincos)c

os2xxx=4.下列说法正确的是（）A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到24.712=，根据小概率值0.05=的独立性检验()0.053.841x=，可

判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05C.“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件D.若随机变量，满足32=−，则()3()2DD=−5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下

第二十六.题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列na，记数列na的前n项和为nS，则260nSn+的最小值为（）A60B.61C.75D

.766.若点P是曲线2ln1yxx=−+上任意一点，则点P到直线2yx=−的最小距离为（）A.1B.22C.22D.3227.下列说法错误的是（）A.若随机变量()22,XN，则()122PX=B.若随机变量Y服从两点分布，且()12EY=，则()21DY=C.若随机变量Z的分布列为(

)2,1,0,1,2iPZiia+===−，则10a=D.若随机变量18,3TB，则T的分布列中最大的只有()3PT=8.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开

始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列na说法正确的是（）A.14233a=B.2024a是偶数C.20241232022aaaaa=+++

+D.2020202420223aaa+=二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列na的前n项和是nS，则下列说法正确的是（）A.若21nSn=−，则na是等差数列B

.若12a=，123nnaa+=+，则3na+是等比数列C.若na是等差数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等差数列.D.若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列，10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个

三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以1A，2A和3A表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的

产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（）A.()2755PB=；B.()1611PBA=；C.事件B与事件1A相互独立；D.1A，2A，3A是两两互斥事件．11.设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，20

2420231aa，()()20242023110aa−−，则下列选项正确的是（）A.01qB.202320241SS−C.2024T是数列nT中的最大项D.40451T三、填空题：本

题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列na中，32a=，718a=，则5a=______.13.设函数()yfx=是()yfx=的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320axbxdafxcx=+++的图像都有对称中心()()00,

xfx，其中0x满足()00fx=.已知三次函数()321fxxx=+−，若120xx+=，则()()12fxfx+=___________.14.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时

检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记nS为等差数列na的前n项和，已知7315aS==．（1）求

na的通项公式；（2）记1nnabS=，求数列nb的前n项和nT．16.已知函数()32fxxaxb=−+（a，bR）的图象过点()2,4，且()11f=．（1）求a，b的值；的（2）求曲线()yfx=过点()0,1−的切线方程．17.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准

备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额ix和年收入的附加额iy进行研究，得到相关数据如下：年份2017201820

192020202120222023投入额ix103040608090110年收入附加额iy3.204.004.806.007．307.309.25（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上

面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望．参考数据：712976iiixy==，7142liy==，72132800iix==．附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()112221nniiiiiinniiiixxyyxynxy

bxxxnx===−−−==−−，aybx=−$$．18.某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：)40,50，)50,60，)60,70，…，

90,100，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数x，近似为样本的标准差s，并已求得14.31s=．若A市

恰有2万名5G手机用的户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间56.19,99.12的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一

轮抽奖相互独立，中奖率均为12．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．①求小王获得900元话费的概率；②求小王所获话费总额X数学期望（结果精确到0.01）．参考数据：若随机变量z服从正态分布

()2,N，即()2~,zN，则()0.6827Pz−+，()220.9545Pz−+．19.设数列na的前n项和为nS，23nnSa+=，*nN，数列nb满足：对于任意的*nN，都有11213211333nnn

nnababababn−−−++++=+−成立.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nb的通项公式；（3）设数列nnncab=，问：数列nc中是否存在三项，使得它们构成等差数列

？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.的2023-2024学年度（下）七校协作体高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列na的前n项和为nS，若11a=，3

3a=，则4S=（）A.12B.10C.8D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得1d=，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d，因为11a=，33a=，可得11123

aad=+=，解得11ad==，所以41434102Sad=+=.故选：B.2.相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程11ybxa=+，相关系数为1r；方案二：剔除点(

)10,32，根据剩下的数据得到回归直线方程22ybxa=+，相关系数为2r．则（）A.1201rrB.2101rrC.1210rr−D.2110rr−【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有

线性相关，以及负相关的意义作判断即可．【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以120,0rr．因为剔除点()10,32后，剩下点的数据更具有线性相关性，2r更接近1，所以2110rr−．故选：D．3.下列求导运算中错误的是（）A.(3)3ln3xx=B.2

ln1lnxxxx−=C.()1ln1xaa+=+D.(sincos)cos2xxx=【答案】C【解析】【分析】依据求导公式及导数的运算法则一一判断即可得解.【详解】A选项：(3)3ln

3xx=，故A正确；B选项：()22lnlnln1lnxxxxxxxxx−−==，故B正确；C选项：()ln1xa+=，故C错误；D选项：()()22(sincos)sincoscossincossincos2xxxxxxxxx−=+

==，故D正确.故选：C4.下列说法正确的是（）A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22第80百分位数为17B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到24.712=，根据小概率值0.05=的独立性检验()

0.053.841x=，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05C.“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件D.若随机变量，满足32=−，则()3()2DD=−【答案】B【解析】【分析】A选项，根据百分位数的定义进行计

算；B选项，4.7123.841，推出结论；C选项，由于事件A，B对立是事件A，B互斥的特殊情况，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件；D选的项，()9()DD=，D错误.【详解】A选项，0010808=，故从小到大

选取第8个和第9个数的平均数作为第80百分位数，即17203722+=，A错误；B选项，24.7123.841=，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；C选项，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥

，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，C错误；D选项，若随机变量，满足32=−，则()9()DD=，D错误.故选：B5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列na，记数列na的前n项和为nS，则260nSn+的最小值为（）A.60B.61C.75D.76【

答案】B【解析】【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得nS，再由基本不等式求得260nSn+的最小值.【详解】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到

大的顺序所构成的数列是一个首项为8，公差为15的等差数列na，所以2(1)151815222nnnSnnn−=+=+，∴2260260606015121516115122nSnnnnnnnn++==++++=，当且仅

当6015nn=，即2n=时取等号，∴当2n=时260nSn+取最小值为61．故选：B.6.若点P是曲线2ln1yxx=−+上任意一点，则点P到直线2yx=−的最小距离为（）A.1B.22C.22D.322【答案】D【解析】【分析】求出平行于2yx=−的直线与曲线2ln1yxx=−+相切的切

点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设00(,)Pxy，函数2ln1yxx=−+的定义域为(0,)+，求导得12yxx=−，当曲线2ln1yxx=−+在点P处的切线平行于直线2yx=−时，00121xx−=，则00(1)

(21)0xx−+=，而00x，解得01x=，于是201ln112y=−+=，平行于2yx=−的直线与曲线2ln1yxx=−+相切的切点坐标为(1,2)，所以点P到直线2yx=−的最小距离即点(1,2)到直线2yx=−的距离|122|3222d−−==．故选：D7.下列说法错误

的是（）A.若随机变量()22,XN，则()122PX=B若随机变量Y服从两点分布，且()12EY=，则()21DY=C.若随机变量Z的分布列为()2,1,0,1,2iPZiia+===−，则10a=D.若随机变量18,3TB，则T的分布列中最大的只有()3PT=【答案】D【解析

】【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到()122PX=，A正确；B选项，根据Y服从两点分布，且.()12EY=得到分布列，求出2Y的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出10a=；D选项，根据()()()()11PTkPTkPT

kPTk==+==−解出答案.【详解】A选项，()22,XN，由正态分布的对称性可知()122PX=，A正确；B选项，若随机变量Y服从两点分布，且()12EY=，即分布列为：Y01P1212所以2

Y02P1212故()11202122EY=+=，则()()()221120121122DY=−+−=，B正确；C选项，分布列中概率之和为1，即120212221aaaa−+++++++=，解得10a=，C正确；D选项，随机变量18,3TB，令()()()()11PT

kPTkPTkPTk==+==−，即8171888191881111C1C133331111C1C13333kkkkkkkkkkkk−+−+−−−−−−

−−，解得23kk，因为Nk，所以2k=或3，则T的分布列中最大的有()2PT=或()3PT=，D错误.故选：D8.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁

殖问题中发现了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列na说法正确的是（）的A.14233a=B.2024a是偶数C.202412

32022aaaaa=++++D.2020202420223aaa+=【答案】D【解析】【分析】由题意可得21nnnaaa++=+，结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得.【详解】由已知得数列na满足递推关系21nnnaaa++=+，121aa==，对选项A：141

3121211111010998872325385138aaaaaaaaaaaaa=+=+=+=+=+=+1321813377=+=，故A错误；对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，202467432=+，不能被3整除，且

2a为奇数，所以2024a也为奇数，故B错误；对选项C：若选项C正确，又202420232022aaa=+，则20231232021aaaaa=++++，同理2022123202020211232019,aaaaaaaaaa=++++=++++，依次类推，

可得412aaa=+，显然错误，故C错误；对选项D：202420232022202220212aaaaa=+=+，所以()202020222021202220202021202220202024223aaaaaaaaa+=++=++=，故D正确.故

选：D.【点睛】关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式21nnnaaa++=+，121aa==，从而得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分.9.已知数列na的前n项和是nS，则下列说法正确的是（）A.若21nSn=−，则na是等差数列B.若12a=，123nnaa+=+，则3na+是等比数列C.若na是等差数列，则nS，2nnSS−，32nn

SS−成等差数列D.若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列，【答案】BC【解析】【分析】由na与nS的关系，即可得到数列na的通项公式，即可判断A，由等比数列的定义即可判断B，由等差数列与

等比数列前n项和的性质即可判断CD.【详解】对于A，若21nSn=−，当1n=时，11110aS==−=，当2n时，()()22111121nnnaSSnnn−=−=−−−−=−，且10a=不满足上式，则0,121,2nnann==−，则n

a不是等差数列，故错误；对于B，由条件变形可得()1323nnaa++=+，所以1323nnaa++=+，且135a+=，所以数列3na+是首项为5，公比为2的等比数列，故正确；对于C，设等差数列na的首项为1a，公差为d，则12nnSaaa=+++，2212212nnnnnnn

SSaaaandandandSnd++−=+++=++++++=+同理2232212231222nnnnnnnnnnSSaaaaaandSSnd++++−=+++=++++=−+，所以()()2322nnnnnSSSSS−=+−，所以232,,nnnnnSSSSS−−成等差数列

，故正确；对于D，设()1nna=−，则20S=，42640,0SSSS−=−=，所以此数列不是等比数列，故错误；故选：BC10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和

3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以1A，2A和3A表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（）A.()2755PB=；B.()1611PBA=；C.事

件B与事件1A相互独立；D.1A，2A，3A是两两互斥的事件．【答案】ABD【解析】【分析】有条件概率的定义可得B正确；利用全概率公式进行计算，可得A正确；有相互独立事件的判定方法可得C错误；有互斥事件的定义易得D正确.【详解】因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个

三等品，则()()()1234233,,1051010PAPAPA====,乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品,则()()()12351655|,||1011110111PBAPBAPBA+=====++,则(

)()()()()()()112233|||PBPAPBAPAPBAPAPBA=++2635272511101155=+=，故A，B正确；因为()()()1112612|51155PABPAP

BA===,又()125PA=，()2755PB=，则()()()11PABPAPB，则两事件不相互独立，故C错误；根据互斥事件的定义可知，1A，2A，3A是两两互斥的事件，故D正确，故选：ABD.11.设等比数列

na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，202420231aa，()()20242023110aa−−，则下列选项正确的是（）A.01qB.202320241SS−C.2024T是数列nT中的最

大项D.40451T【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，探讨等比数列na的性质，再逐个选项分析判断即可.【详解】由()()20242023110aa−−，2023202410,10aa−−或2023202410,10aa−−，而11a，202420231aa，2023

2024,aa同号，则20231a，20241a，即数列前2023项大于1，从第2024项开始小于1，对于A，202420231aqa=，又0q，则01q，A正确；对于B，由20241a，得2022024202341aSS=−，则

202320241SS−，B正确；对于C，显然na是递减正项数列，且20231a，20241a，因此2023T是数列nT中的最大项，C错误；对于D，()404540451240444045

4045202240451240451120231Taaaaqaqa+++====，D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列na中，32a=，718a=，则5a=______.【答案】6【解析】【分析

】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可.【详解】由等比中项的性质可得2253755366aaaaa===，设等比数列的公比为q，因为22530aaq=，所以56a=，故答案为：6.13.设函数()yfx=是()yfx=的导函数.某同学经过探究发现，

任意一个三次函数()()320axbxdafxcx=+++的图像都有对称中心()()00,xfx，其中0x满足()00fx=.已知三次函数()321fxxx=+−，若120xx+=，则()()12fx

fx+=___________.【答案】2−【解析】【分析】根据题意求解()00fx=可得对称中心()()00,xfx，再根据对称中心的性质求解即可.【详解】由题意，()232=+fxx，()6fxx=，令()60fxx==解得0x=，又()01f=−，故()321fxxx

=+−的对称中心为()0,1−.故当120xx+=时，()()()12212fxfx+=−=−.故答案为：2−14.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结

束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）．【答案】35【解析】【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为22225110ApA==，3次检测结束的概率为31123232335310ACCApA+==，则恰好检测四次停止的概率为231331

110105ppp=−−=−−=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记nS为等差数列na的前n项和，已知7315aS==．（1）求na的通项公式；（2）记1nnabS=，求数列n

b的前n项和nT．【答案】（1）21nan=+（2）()()9694212nnTnn+=−++【解析】【分析】（1）根据等差数列性质列方程组即可求解；（2）求出na，求出nS，求出nb，求出nT.【小

问1详解】设数列na的公差为d，由71231515aaaa=++=，得116155adad+=+=，解得132ad==，∴21nan=+；【小问2详解】由（1）知，21nan=+，∴(

)232122nnnSnn++==+，∴()13311222nnabSnnnn===−++，∴123111111112324112nnTbbbnnnn=+++=−+−++−+−−++()()331196922124212nnnnn+=−−=−++++．1

6.已知函数()32fxxaxb=−+（a，bR）的图象过点()2,4，且()11f=．（1）求a，b的值；（2）求曲线()yfx=过点()0,1−的切线方程．【答案】（1）1a=，0b=．（2）10xy−−=【解析】【分析】（1）根据题意()24f=可得44ba=−，由()23

2fxxax=−，可得()1321fa=−=，联立即可得解；（2）由()32fxxx=−可设曲线()yfx=上的切点为()32,mmm−，利用导数的几何意义可得切线斜率为()232fmmm=−，利用点斜式可得切线方程()()32232ymm

mmxm−+=−−，带入点()0,1−，即可得解.【小问1详解】因为函数()32fxxaxb=−+的图象过点()2,4，所以44ba=−①．又()232fxxax=−，()11f=，所以()213123

21faa=−=−=②，由①②解得1a=，0b=．【小问2详解】由（1）知()32fxxx=−，设所求切线在曲线()yfx=上的切点为()32,mmm−，则()232fmmm=−，所以切线方程为()()32232ymmm

mxm−+=−−，又切线过点()0,1−，所以32210mm−−=，可得322102mm−−+=，322()(011)mm−−=−，2(1)(21)0mmm−++=，解得1m=，所以切点为()1,0，切线方程为10xy−−=．故曲线(

)yfx=过点()0,1−的切线方程为10xy−−=．17.某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万

元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额ix和年收入的附加额iy进行研究，得到相关数据如下：年份2017201820192020202120222023投入额ix103040608090110年收入的附加额iy3.204.004.806.00

7．307.309.25（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学

期望．参考数据：712976iiixy==，7142liy==，72132800iix==．附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()112221nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx===−−−=

=−−，aybx=−$$．【答案】（1）0.062.4yx=+（2）分布列见解析，97【解析】【分析】（1）根据最小二乘法即可求解，（2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.小问1详解】依题意，()1103040608090110607x=++++++=，()13.24

4.867.37.459.2567y=++++++=，717221297676060.063280073600iiiiixynxybxnx==−−===−−，60.06602.4aybx=−=−=，所以y关于x的线性回归方程为0.062.4yx=+.【小问2详

解】由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个，所以X的可能取值为0，1，2，3，()033437CC40C35PX===，()123437CC181C35PX===，()213437CC122C35PX===，()3337C13C3

5PX===，X的分布列如下：X0123P43518351235135所以X期望是()41812190123353535357EX=+++=.18.某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200

人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：)40,50，)50,60，)60,70，…，90,100，统计结果如图所示：【的（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位：分）近似地服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数x，

近似为样本的标准差s，并已求得14.31s=．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间56.19,99.12的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次

调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为12．每一轮抽奖，若中奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动．①求小王获得900元话费的概率；②求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.0

1）．参考数据：若随机变量z服从正态分布()2,N，即()2~,zN，则()0.6827Pz−+，()220.9545Pz−+．【答案】（1）16372（人）（2）①11024；②99.90（元）【解析】【分析】（1）根据给定

的频率分布直方图，求出x，再利用正态分布求出满意度得分位于区间56.19,99.12的概率即可计算作答.（2）①利用独立事件的概率公式计算作答；②求出X的可能值及各个值对应的概率，再利用期望的定义求解作答.【小

问1详解】依题意，样本平均数为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x=+++++=，即70.5x==，由14.31s==，得,256.19,99.12−+=，而11(2)()(2

2)0.818622PzPzz−+=−++−+，所以2万名5G手机用户中满意度得分位于区间56.19,99.12的人数约为200000.818616372=（人

）．【小问2详解】①小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，所以所求的概率为9111()221024P==．②依题意，X的可能取值有0，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，即100Xi=，010i，Ni，当19i，Ni

时，100Xi=，说明小王前i轮连续中奖且第1i+轮未中奖，此时1111(100)()222iiPXi+===，又()102PX==满足1111(100)()222iiPXi+===，101(1000)2PX==，因此()1101,09,N21001,102iiiPXii+

===，于是2341010112391000()0()100222222EX=++++++，令2341012392222S=++++，则345111123922222S=++++，两式相减得2923410111110111111(1)1111199119111221222

22222222212S−=++++−=−=−−=−−，化简得101112S=−，则1010811100025()(1)10010099.90222EX=−+=−（元），所以小王所获话费总额X的数学期望为99.90元．19.设数列na的

前n项和为nS，23nnSa+=，*nN，数列nb满足：对于任意的*nN，都有11213211333nnnnnababababn−−−++++=+−成立.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列n

b的通项公式；（3）设数列nnncab=，问：数列nc中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）113nna−=；（2）21nbn=−；（3）存在，1c，2c，5c或2a

，3c，5c.【解析】【分析】（1）当2n时，类比写出1123nnSa−−+=，两式相减整理得113nnaa−=，当1n=时，求得10a，从而求得数列na的通项公式.；（2）将113nna−=代入已知条

件，用与（1）相似的方法，变换求出数列nb的通项公式；（3）由nc的通项公式分析，得12345ccccc=…，假设存在三项sc，pc，rc成等差数列，且spr，则2psrccc=+，即(

)1112212121333psrpsr−−−−−−=+，根据数列nc的单调性，化简得722p，将2p=或3p=代入已知条件，即可得到结论.【详解】（1）由23nnSa+=，①得()11232nnS

an−−+=，②由①-②得120nnnaaa−+−=，即()1123nnaan−=，对①取1n=得，110a=，所以0na，所以113nnaa−=为常数，所以na为等比数列，首项为1，公比为13，即113n

na−=，*nN；（2）由113nna−=，可得对于任意*nN有2111211111333333nnnnnbbbbn−−−−++++=+−，③则()()2221231111131323333nnnnnbbbbnn−−−−−

++++=+−−，④则()23111231111112233333nnnnnbbbbnn−−−−−++++=+−，⑤由③-⑤得()212nbnn=−，对③取1n=得，11b=

也适合上式，因此21nbn=−，*nN，（3）由（1）（2）可知1213nnnnncab−−==，则()11412121333nnnnnnnncc+−−+−−=−=，所以当1n=时，1nncc+=，即

12cc=，当2n时，1nncc+，即nc在2n且*nN上单调递减，故12345ccccc=…，假设存在三项sc，pc，rc成等差数列，其中s，p，*rN，由于12345ccccc=

…，可不妨设spr，则2psrccc=+（*），即()1112212121333psrpsr−−−−−−=+，因为s，p，*rN且spr，则1sp−且2p，由数列nc的单调性可知，1spcc−，即12212333spsp−−−−，因为12103r

rrc−−=，所以()11122212121233333psrppsrp−−−−−−−−=+，即()122212333pppp−−−−，化简得72p，又2p且*pN，所以2p=或3p=，当2p=时，1s=，即121cc==，由3r时，21rcc

=，此时1c，2c，rc不构成等差数列，不合题意，当3p=时，由题意1s=或2s=，即1sc=，又359pcc==，代入（*）式得19rc=，因为数列nc在2n且*nN上单调递减，且519c=，4r，所以=5r，综上所述，数

列nc中存在三项1c，3c，5c或2c，3c，5c构成等差数列.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推

理能力，属于难题.