【文档说明】河南省安阳市林州市第一中学2024-2025高三上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(27)页，2.571 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高三上学期8月试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.足球是一项

大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的56,女性喜爱足球的人数占女性人数的13,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下

认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（）人()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++a0.100050.010.0050.001ax2.7063.8415.6357.87910.828A.10B.11C.12

D.132.已知函数22,1()(3)2,1xaxxfxaxx−+=−+是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A.)1,3B.1,2C.)2,3D.()0,33.下列求导运算正确的是（）A.ππsinsincossin66xx−=−

B.()2(31)231xx+=+C.()22xx=D.()21logln2xx=4.为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，.根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直

线方程为ˆˆˆybxa=+．已知101225iix==，1011600iiy==，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A.160B.163C.166D.1705.已知函数()2221,0log,0xxfxxx+−=，若关于

x的方程2()()20fxmfx++=恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A.)11,3,223−−−−B.(11,223−−C.1111,(,2233−−−−

D.)3,22−−6.已知某家族有A、B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状概率为415，出现B性状的概率为215，A、B两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（）A.14B.38C.

12D.347.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆

玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为（）A

.12,2B.2，1C.3，1D.13,28.图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转45，的得图②，若BEF△为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（）A.(822)π+B.(842)π+C.12πD.16π二.多选题（

共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体各年龄别妇女生育率的总和．它反映

的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近

十年来的数据()(),,1,2,10iiixyzi=绘制了散点图，并得到经验回归方程ˆ7.540.33zx=+，ˆ2.880.41yx=−，对应的决定系数分别为21R，22R，则（）A.人均GDP和女性平均受教育年

限正相关．B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关C.2212RRD.未来三年总和生育率一定继续降低10.甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个

绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出球为黄球，则下列说法不正确的的的是（）A.A，B是对立事件B.事件B，D相互独立C.()1635PD=D.()135PCD=11.已知定义在R上函数()fx满足()()()132

024fxfxf+++=，()()2fxfx−=+，且1124f=，则（）A.()fx的最小正周期为4B.()20f=C.函数𝑓(𝑥−1)是奇函数D.20241120242kkfk=−=−三

.填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.已知直线l分别与曲线()lnfxx=，()exgx=相切于点()11,lnxx，()22,exx，则12121xx−−的值为____________.13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的

函数：1()fxx=，22()fxx=，33()fxx=，4()sinfxx=，5()cosfxx=，6()2||1fxx=+．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行

，设抽取次数为X，则3X的概率为___________．14.已知函数()32fxxaxb=++在2x=−时取得极大值4，则ab+=______．四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比

赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为12，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为13，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概

率为12.（1）求学生小杰获得奖品的概率；（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；（3）求学生小杰通过的比赛轮数X的分布列与数学期望.16.如图，AE⊥平面ABCD，,EF在平面ABCD的

同侧，//AEDF，//ADBC，ADAB⊥，的112ADABBC===.（1）若,,,BEFC四点在同一平面内，求线段EF的长；（2）若2DFAE=，平面BEF与平面BCF的夹角为30o，求线段AE的长.17.已知函数23()ln2afxxxx=+−.（1）若0a=，求()fx在点

(1,(1))f处的切线方程；（2）若()1212,xxxx是()fx的两个极值点，证明：()()121232fxfxxxa−−.18.已知在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD△是正三角形，E、

F、M、O分别是PC、PD、BC、𝐴𝐷的中点，⊥PO平面ABCD．（1）求证：EFPA⊥；（2）求点B到平面𝐸𝐹𝑀的距离；（3）在线段PA上是否存在点N，使得直线MN与平面𝐸𝐹𝑀所成角的正弦值为3314？若存在，求线段PN的长度，若不存在，说明理由．19.2023年11

月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果

，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴（不妨设n颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴

出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前(1)kkn颗番石榴，自第1k+颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设ktn=，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.

（1）若4,2nk==，求P；（2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.（取111ln11nkknk+++=+−）2024-2025学年高三上学期8月试题数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答

题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一.选择题（共8小题，每小题5分，共

40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的56,女性喜爱足球的人数占女性人数的13,若本次调查得出“在犯错

误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（）人()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++a0.100.050.010.0050.001ax2.7063.8415.6357.87910.828A.1

0B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出27.879比较即可.【详解】设被调查的男性为x人,则女性为2x人,依据题意可得列联表如下表:男性女性合计喜爱足球56x23x32x不喜爱足球6x43x32x合计x2x3x2254232

6336333222xxxxxxxxxx−==,因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有27.879,即27.8793x,解得11.8185x,又

因为上述列联表中的所有数字均为整数,故x的最小值为12.故选:C.2.已知函数22,1()(3)2,1xaxxfxaxx−+=−+是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A.)1,3B.1,2C.)2,3D.()0,3【答案】B【解析】【分析

】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在1x=时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.【详解】因为22,1()(3)2,1xaxxfxaxx−+=−+是定义在R上的增函数，所以212301232aaaa

−−−−+−+，解得12a.故选：B3.下列求导运算正确的是（）A.ππsinsincossin66xx−=−B.()2(31)231xx+=+C.()22xx=D.()21logln

2xx=【答案】D【解析】【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.【详解】πsinsincos0cos6xxx−=−=，()()2(31)2313621xxx+=+=

+，()22ln2xx=，()21logln2xx=.故选：D.4.为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybxa=+．已知101225iix==

，1011600iiy==，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为A.160B.163C.166D.170【答案】C【解析】【详解】由已知22.5,160xy==,160422.570,424166ˆ70ay=−==+=，故选C.5.已知函数()2221,0log,0x

xfxxx+−=，若关于x的方程2()()20fxmfx++=恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A.)11,3,223−−−−B.(11,223−−C.1

111,(,2233−−−−D.)3,22−−【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当t取不同值时，()fxt=的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.【详解】根据()2221,0log,0xxfxxx+−

=，作出()fx的大致图象如下：由图可知：当()0fx=时，此时由两个根，分别为2,1−，当01t时，此时()fxt=有4个交点，当13t时，此时()fxt=有3个交点，当3t时，此时()fxt=有2个交点，故要使得

2()()20fxmfx++=由6个不同的零点，则令()fxt=，220++=tmt有6个不同的实数根，()0fx=显然不是2()()20fxmfx++=的根，设()22gttmt=++的两个零点分别为12,tt

，且12tt，故当1201,3tt时，此时()1fxt=有4个交点，()2fxt=有2个交点，满足题意，故需要满足()()()02013031130ggmgm==+=+，解得113m−，当1213tt时，此时()1fxt=有3个交点，()2fxt=有

3个交点，满足题意，故需要满足()()2132Δ8013031130mmgmgm−=−=+=+，解得322m−−，综上可得322m−−或113m−故选：A6.已知某家族有A、

B两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为415，出现B性状的概率为215，A、B两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现A性状的条件下，出现B性状的概率为（）A.14B.38C.12D.34【答

案】B【解析】【分析】记事件:E该家族某位成员出现A性状，事件:F该家族某位成员出现B性状，求出()PEF，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:E该家族某位成员出现A性状，事件:F该家族某位成

员出现B性状，则()415PE=，()215PF=，()710PEF=，则()()3110PEFPEF=−=，又因为()()()()PEFPEPFPEF=+−，则()()()()110PEFPEPFPEF=+−=

，故所求概率为()()()11531048PEFPFEPE===.故选：B.7.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的

正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白

色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为（）A.12,2B.2，1C.3，1D.13,2【答案】C【解析】【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可.【详解】白色圆玻璃球从起

点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为12，则向左的次数服从二项分布14,2B.因为4443441111(1)C,(2)C21624PXPX======，444210444131111(3)C,

(4)C,(5)C2824216PXPXPX=========，所以11311()1234531648416EX=++++=，2222211311()(13)(23)

(33)(43)(53)11648416DX=−+−+−+−+−=.故选：C8.图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转45，得图②，若BEF△为正三角形，则图②所示几

何体外接球的表面积为（）A.(822)π+B.(842)π+C.12πD.16π【答案】A【解析】【分析】结合图形，由题意过点M作MHEF⊥于点H，得到直角梯形MNBH，求出该几何体的高22MN=,再借助于RtOME△求出该几何体的外接球半径,即得其表面积.详解】【如图，设正四棱

柱的上下底面中心分别为点,MN,过点M作MHEF⊥于点H，连接,BHBN，依题意，易得直角梯形MNBH,因BEF△为边长为2的正三角形,则BHEF⊥，且3232BH=?,又1,2MHBN==，则22(

3)(21)22MN=−−=.设该几何体外接球球心为点O,半径为R,则点O为MN的中点，则22222OM==,在RtOME△中，222222ROMME=+=+,于是该几何体外接球的表面积为224π4π(2)(822)π2R=+=+.故选：A.二.多选题（

共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期

间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据()(),,1,2,10iiixyzi=绘制

了散点图，并得到经验回归方程ˆ7.540.33zx=+，ˆ2.880.41yx=−，对应的决定系数分别为21R，22R，则（）A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关．B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关C.2212RRD.未来三年总和生育率一定继续降低【答案】AB【解析】【分析】根

据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D.【详解】由回归方程ˆ7.540.33zx=+知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；因为ˆ7.54

0.33zx=+，ˆ2.880.41yx=−，可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为ˆ7.54ˆ2.880.410.33−=−zy，所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；由散点图可知，回归方程7.540

.ˆ33zx=+相对ˆ2.880.41yx=−拟合效果更好，所以2212RR，故C错误；根据回归方程ˆ2.880.41y=−预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故D错误．故选：AB10.甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这

10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（）A.A，B是对

立事件B.事件B，D相互独立C.()1635PD=D.()135PCD=【答案】ABD【解析】【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项．【详解】对于A，事件A，B

不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；对于C，()()()()()()()PDPAPDAPBPDBPCPDC=++21111213233422212121575757CCCCC

CC16CCCCCC35=++=，故C正确；对于D，()()()1112332157CCC9CC35PCDPCPDC===，故D错误.故选：ABD11.已知定义在R上的函数()fx满足()()()132024fxfx

f+++=，()()2fxfx−=+，且1124f=，则（）A.()fx的最小正周期为4B.()20f=C.函数𝑓(𝑥−1)是奇函数D.20241120242kkfk=−=−【答案】AB【解析】【分析】据题意，通过赋值得到()()()22024fxfxf++=

，()()()242024fxfxf+++=，即可判断A；令2021x=，可求出()20220f=，由周期性可判断B；令0x=，得到()00f=，由周期性()20240f=，可证明()fx是奇函数，假设函数𝑓(𝑥−1)是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性

可计算D.【详解】对于A，因为()()()132024fxfxf+++=，所以()()()22024fxfxf++=，()()()242024fxfxf+++=，所以()()4fxfx+=，故()fx的最小正周期

为4，A正确；对于B，因为()()()132024fxfxf+++=，令2021x=，则()()()202220242024fff+=，所以()20220f=，由A可知，()()()20224505220fff=+==，故B正确；对于C，因为()()2fxfx−=+，①令0x=

，则()()020ff==，所以()()()2024450600fff===，所以()()()220240fxfxf++==，②由①②，所以()()0fxfx+−=，即𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，

故()fx为奇函数，若函数𝑓(𝑥−1)是奇函数，则()()11fxfx−−=−−，所以()()()111fxfxfx−−=−+=−+，即()()11fxfx−=+，所以()()()()21111fxfxfxfx+=++=+−=，所以()fx的最小正周

期为2，与选项A矛盾，故C错误；对于D，因为()fx为奇函数，且1124f=，所以1124f−=−，又因为()fx的最小正周期为4，所以711224ff=−=−，因为()()2fxfx−=+所以311122224fff=

−+==，53312224fff=−=−=−，所以4111357123422222kkfkffff=−=+++

1111123414444=++−+−=−，8519111315567822222kkfkffff=−=+++135756782222ffff

=+++1111567814444=++−+−=−，以此类推，所以()20241150615062kkfk=−=−=−，故D错误.故选：AB【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函

数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：设函数𝑦=𝑓(𝑥)Rx，0,aab（1）若()()fxafxa+=−，则函数()fx的周期为2a；（2）若()()fxafx+=−，则函数()fx的周期为

2a；（3）若()()1fxafx+=，则函数()fx的周期为2a；（4）若()()1fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a；（5）若()()fxafxb+=+，则函数()fx的周期为ab−.三.

填空题（共3小题，每题5分，共15分.）12.已知直线l分别与曲线()lnfxx=，()exgx=相切于点()11,lnxx，()22,exx，则12121xx−−的值为____________.【答案】1【解析】【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得()221121e

ln1e1xxxxx=−=−，通过指数式对数式的运算，求出12121xx−−的值.【详解】由()lnfxx=，()exgx=，有()1fxx=，()exgx=，()fx在点()11,lnxx处的切线方程为()1111lny

xxxx−=−，()gx在点()22,exx处的切线方程为()222eexxyxx−=−，则有()221121eln1e1xxxxx=−=−，得()222211e1lnln1e1xxxxx−−=−=−−=−，所以2222221211

222e1111111xxxxxxxx−−−+−==−=−=+=−−−，可得121211xx−=−.故答案为：1.13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：1()fxx=，22()

fxx=，33()fxx=，4()sinfxx=，5()cosfxx=，6()2||1fxx=+．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则3X的概率为___________．【

答案】45##0.8【解析】【分析】由题可知X的取值范围是1,2,3,4，而()()()312PXPXPX==+=，分别求出1,2X=概率，即可求出答案.【详解】易判断()22fxx=，()5cosfxx=，6()2||1fxx=+为偶

函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X的取值范围是1,2,3,4．()1316C11C2PX===，()11331165CC32CC10PX===，所以()()()1384312210105PXPXPX==+==+==．故答案为：4514.已知函数()32

fxxaxb=++在2x=−时取得极大值4，则ab+=______．【答案】3【解析】【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.【详解】由题意可知()232fxxax=+，因为函数()32fxxaxb=++

在2x=−时取得极大值4，所以()()248421240fabfa−=+−=−=−=，解之得30ab==，检验，此时()()32fxxx=+，令()00fxx或2x−，令()002fxx−，即()fx在()(),2

,0,−−+上单调递增，在()2,0−上单调递减，即30ab==满足题意，故3ab+=.故答案为：3四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜

比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为12，通过第一轮比赛后领取奖品结束

比赛的概率为13，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为12.（1）求学生小杰获得奖品的概率；（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；（3）求学生小杰通过的比赛轮数X的分布列与数学期望.【答案】（1）724（2）37（3）分

布列见解析，1724【解析】【分析】（1）记事件iA：学生通过第i轮，事件iB：学生通过第i轮就选择奖品离开，事件iC：学生通过第i轮且继续答题，结合全概率公式和()()()()123PBPBPBPB=++，即可求解；（2

）根据题意，结合()()()()()2323PBBPBBPBBBPB++=∣，即可求解；（3）由题意，随机变量X可取0,1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.小问1详解】记事件iA：学生通过第i轮，事件iB：学生通过第i轮

就选择奖品离开，事件iC：学生通过第i轮且继续答题，(1,2,3i=），由题意得()()()()()11111212211211,|,|,|,|23322PAPBAPCAPACPBA=====，.【()()22

3211|,|22PCAPAC==记事件B：学生获得奖品.则123BBBB=++，()()()()111111111236PBPABPAPBA====∣，()()()()()2111212212111232212PBPAPCAP

ACPBC===∣∣∣，()()()()()()31112222321211112322224PBPAPCAPACPCAPAC===∣∣∣∣，()()()()12311176122424PBPBPBPB=++=++=.【小问2详解】学生

小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：()()()()()()()()23232311312247724PBBPBBPBPBPBBBPBPB++++====∣.【小问3详解】由题意，随机变量X可取0,1,2,3，可得()()1102PXPA===，(

)()()11121112(1)PXPABCAPABPCA==+=+()()()()()11111121PAPBAPAPCAPAC=+∣∣∣111211232323=+=，()()()()()()1112122323PXPAPCAPACPCAPAC==∣∣

∣∣1211112322224==，()()()()111121013123248PXPXPXPX==−=−=−==−−−=，所以X的分布列为：X0123P121318124所以期望为()11111701232382424EX=+++=

.16.如图，AE⊥平面ABCD，,EF在平面ABCD的同侧，//AEDF，//ADBC，ADAB⊥，112ADABBC===..（1）若,,,BEFC四点在同一平面内，求线段EF的长；（2）若2DFAE=，平面BEF与平面BCF的夹角为30

o，求线段AE的长.【答案】（1）1；（2）12【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形ADFE是平行四边形可得答案；（2）以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设()0,0,E，求

出平面BEF、平面BFC的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】//ADBC，BC平面BCEF，AD平面BCEF，//AD平面BCEF，//AEDF，则,,,AEFD四点共面，/

/AD平面BCEF，AD平面ADFE，平面BCEF平面ADFEEF=，//ADEF，又//AEDF，则四边形ADFE是平行四边形，1EFAD==；【小问2详解】以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为

x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设(0)AE=，则()0,0,E，()0,1,2F，𝐵(1,0,0)，()1,2,0C，()1,0,BE=−，()1,1,2BF=−，()0,2,0BC=，设()111,,mxyz=是平

面BEF的一个法向量，由00mBEmBF==，得11111020xzxyz−+=−++=，令11z=，可得11,xy==−，可得(),,1m=−，设𝑛⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)是平面BFC的一个法向量，由00n

BCnBF==，得22222020yxyz=−++=，令21z=，可得222,0xy==，可得()2,0,1n=，依题意222222213cos,2()1(2)01mnmnmn+===+−+++，解得12=，12AE=.17

.已知函数23()ln2afxxxx=+−.（1）若0a=，求()fx在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若()1212,xxxx是()fx的两个极值点，证明：()()121232fxfxxxa−−.【答案】（1）250xy+−=；（2）证明见解析

【解析】【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；（2）根据极值点的定义，可得12,xx是方程230xxa−+=的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成112221lnxxxxxx

−，令12(01)xttx=，构造函数()1ln(01)httttt=−+，结合导数证明即可.【小问1详解】当0a=时，3()lnfxxx=+，则22133()xfxxxx−=−=，所以3(1)ln131f=+=

，213(1)21f−==−，所以()fx在点(1,(1))f处的切线方程为()321yx−=−−，即250xy+−=【小问2详解】证明：由23()ln2afxxxx=+−，可知()2233133axxafxxxxx−+=−+=，因为12,xx（

12xx）是()fx的极值点，所以12,xx方程230xxa−+=的两个不等的正实数根，所以123xx+=，120xxa=，则()()()1222121211221222121212121233lnln22lnln32aaxxfxfxaxxxxx

xxxxxxxxxxxxx+−−+−−+−==−+−−−1212lnln332xxxxaa−=−+−．要证()()121232fxfxxxa−−成立，只需证1212lnln3xxxxa−−，即证1

2121212lnlnxxxxxxxx−+−，即证()22121212lnlnxxxxxx−−，即证112221lnxxxxxx−，设12xtx=，则01t，即证1lnttt−，令()1ln(

01)httttt=−+，则()22211110tthtttt−+−=−−=，所以()ht在()0,1上单调递减，则()()10hth=，所以1lnttt−，故()()121232fxfxxxa−−．【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导

数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题

的关键.18.已知在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD△是正三角形，E、F、M、O分别是PC、PD、BC、𝐴𝐷的中点，⊥PO平面ABCD．（1）求证：EFPA⊥；（2）求点B到平

面𝐸𝐹𝑀的距离；（3）在线段PA上是否存在点N，使得直线MN与平面𝐸𝐹𝑀所成角的正弦值为3314？若存在，求线段PN的长度，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见详解（2）√3（3）存在点N满足题意，43PN=【解析】【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，再证明//EFCD，

即可得证；（2）求点B到平面EFM的距离即求点B到平面FOM的距离，利用三棱锥等体积法求解；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解【小问1详解】因为⊥PO平面ABCD，CD平面ABCD，所以POCD⊥，又底面ABCD是正方形，则CDAD⊥，且AD与PO是平面PAD内两条相

交直线，所以CD⊥平面PAD，PA平面PAD，所以CDPA⊥，又,EF分别是,PCPD的中点，所以//EFCD，所以EFPA⊥.【小问2详解】因为,,,EFMO分别是,,,PCPDBCAD的中点，所以////E

FCDOM，.所以平面EFM即是平面FOM，由（1）知CD⊥平面PAD，则OM⊥平面PAD，FO平面PAD，OMFO⊥，则1142422FOMSOMOF===V，设点B到平面EFM的距离为d，由BFOMFOBMVV−−=，得111332FOMOBMSdSPO

=VV，即142432d=，解得3d=，所以点B到平面EFM的距离为3.【小问3详解】如图以O为原点，,,OAOMOP为,,xyz轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,23P，𝐴(2,0,0)，()0,4,0M，()1,2,3E−，()1,0,3

F−，()2,0,23PA=−，()0,2,0EF=−，()1,2,3EM=−，设线段PA上存在点(),0,Nxz，使得MN与平面EFM所成角的正弦值为3314，且()01PNtPAt=，()(),0,232,0,23xzt−=−，

22323xtzt==−，()2,4,2323MNtt=−−，设平面EFM的一个法向量为𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则00nEFnEM==，即20230babc−=+−=，令1c=，得3,0ab==，()3,0,

1n=，()223323142416121MNnMNntt==++−，整理得2182770tt−+=，解得13t=或76（舍），13PNPA=uuuruuur，即存在点N使得直线MN与平面EFM所成角的正弦值为3314，此时43PN=

.19.2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石

榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n

颗番石榴（不妨设n颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前(1)kkn颗番石榴，自第1k+颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一

颗.设ktn=，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.（1）若4,2nk==，求P；（2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.（取111ln11nkknk+++=+−）【答案】

（1）512；（2）P的最大值为1e，此时t的值为1e.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率P.（2）利用全概率公式求出()PA，再构造函数，利用导数求出最大值.【小问1详解】依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有44

A24=种情况，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有33A6=种情况；②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有222A4=种情况，所以所求概率为6452412+=

.【小问2详解】记事件A表示最大的番石榴被摘到，事件iB表示最大的番石榴排在第i个，则()1iPBn=，由全概率公式知：11)))1()(|((|nniiiiiPAPABPBPABn====，当1ik时，最大的番石榴在前k个中，不会被摘到，此时(0)|iPAB=；当1kin

+时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前1i−个番石榴中的最大一个在前k个之中时，此时1)(|ikPABi=−，因此1()()ln11kkkknPAnkknnk=+++=+−，令()ln(0)xngxxnx=，求导得11()lnngxnxn=−，由()0

gx=，得enx=，当(0,)enx时，()0gx，当(,)enxn时，()0gx，即函数()gx在(0,)en上单调递增，在(,)enn上单调递减，则max1()()eengxg==，

于是当enk=时，()lnknPAnk=取得最大值1e，所以P的最大值为1e，此时t的值为1e.【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.