【文档说明】四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期6月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(22)页，1.778 MB，由小赞的店铺上传

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成都七中高一下学期6月考试数学试题2024.6.11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin20cos40cos20sin40+的值是（）A.12B.

12−C.32D.32−2.数据1210,,,xxx的方差20s=，则下列数字特征一定为0的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.极差3.12ii+的虚部是（）A.1B.1−C.iD.i−4.已知()()()1,2,2,4,,6ABCm三点共线，则m的值为（）A.

5−B.5C.3−D.35.如图，水面高度均为2圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（）A.49B.59C.1119D.12

196.已知ABC中，3,5,60CACBC===，则sinB=（）A.3314B.35738C.1914D.3197.如图，四棱锥MABCD−的底面ABCD为矩形，且MC⊥平面ABCD，若22ADABCM==，则下列结论错误．．的是（）的A.直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为66B.平

面ACM⊥平面ABCDC.BDAM⊥D.二面角MBDC−−的余弦值为238.崇丽阁之名取自晋代左思《蜀都赋》中的名句“既丽且崇，实号成都”．如图，在测量府河西岸的崇丽阁高AB时，测量者选取了与塔底B在同

一水平面内的两个测量基点C与D，并测得120,15,303BDCBCDCD===米，在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB=（）A.156米B.153米C.206米D.303米二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分

，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知12,zz是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的两个根，其中11iz=+，则（）A21iz=−B.2212zz=C.2p=D.2q=10.在某市初三年级举行的一

次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在50,100，按照)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100的分组作出如图所示的频率分布直方

图．若在样本中，成绩落在区间)50,60的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（）.A.100n=B.考生成绩的众数为75C.考生成绩的第70百分位数为76D.估计该市考生成绩平均分为70.811.如图，已知二面角l−−的

平面角为π3，棱l上有不同的两点,,,ABACBD，,AClBDl⊥⊥．若2ACABBD===，则下列结论正确的是（）A.点D到平面的距离是2B.直线AB与直线CD的夹角为π4C.四面体ABCD的体积为233D.直线CD与平面所成角的正弦值为64三、填

空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,1a=，()1,2b=则=ab______．13某小学运动会上，跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8个数1

41171160147145171170172则跳绳个数的中位数是______．14.在三棱柱111ABCABC-中，11ABACBCAAAC====，若1ACBC⊥，则二面角11BACB−−的余弦值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．的.15.记ABC内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cosbcA=．（1）试判断ABC的形状；（2）若1c=，求ABC周长的最大值．16.如图，在四边形ABCD中，120,2,3BABAD===，且,1BCkADABBC==，若P，Q为线段AD上的两个动点

，且||1PQ=.（1）当P为AD的中点时，求CP的长度；（2）求CPCQ的最小值.17.用分层随机抽样从某校高一年级800名学生的化学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据

40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，

估计高一年级男生中成绩优秀人数；（2）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．18.如图，四边形ABCD为梯形，,90,222ABCDABCABCDBC====∥．等腰直角三角形

ADM中，,AMDMO=为腰AD的中点，平面ADM⊥平面ABCD．的（1）求异面直线AM与BD所成角的大小；（2）求证：AM⊥平面BDM；（3）求OM与平面MBC所成角的正切值．19.在四面体ABCD中，,ABaCDb==，记四面体ABCD的内切球半径为r．分别过

点,,,ABCD向其对面作垂线，垂足分别为1234,,,HHHH．（1）是否存在四个面都是直角三角形的四面体ABCD？（不用说明理由）（2）若垂足1H恰为正三角形BCD△的中心，证明：22223343babrabb−=−

+；（3）已知2024ab+=，证明：253r．成都七中高一下学期6月考试数学试题2024.6.11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.sin20cos4

0cos20sin40+的值是（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】C【解析】【分析】根据正弦的和角公式即可求解.【详解】3sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin602+=+==.

故选：C.2.数据1210,,,xxx的方差20s=，则下列数字特征一定为0的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.极差【答案】D【解析】【分析】利用方差的定义可得1210xxxx====，从而可得结论.【详解】12101)(xxxxn+++=，所以方差22221

2101[(0)()())]xxxsxxxn−+−++−==，所以数据1210xxxx====，所以极差一定为0.故选：D.3.12ii+的虚部是（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】利用除法运

算规则将分母实数化，化简即可.【详解】212i(12i)ii22ii1i++−−===−，则虚部为1−.故选：B.4.已知()()()1,2,2,4,,6ABCm三点共线，则m的值为（）A.5−B.5C.3−D.3【答案】D【解析】【分析】根据//ABBC得到方程，求出答案.【详

解】()()()()()()2,41,21,2,,62,42,2ABBCmm=−==−=−，()()()1,2,2,4,,6ABCm三点共线，故//ABBC，即()12220m−−=，解得3m=.故选：D5.如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为

4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（）A.49B.59C.1119D.1219【答案】D【解析】【分析】设出底面半径，分别表示出圆锥和圆柱内水的体

积再求解即可.【详解】设圆锥容器的底面半径为R，倒入前圆锥和圆柱容器中水的体积分别为12,VV，则22211117ππ4π23346RVRR=−=,222π22πVRR==，所以2222122π127π192π6

VRRVVR==++．故选：D.6.已知ABC中，3,5,60CACBC===，则sinB=（）A.3314B.35738C.1914D.319【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出AB，再利用正弦定理计

算即得.【详解】在ABC中，3,5,60CACBC===，由余弦定理得：222212cos35235192ABCACBCACBC=+−=+−=，由正弦定理得33sin3572sin3819CACBAB===.故选：B7.如图，四棱锥MABCD−的底面ABCD为矩形，且MC⊥平面

ABCD，若22ADABCM==，则下列结论错误．．的是（）A.直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为66B.平面ACM⊥平面ABCDC.BDAM⊥D.二面角MBDC−−的余弦值为23【答案】C【解析】【分析

】依题意可得MAC为直线AM与平面ABCD所成的角，即可判断A，根据MC⊥平面ABCD及面面垂直的判定定理判断B，推出矛盾即可判断C，过点C作CEBD⊥交BD于点E，连接ME，即可得到MEC为二面角MBDC−

−的平面角，再由锐角三角函数计算判断D.【详解】不妨设222ADABCM===，对于A：连接AC，因为MC⊥平面ABCD，所以MAC为直线AM与平面ABCD所成的角，因为AC平面ABCD，所以MCAC⊥，又22125AC=+=，1MC=，则

()2222516AMACMC=+=+=，所以6sin6MCMACAM==，即直线AM与平面ABCD所成角的正弦值为66，故A正确；对于B：因为MC⊥平面ABCD，MC平面ACM，所以平面ACM⊥平面ABCD，故B正确

；对于C：因为MC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以MCBD⊥，若BDAM⊥，又AMMCM=，,AMMC平面ACM，所以BD⊥平面ACM，又AC平面ACM，所以BDAC⊥，则矩形ABCD为正方形，所以ADAB=，

与2=ADAB矛盾，故BD与AM不垂直，故C错误；对于D：过点C作CEBD⊥交BD于点E，连接ME，因MCCEC=，,MCCE平面MCE，所以BD⊥平面MCE，又ME平面MCE，所以BDME⊥，则MEC为二面角MBDC−−的平面角

，又1122BDCSDCBCBDCE==，即1112522CE=，解得255CE=，所以22222535155EMCEMC=+=+=，所以2525cos3355CEMECEM===，即二面角MBDC−−的余弦值为23，故D正确.为故选：C8.崇丽阁之名取自晋代左思《蜀

都赋》中的名句“既丽且崇，实号成都”．如图，在测量府河西岸的崇丽阁高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得120,15,303BDCBCDCD===米，在点C处测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB=（）A.156米B.153米C.2

06米D.303米【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理求得BC，进而在RtABC△中，利用tanABBCACB=求解．【详解】如图在BCD△中，120BDC=，15BCD=，303CD=，则1801201545CBD=−−=，由正弦定理得si

nsinBCCDBDCCBD=，所以sin303sin120452sinsin45CDBDCBCCBD===.在RtABC△中，30ACB=，所以tan452tan30156ABBCACB===米.故选：A.二、多项选

择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知12,zz是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的两

个根，其中11iz=+，则（）A.21iz=−B.2212zz=C.2p=D.2q=【答案】AD【解析】【分析】根据虚根成对原理得到21iz=−，即可判断A；再根据复数代数形式的乘法运算判断B；利用韦达定理判断C，D.【详解】因为12,

zz是关于x的方程()20,xpxqpq++=R的两个根，其中11iz=+，所以21iz=−，故A正确；221(1i)2iz=+=，222(1i)2iz=−=−，所以2212zz，故B错误；因为121i+1i2zzp+=+−==−，

所以2p=−，故C不正确；又12(1i)(1i)2zzq=+−==，故D正确.故选：AD.10.在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在50,100，按照)50,60，)60,70

，)70,80，)80,90，90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间)50,60的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（）A.100n=B.考生成绩的众数为75C.考生成绩的第70百分位数为7

6D.估计该市考生成绩的平均分为70.8【答案】BC【解析】【分析】根据频率分布直方图的特征先计算x，再计算样本容量判断A；由频率分布直方图计算众数、百分位数、平均数并估计总体判断BCD.【详解】对于A，

由频率分布直方图得()10.0040.010.030.040.01610x=−+++=，则322000.16n==，A错误；对于B，数据落在区间)70,80上的频率最大，因此考生成绩的众数为75，B正确；对

于C，前两组的频率之和为0.46，前三组的频率之和为0.86，故考生成绩的第70百分位数为0.700.467010760.860.46−+=−，C正确；对于D，考生成绩的平均分为550.16650.30.4750.185++++950.0470.6=，D错误．故选：BC11.如图，已

知二面角l−−的平面角为π3，棱l上有不同的两点,,,ABACBD，,AClBDl⊥⊥．若2ACABBD===，则下列结论正确的是（）A.点D到平面的距离是2B.直线AB与直线CD的夹角为π4C.四面体ABCD体积为233D.直线CD与平面所成角的正弦值

为64【答案】BCD【解析】【分析】补成正三棱柱，根据正三棱柱的性质即可求点面距离判断A，根据异面直线夹角定义求解判断B，根据等体积法求解判断C，通过作垂线，找到直线CD与平面所成角，解三角形求得该角大小，判断D.【详解】在平面内过B作与AC平行且相等的线段BE，连接EC，在平面内过A

作与BD平行且相等的线段AF，连接,,FDFCED，补成一个正三棱柱AFCBDE−，BDE△是边长为2的正三角形，所以D到平面的距离为点D到BE的距离3232=，所以A错误；因为ABFD∥，直线AB与直线CD的夹角即直线FD与直线CD的夹

角，又FDEC是正方形，所以夹角为π4，B正确；1112332233323ABCDDABCABCVVS−−====△，所以C正确；过C作CHAF⊥于H,因为,AClBDl⊥⊥，所以,ACABAFAB⊥⊥，又ACAFA=，,ACBD平面AFC，所以AB⊥平面AFC

，又AB平面ABDF，所以平面ABDF⊥平面AFC，所以CH⊥平面AEDB，故CDH为直线CD与平面所成角，的因为二面角l−−的平面角为π3，所以π3CAF=，又2ACABBD===，所以A

CF△是等边三角形，可得3CH=，1FH=，因为FDAB∥，所以FD⊥平面AFC，又FC平面AFC，所以FDFC⊥，在RtDFC中，由勾股定理可得222222CD=+=，在RtCHD中，36sin422CHCDHCD===,故D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题

5分，共15分．12.已知向量()2,1a=，()1,2b=则=ab______．【答案】4【解析】【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.【详解】因为()2,1a=，()1,2b=，所以21124ab=+=．故答案为

：4．13某小学运动会上，跳绳项目8位选手每分钟跳绳个数：选手选手1选手2选手3选手4选手5选手6选手7选手8个数141171160147145171170172则跳绳个数的中位数是______．【答案】165【解析】【分析】从小到大排列，选

择第4个和第5个数的平均数作为中位数.【详解】按照从小到大排列为141,145,147,160,170,171,171,172，故从小到大选择第4个和第5个数的平均数作为中位数，即1601701652+=.故答案为：16514.在三棱柱111ABCABC-中，11ABA

CBCAAAC====，若1ACBC⊥，则二面角11BACB−−的余弦值为______．.【答案】22211【解析】【分析】连接11,ACAC交于点E，连接11,ABAB交于点F，连接EF,可证明平面1ACB⊥平面11ACB，过点1B作1BMEF⊥有1BM

⊥平面1ACB过点M作1MNAC⊥于N，连接1BN，则1BNM即为二面角11BACB−−的平面角，过点,FB分别作11,FHACBQAC⊥⊥，计算可求二面角11BACB−−的余弦值.【详解】连接11,ACAC交于点E，连接11,ABAB交于点F，连接EF．1

1111,,,ACACACBCACBCCAC⊥⊥=⊥平面1ACB，又1ACQ平面11ACB，平面1ACB⊥平面11ACB．∵平面11ACB平面1ACBEF=，∴过点1B作1BMEF⊥有1BM⊥平面1ACB；此时FMFE=．过点

M作1MNAC⊥于N，连接1BN，则1BNM即为二面角11BACB−−的平面角，不妨设112AB=，经计算可得：111BMCE==．过点,FB分别作11,FHACBQAC⊥⊥．∵F是EM中点，且为1AB

中点，2MNFHBQ==，11112222633222,,cos331123BCABBQMNBNBNMAC======．二面角11BACB−−的余弦值为22211.故答案为：222.11四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．15.记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cosbcA=．（1）试判断ABC的形状；（2）若1c=，求ABC周长的最大值．【答案】（1）直角三角形（2）12+【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得2222bcab

cbc+−=，化简可得结论；（2）由（1）可得sin,cosaAbA==，进而可得ABC周长为1sincosAA++，利用辅助角公式可求最大值.【小问1详解】由cosbcA=，和余弦定理得2222bcabcb

c+−=，即222+=abc，所以π2C=．所以ABC是直角三角形．【小问2详解】由（1）知ABC是直角三角形，且1c=，可得sin,cosaAbA==．所以ABC周长为π1sincos12sin124AAA++=+++，所以当π4A=时，即AB

C为等腰直角三角形，周长有最大值为12+．16.如图，在四边形ABCD中，120,2,3BABAD===，且,1BCkADABBC==，若P，Q为线段AD上的两个动点，且||1PQ=.（1）当P为AD中点时，求CP的长度；（2）求CPCQ的最小值.的【答案】（1）132（2）1

14【解析】【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得12CPBABC=+，结合向量的几何意义和数量积的定义即可求解；（2）设AQmBC=（02m），根据平面向量的线性运算可得(1)CQBAmBC=+−，CPBAmBC=+，利用数量积的运算律可得CQCP2311()24m=−+，结合二次函数的

性质即可求解.【小问1详解】由BCkAD=，得//BCAD，因为1,120,2ABBCBAB===，所以1BC=，又1122CPCBBAAPCBBAADBABC=++=++=+，所以222111113()422cos12024422CPBABCBABABCBC=+=++=++

=；【小问2详解】设AQmBC=，02m，则(1)CQCBBAAQBAmBC=++=+−，CPCBBAAPBAmBC=++=+，所以222[(1)][](21)()CQCPBAmBCBAmBCBAmBABCmmBC

=+−+=+−+−2231135()24mmm=−+=−+，当32m=时，CQCP取到最小值，且为114.17.用分层随机抽样从某校高一年级800名学生的化学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样

本数据分为6组：)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分

布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人数；（2）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【答案】（1）9

6（2）平均数和方差分别为72.5和148【解析】【分析】（1）求得成绩不低于80分的频率为0.3，可估计高一年级男生中成绩优秀人数.（2）利用分层抽样的平均数与方差计算公式可求总样本的平均数和方差.【小问1详解】成绩不低于80分的频率为()0.0250.005100.3+=，所

以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：0.340896=．所以估计高一年级男生中成绩优秀人数为96人．【小问2详解】设男生成绩样本平均数为71x=，方差为2187.75xs=，女生成绩样本平均数73.5y=，方差为2119ys=，总

样本平均数为z，方差为2s．406072.5100100zxy=+=．222224060()()100100xyssxzsyz=+−++−224060187.75(7172.5)119(73.572.5)148100

100=+−++−=．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．18.如图，四边形ABCD为梯形，,90,222ABCDABCABCDBC====∥．等腰直角三角形ADM中，,AMDMO=为腰AD的中点，平面ADM⊥平面ABCD．的（1）求异面

直线AM与BD所成角的大小；（2）求证：AM⊥平面BDM；（3）求OM与平面MBC所成角的正切值．【答案】（1）90（2）证明见解析（3）322【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得BDAD⊥，进而由面面垂直的性质可得BD⊥平面ADM，从而可得AMBD⊥，可求异面直线

AM与BD所成角的大小；（2）可证AMDM⊥，结合（1）可证AM⊥平面BDM．（3）取BC的中点为T，连接,OTMT．则BCOT⊥，进而可得BC⊥平面OMT，过点O作OHMT⊥于点H，OMH为直线OM与平面

MBC所成的角，求解即可.【小问1详解】因为,90,222ABCDABCABCDBC====∥，所以2,2BDAD==，于是222ABBDAD=+，所以BDAD⊥，又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM平面,ABCDADBD=平面ABCD，所以BD⊥平面ADM，又AM

平面ADM，所以AMBD⊥．异面直线AM与BD所成角的大小为90．【小问2详解】等腰直角三角形ADM中，AMDM=，所以AMDM⊥．由（1）知AMBD⊥，又,DMBDDDMBD=,平面BDM，所以AM⊥平面BDM．【小问3详解】取BC的中点为T，连接,OTMT．则BCOT

⊥．因为O为腰AD的中点，AMDM=，所以OM⊥平面ABCD，从而OMBC⊥，又OMOTO=，,OMOT平面OMT，所以BC⊥平面OMT．又BC平面OMT，所以平面OMT⊥平面BCM．过点O作OHM

T⊥于点H．所以OH⊥平面MBC．设OM与平面MBC所成角为，又23,22OMOT==，所以3322tantantan222OTOMHOMTOM=====．所以直线OM与平面MBC所成角的正切值为322．19.在四面体ABCD中，,ABaCDb==，记四面体ABC

D的内切球半径为r．分别过点,,,ABCD向其对面作垂线，垂足分别为1234,,,HHHH．（1）是否存在四个面都是直角三角形的四面体ABCD？（不用说明理由）（2）若垂足1H恰为正三角形BCD△的中心，证明：22223343b

abrabb−=−+；（3）已知2024ab+=，证明：253r．【答案】（1）存在；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）作出图形并推理说明.（2）根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征，利用体积法列式计算即得.（3）利用体积法建立等式，计算得123411111rAHBH

CHDH=+++，再利用不等式性质及基本不等式求解即得.【小问1详解】存在．在四面体ABCD中，若AB⊥平面BCD，BCCD⊥，则四面体ABCD的四个面都是直角三角形.由AB⊥平面BCD，,,BCBDCD平面

BCD，得,,ABBCABBDABCD⊥⊥⊥，又BCCD⊥，,,BCABBBCAB=平面ABC，则CD⊥平面ABC，而AC平面ABC，因此ACCD⊥，所以,,,ABCABDACDBCD都是直角三

角形.【小问2详解】连接1BH，并延长交CD于点E，连接AE，由1H是正BCD△的中心，得ABACAD==，E是CD中点，则,BECDAECD⊥⊥，133,23BEbBHb==，222211()422AEADCDab=−=−，22222221133

(),334BCDbAHABBHabaSb=−=−=−=，221442DABABCCDAbabSSCDSAE====−，22222211133334312ABCDBCDbbabVSAHba−==−=，222113

43()(3344)ABCDCDADABABCBCDbabVSSSSrbr−=+++=+，于是22222231343()12344babbabbr−−=+，所以22223343babrabb−=−+．【小问3详解】13()ABCDBCDCDADABABCVSSSSr=+++，12

3411113333ABCDBCDCDADABABCVSAHSBHSCHSDH====△△△△，因此123433333ABCDABCDABCDABCDABCDBCDCDADABABCVVVVVSSSSrAHBHCHDH=+++=+++△

△△△，则123411111rAHBHCHDH=+++，显然1234,,,AHaBHaCHbDHb，于是11111112()raabbab+++=+，则22()22241012112abababrababab++===+++，所以253r．