【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题30 正弦定理和余弦定理 Word版无答案.docx，共(9)页，713.367 KB，由小赞的店铺上传

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专题30正弦定理和余弦定理知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：利用正弦定理、余弦定理解三角形题型二：判断三角形的形状题型三：与三角形面积有关的问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：

训练五：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【考点预测】1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin

A＝bsinB＝csinC＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c

2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(

3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解【常用结论】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A

＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC．(2)cos(A＋B)＝－cosC．(3)sinA＋B2＝cosC2.(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋cc

osA；c＝bcosA＋acosB．【方法技巧】1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.2.

正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.3.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代

数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.5.与三角形面积有关问题的

解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.二、【题型归类】【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形【典例1】(2021·北京

)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为

S△ABC＝334.【典例2】(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.【典例

3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC.(1)求A；(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝13，求a.【题型二】判断三角形的形状【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A．

若tanA＋tanB＋tanC>0，则△ABC是锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形D．若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是等边三角形【典例3】在△

ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．非钝角三角形【题型三】与三角形面积有关的问题【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为

________．【典例2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝3ab，且acsinB＝23sinC，则△ABC的面积为________．【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对

边分别为a，b，c，已知csinA＋π3－asinC＝0.(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积为3，周长为6，求a的值．三、【培优训练】【训练一】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积

的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14a2c2－a2＋c2－b222.若a2sinC＝2sinA，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为()A．3B．1C．32D．12【训

练二】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1tanA，1tanB，1tanC依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是()A．a，b，c依次成等差数列B.a，b，c依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a

3，b3，c3依次成等差数列【训练三】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为32accosB，且sinA＝3sinC．(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，

求BD的长．【训练四】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即

工厂与村庄的距离最远)?【训练五】(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

四、【强化测试】【单选题】1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b＝()A．3B．22C．2D．32.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝7，c＝4

，cosA＝74，则△ABC的面积为()A．37B．372C．9D．923.在△ABC中，已知C＝π3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27B．7C．22D．234.在△ABC中，A，B，C的

对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sinC＝2sinB，则其最小内角的余弦值为()A．－24B．24C．528D．345.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则ab等于()A.32B.43C.2D.36.在△ABC中，

角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于()A.152B.112C.3154D.31587.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C等于()A.π2B.π3C.π4D.π68.已知△ABC的内角A，

B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cos2A＝－725，则△ABC外接圆半径为()A．5B．3C.52D.32【多选题】9.在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是()A．b＝7，c＝3，C＝30°

B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝33，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°10.下列命题中，正确的是()A．在△ABC中，若A>B，则sinA>sinBB．在锐角三角形ABC中，不等式sinA>cosB恒成立C

．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形11.某人向正东走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走3km，结果离出发点恰

好3km，那么x的值是()A.3B．23C．3D．612.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A．若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>π2，则sinA>cosBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符

合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形【填空题】13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则c＝.14.在△ABC中，A＝60°

，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积为________．15.在△ABC中，C＝60°，且asinA＝2，则△ABC的面积S的最大值为．16.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝.【解答题】17.在△A

BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝423bc.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的面积为2，且2sinB＝3sinC，求△ABC的周长．18.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asi

nB＋bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝25，b＝2，求边c的长．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3acosC＝(2b－3c)cosA．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求△ABC面

积的最大值．20.在①(a－c)(sinA＋sinC)＝b(sinA－sinB)；②2ccosC＝acosB＋bcosA；③△ABC的面积为12c(asinA＋bsinB－csinC)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为

a，b，c，且．(1)求角C；(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝3，求a，b的值．21.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cos∠ADC＝17.(1)求BD；(2)若cos∠CAD＝32，求△ABC的面积．22.

(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sinA＋3sinC＝22，求C.