【文档说明】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析【武汉专题】.docx，共(26)页，2.048 MB，由小赞的店铺上传

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华中师大一附中2022-2023学年度下学期高二期中检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列na的前n项和nS，若23141540aaaa+++=，则16S=（）A.150B.160C.170D.180

【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质计算出21531420aaaa+=+=，再利用求和公式变形得到答案.【详解】因为na为等差数列，所以215314aaaa+=+，因为23141540aaaa+++=，所以21531420aaaa+=+=，(

)()116162151681602aaSaa+==+=.故选：B2.曲线2122yx=+在点51,2−处的切线的倾斜角为（）A.34B.4C.23D.3【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义

得到点51,2−处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=yx，所以在点51,2−处的切线的斜率为-1，倾斜角为34.故选：A.3.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数()()gxxfx=的图象如图所示，则下列结论中一

定成立的是（）A.()fx有三个极值点B.()2f−为函数的极大值C.()fx有一个极大值D.()1f−为()fx的极小值【答案】C【解析】【分析】根据x的正负以及()gx的正负，判断()fx的正负，得到()fx单调性并可得

到极值点.详解】解：()()gxxfx=，并结合其图象，可得到如下情况，当<2x−时，()0,()0gxfx，()fx在(,2)−−单调递减；当20x−时，()0,()0gxfx，()

fx在(2,0)−单调递增；当01x时，()0,()0gxfx，()fx在(0,1)单调递增；当1x时，()0,()0gxfx，()fx在()1,+单调递减；∴()fx在2x=−取得极小值，在1x=处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错，C正确；故选:C.4.“米”是象形

字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=−Cypxp和()22:20Cypxp=构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C，2C的焦点分别为1F，2F，点P在拋物线1C上，过点P作x轴的平行线交抛物线2C于点Q，若124==PFPQ，

则p=（）A.2B.3C.4D.6【【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性求出P点横坐标，再由抛物线定义求出p即可.【详解】因为24PQ=，即2PQ=，由抛物线的对称性知1px=−，由抛物线定义可知，1

||2PpPFx=−，即4(1)2p=−−，解得6p=，故选：D5.已知函数()()()2e1xfxxax=−+−，若对任意两个不等的实数12,xx，都有()()12121fxfxxx−−，则a的最大值为（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】B【

解析】【分析】根据函数的单调性的定义及函数单调性与导数正负的关系，将所求问题转化为恒成立，再将恒成立问题转化为求函数的最值，利用导数法求函数的最值即可.【详解】不妨设12xx，因为()()12121fxfxxx−−，所以()()1122fxxfxx−−．构

造函数()()()2exgxfxxxax=−=−−，所以()()12gxgx，所以()gx在R单调递增，故()()1e0xgxxa=−−在R恒成立，即()1exax−在R恒成立．令()()1exhxx

=−，则()exhxx=．令()0hx=，则e0xx=，解得0x=，当0x时，()0hx，当0x时，()0hx，所以()hx在(),0−上单调递减，在)0,+上单调递增．()()01hxh=−，即1a−．所以a的最大值为1−.故选：B

..6.()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，有()()20xfxfx+恒成立，则（）A.()()142ffB.()()142ff−−C.()()4293ffD.()()4293ff−−【答案】BD【解析】【分析】令()()2gxxfx

=，求导，根据()()20xfxfx+，得到()()2gxxfx=在()0,+上递增，再根据()fx是定义在R上的奇函数，得到()gx在R上的单调递增求解.【详解】解：令()()2gxxfx=，则()()()2gxxxfxfx=+

，因为()()20xfxfx+，所以()0gx，则()()2gxxfx=在()0,+上递增，又2yx=是偶函数，且()fx是定义在R上的奇函数，所以()()2gxxfx=是定义在R上的奇函数，则()gx在

R上单调递增，所以()()21gg，即()()421ff，故A错误；()()12gg−−，即()()142ff−−，故B正确；()()32gg，即()()9342ff，故C错误；()()23gg−−，即()()4293ff−−，故正确，故选：BD7

.已知函数2()cosfxxx=−−，若67(e)pf−=，8(ln)7qf=，1()7rf=−，则,,pqr大小关系为（）A.rqpB.prqC.qrpD.rpq【答案】B【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调

性，再利用不等式e1xx+，ln1−xx，放缩不等式，利用单调性，即可比较大小.【详解】()fx为偶函数，则6781e,ln,77pfqfrf−===.又当0x时，()2sinfxxx=−+，()2cos0fxx=−+，

则()fx在()0,+上单调递减，()()00fxf=，∴()fx在()0,+上单调递减，设()e1xgxx=−−，()e1xgx=−，当(),0x−，()0gx，()gx单调递减，当()0,x+，()0gx，()gx单调递

增，所以当0x=时，()gx取得最小值，()00g=，所以1xex+，0x=时，等号成立，所以6761e177−−+=，设()ln1hxxx=−+，()111xhxxx−=−=（0x），当()0,1x时，()0hx，()

hx单调递增，当()1,x+时，()0hx，()hx单调递减，所以当1x=时，()hx取得最大值，()10h=，则ln1−xx，1x=时，等号成立，所以881ln1777−=，∴6718eln077−，∴6718ln77feff−

，故选：B8.已知函数()1exxfx+=.若过点()1,Pm−可以作曲线()yfx=三条切线，则m的取值范围是（）A.40,eB.80,eC.14,ee−D.18,ee【答案】A【

解析】【分析】切点为0001,exxx+，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001eexxxxyxx+−−=−，可得()0201exxm+=，设()()21exxgx+=，求()gx，利用导数求()gx的单调性和极值

，切线的条数即为直线ym=与()gx图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,exxx+，由()1exxfx+=可得()()2ee1eexxxxxxfx−+−==，所以在点0001,exxx+处的切线的斜率为()

000exxkfx−==，所以在点0001,exxx+处的切线为：()000001eexxxxyxx+−−=−，因为切线过点()1,Pm−，所以()0000011eexxxxmx+−−=−−，即()0201

exxm+=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线ym=与()gx图象交点的个数，设()()21exxgx+=，则()()()2222211eexxxxxxgx+−++−+==由()0gx可得11x−，由()0gx可得：1x−或1x，所以()()21exxg

x+=在(),1−−和()1,+上单调递减，在()1,1−上单调递增，当x趋近于正无穷，()gx趋近于0，当x趋近于负无穷，()gx趋近于正无穷，()gx的图象如下图，且()41eg=，要使ym=与()()21exxgx+=的图象有三个交点

，则40em.则m的取值范围是:40,e.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2lnfxx

x=，则（）A.()0fx恒成立B.()fx是12e,−+上的增函数C.()fx在12ex−=取得极小值12e−D.()fx只有一个零点【答案】BCD【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性可知B正确；

利用导数求出函数的极小值可知C正确；当01x时，()0fx，可知A错误；求出函数的零点，可知D正确．【详解】因为()2lnfxxx=，该函数的定义域为()0,+，()()212ln2ln1fxx

xxxxx=+=+，当120ex−时，()0fx，此时函数()fx单调递减，当12ex−时，()0fx¢>，此时函数()fx单调递增，所以111221()eelne2efxf−−−===−极小值，

故B正确，C正确；当01x时，ln0x，此时()2ln0fxxx=，A错误；由()2ln0fxxx==，可得ln0x=，解得1x=，D正确．故选：BCD10.已知动点P在双曲线22:13yCx−=上，双曲线C的左､右焦点分别为12FF､，

下列结论正确的是（）A.双曲线C的离心率为2B.双曲线C的渐近线方程为33yx=C.动点P到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点P在双曲线C的左支上时，122PFPF的最大值为18【答案】ACD【解析】【

分析】根据双曲线的性质可判断A,B，利用点到直线距离公式可判断C，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A和B，双曲线22:1,1,3,23yCxabc−====，所以双曲线C的离心率为e2==ca，

渐近线方程为3yx=，A选项正确，B选项错误；对C，设点P的坐标为()00,xy，则220013yx−=，双曲线C的两条渐近线方程分别为30xy−=和30xy+=，则点P到两条渐近线的距离之积为22000000222

23333,44(3)(1)(3)1xyxyxy−+−==+−+C选项正确；对D，当动点P在双曲线C的左支上时，12111,22PFcaPFaPFPF−==+=+，()11122221111111111484442424PFPFPFPFPFPFPFPFP

FPFPF====++++++，当且仅当12=PF时，等号成立，所以，122PFPF的最大值为18，D选项正确.故选:ACD.11.记等比数列na的前n项和为nS，前n项积为nT，且满足11a，20221a，20231a，则（）A.2022

202410aa−B.202220231SS+C.2022T是数列nT中的最大项D.40451T【答案】AC【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和所给的条件得出01q，再根据等比中项即可判断选项A，B；再根据数列的单调性判断选项C；根据等比

数列下标和性质判断D.【详解】数列na的公比为q．对于A，∵11a，20231a，∴202301a，又20221a，∴01q．∵22022202420231aaa=，∴2022202410a

a−，故A正确；对于B，∵20231a，∴2023202320221aSS=−，即202220231SS+，故B错误；对于C，∵01q，11a，∴数列na递减数列，∵20221a，20231a，∴2022T是数列nT中的最大项，故C正确；对

于D，()()()24044404512340451111Taaaaaaqaqaq==()()404540454045123404440452022404520221112023aqaqa

qa++++====，∵202301a，∴()404520231a，即40451T．故D错误．故选AC．12.已知0a，0b且1b−，()()e1ln1aabb=−+，则下列说法中正确的是（）A.abB.若方程1bm

a+=有且仅有一个解，则em=C.若关于b的方程1bma+=有两个解1b，2b，则122e2bb+−D.当0a时，11222abb++【答案】ACD【解析】【分析】首先对()()e1ln1aabb=−+作出解释，推出

a与b的关系，根据推出的关系对每一项所提出的是问题解释其几何意义，构造函数，根据函数的单调性求解.【详解】由题意，()()()ln1e1ln1,e1aabaabbb+=−+=−，令()()()ln1,e1xxxfxgxx+==−，(

)0x，则()()e1ln1aabb=−+等价于当()()fxgxn==时对应的x的值，令()()()()ln1,e1,,ln1e1tttxtxgxtx+==−==+−，考察函数()fx，()()()'21e1e1xxxfx−−=−，令()()()'1e1,ex

xhxxhxx=−−=−，当x＞0时，()()'0,hxhx＜单调递减，当0x＜时，()()'0,hxhx＞单调递增，()()()max00,0hxhhx==，()'0fx＜，()fx是单调递减的；当x

＞0时，()e10,0xfx−＞＞，当0x＜时，e10x−＜，()0fx＞，函数图象如下图：()ln1ab=+，()ln1abbb−=+−，构造函数：()()ln1pxxx=+−，则()'1xpxx=−+，当x＞0时，()'0px＜，()px单调递减

，当0x＜时，()()'0,pxpx＞单调递增，()()()max00,0pxppx==，当0x=时等号成立，由于0,0ab，ab＜，A正确；对于B，1bma+=有并且只有一个解，由A知：()11ln1bbab++=+，考察函数()()0,

1lnxpxxxx=＞，()()'2ln1lnxpxx−=，当ex＞时，()()'0,pxpx＞单调递增，当ex＜并且1x时，()()'0,pxpx＜单调递减，当1x＞时，()0px＞，当01x＜＜时，()0px＜，在ex=处，取得极小值()eep=，

当x从小于1的方向趋近于1时，()px趋向于−，当x从大于1的方向趋向于1时，()px趋向于+，当x趋向于0时，()px趋向于0，函数图象大致如下：所以当0m＜时，方程1bma+=也是一个解，B错误；对于C，

方程1bma+=有2个解12,bb，由B知：em＞，122e2bb+−＞即()()12112ebb+++＞，由A知：()ln1ab=+，12121e,1eaabb+=+=，原方程为eama=有2个解12,aa，即12ee2eaa+＞，由基本不等式知：()121212ee2

e,aaaaaa++＞，由B知：0b＞，()ln10ab=+＞，只需证明122eeaa+＞即可，即122aa+＞，设()exkxx=，()0x＞，则()'1exxkxx−=，当01x＜＜时，()()'0,kxkx＜单调递减，当1x＞时，()()'0,kxkx＞单调递增，()1

ek=，函数图象大致如下：()kxm=对应的2个解为1122,xaxa==，显然1201,1xx＜＜＞，要证12122aaxx+=+＞，只需证明212xx−＞，1121,21,1xxx−＜＞＞，当1x＞时，()kx是增函数，所以即证()()212kxkx−

＞，由()()12kxkxm==得，()()112kxkx−＞，1(01)x＜＜，即证()()1120kxkx−−＞，即证()()()2ee20,012xxkxkxxxx−−−=−−＞＜＜，即()()22ee

02xxxxxx−−−−＞，即()22ee0xxxx−−−＞，构造函数()()()()()()2'22ee,01,1eexxxxnxxxxnxx−−=−−=−−＜＜，()()2'01,ee,0,xxxnxnx−＜＜＜＜是减函数，又()()10,0nnx=＞，()()1

120kxkx−−＞，命题得证；C正确；对于D，110,222aabb++＞＜，()ln1,0abb=+＞，原不等式化简为()()12ln111bbb++−+＜，令1,1tbt=+＞，则有12lnttt−＜，构造函数()()()()22'22211

21212ln,1,10tttwttttwtttttt−−+=−+=−−=−=−＞＜，()wt是减函数，()()10,0wwt=＜，即()()12ln111bbb++−+＜，D正确；故选：ACD.三、填

空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项数列na前n项和为nS，若12a=，23a=，122nnnaaS+=+，则10S的值为______.【答案】65【解析】【分析】运用1nnnaSS−=−（2n且Nn）可得{}na的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列

，进而求得{}na的通项公式，代入122nnnaaS+=+可得{}nS通项公式，赋值可得结果.【详解】∵12a=，23a=，122nnnaaS+=+，①当2n时，1122nnnaaS−−=+，②①-②得：112nnnnnaaaaa+−−=（2n且Nn

），又∵0na，∴112nnaa+−−=（2n且Nn），∴{}na的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差都为2，∴2122(1)2kakk−=+−=（Nk），232(1)21kakk=+−=+（Nk），∴1nan=+，∴1(1)(2)nnaann+=++，

又∵122nnnaaS+=+，∴(1)(2)12nnnS++=−，∴10(101)(102)1652S++=−=.故答案为：65.14.函数()33fxxx=−在区间(2,)a−上有最大值，则a的取值范围是________．【答案】12]−（，【

解析】【分析】求函数3()3fxxx=−导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间(2,)a−上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间(2,)a−内，由此可以得到参数a的不等式，解不等式即可得到a的取值范

围【详解】3()3fxxx=−，2()33fxx=−，令()0fx解得11x−；令()0fx，解得1x或1x−，由此可得()fx在(,1)−−上是增函数，在(1,1)−上是减函数，在(1,)+上是增函数，故函数在=1x−处有极大值，在1x=处有极小值，1()(1)a

faf−−即3132aaa−−，解得12a−，故答案为：(1,2−15.已知m为常数，函数()2ln2fxxxmx=−有两个极值点，则m的取值范围是______.【答案】104m【解析】【分析】由题意可

知，()fx有两个变号零点，转化为1ln4xmx+=，然后在同一坐标系下研究4ym=，1lnxyx+=的交点个数问题.详解】由题意，()fx有两个极值点等价于()fx有两个变号零点，也等价于()0fx=有两个变号实根，由()1ln40fxxmx=+−=可得，1ln

4xmx+=，问题转化成考虑4ym=，1lnxyx+=在同一坐标系下图像有两个交点的问题.设1ln()xgxx+=，2ln()xgxx=−，故(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；故(1,)x+时，()0gx，()g

x单调递减.故()gx在1x=处取到极大值，也是最大值(1)1g=.由()0gx=解得1ex=为唯一零点，故可作出()gx大致图像如下：如图所示，当041m，即104m时，4ym=，1lnxyx+=两图像在同一坐标系下有两个交点，记为11

22(,),(,)AxyBxy.根据图像可知10xx时，1ln41ln40xmxmxx++−，即()0fx；12xxx时，1ln41ln40xmxmxx++−，即()0fx，说明

1x是()fx的变号零点.同理可说明2x也是变号零点，故104m符合题意.故答案为：104m【16.函数()()22e,022,0xaxxfxxaxax−=−+−+，且0a，若关于x

的不等式()0fx的解集为)2,−+，则实数a的取值范围为______.【答案】2e0,4【解析】【分析】当x＞0时，运用参数分离法，构造函数利用导数研究函数的性质即得，当0x时根据二次不等式的解法讨论a的范围进而即得.【详解】由题意知，当(

),2x−−时，()0fx；当2,0x−时，()0fx；当()0,x+时，()0fx．当x＞0时，()2e0xfxax=−，即2exax，构造函数()()'23e2,exxxgxgxxx−==，当＞2x时，()()'0,gxgx＞单调递增，当02x＜＜时

，()()'0,gxgx＜单调递减，()()2mine24gxg==，2e4a；当0x时，()()()2fxxxa=−+−，当(),2a−−时，由()0fx，得,2xa−，不合题意；当2a=−时，由(

)0fx，得2x=−，不合题意；当()2,0a−时，由()0fx，得2,xa−，0x，所以2,xa−，此时())2,0,2,a−+−+，不合题意；当()0,a+时，

由()0fx，得2,xa−，又0x，所以2,0x−，此时())2,00,2,−+=−+适合题意；综上，关于x的不等式()0fx的解集为)2,−+，则2e04a.故答案为：2e0,4.四、解答题：本题共6小题，共70

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等比数列na的前n项和为nS，且()*231nnSanN=−．()1求na的通项公式；()2若()()1311nnnnbaa+=++，求n

b的前n项和nT．【答案】(1)13nna−=．(2)3112231nnT=−+．【解析】【分析】()1利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()2利用()1的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】()1等比数列na的前n项和为nS，且()*2

31.nnSanN=−①当1n=时，解得11a=．当2n时11231nnSa−−=−②−①②得1323nnnaaa−−=，所以13(nnaa−=常数)，故11133nnna−−==．()2由于13nna−=，所以()()1133111123131nnnnnnbaa−+=

=−++++，所以011311113112313131312231nnnnT−=−++−=−+−+++．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力

和转换能力及思维能力，属于中档题型．18.某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知ABAD⊥，ABDC，且22ADDCAB===米，曲线段BC是以点B为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边

分别落在AD、DC上，且一个顶点P落在曲线段BC上.（1）建立适当的坐标系，设P点的横坐标为x，求矩形桌面板的面积关于x的函数；（2）求矩形桌面板的最大面积.【答案】（1）坐标系见解析，()()()2211Sxxx=+−，)0,1x（2）6427平方米

【解析】【分析】（1）以B为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，计算出曲线段BC的方程，设()()2,201Pxxx是曲线段BC上的任意一点，计算出PM、PN，即可表示出矩形桌面板的面积关于x的函数(

)Sx.（2）对()Sx求导，利用导数求出矩形桌面板的面积的最大值及其对应的x值，即可得出结论.【小问1详解】以B为原点，AB所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为()220xpyp=，且()1,2C，所以41p

=，即14p=，故点P所在曲线段BC的方程为()2201yxx=，设()()2,201Pxxx是曲线段BC上的任意一点，则在矩形PMDN中，222PMx=−，1PNx=+，桌面板的面积为()()()()(

)22221211SxPMPNxxxx==−+=+−，)0,1x【小问2详解】()()()()()()2411212113Sxxxxxx=+−−+=+−，当103x时，()0Sx，此时函数()Sx单调递增，当113x时，()0Sx，此时函

数()Sx单调递减，所以当13x=时，()Sx有最大值，164327S=.矩形桌面板最大面积为6427平方米.19.已知函数()()22e2xafxxxax=−−+，Ra.（1）当0a=时，求()fx在0x=处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性.【答案】（

1）20xy++=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程；（2）讨论0a，0ea，ea=，ea，结合导数得出函数()fx的单调性.【小问1详解】当0a=时，()()2exfxx=−，()()1exfxx=−

，()()0001e1f=−=−，()02f=−，∴切线方程为：()()()210yx−−=−−，即20xy++=.【小问2详解】因为()()22e2xafxxxax=−−+，Ra.所以()()()()1e1

exxfxxaxaxa=−−+=−−.①当0a时，令()0fx，得1x，∴()fx在(),1−上单调递减；令()0fx¢>，得1x，∴()fx在()1,+上单调递增.②当0ea时，令()0f

x，得ln1ax.∴()fx在()ln,1a上单调递减；令()0fx¢>，得lnxa或1x.∴()fx(),lna−和()1,+上单调递增.③当ea=时，()0fx在xR时恒成立，∴()fx在R单调

递增.④当ea时，令()0fx，得1lnxa.∴()fx在()1,lna上单调递减；令()0fx¢>，得lnxa或1x.∴()fx在(),1−和()ln,a+上单调递增.综上所述：当0a时，()fx在(),1−上

单调递减，在()1,+上单调递增；的在当0ea时，()fx在()ln,1a上单调递减，在(),lna−和()1,+上单调递增；当ea=时，()fx在R上单调递减；当ea时，()fx在()1,lna上单调

递减，在(),1−和()ln,a+上单调递增.【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数()fx的单调性.20.函数()ecosxfxx=，)0,x+，记nx为()fx的从小到大的第()*Nnn个极

大值点.（1）求数列nx的通项公式，并证明数列()nfx是等比数列；（2）若对一切*nN不等式()nnfxax恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）7π2π4nxn=−，证明见解析；（2）π422(,e]π−.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，再求出区间[0,)+

上的极值点nx，并求出()nfx结合等比数列定义判断作答.（2）利用（1）的结论结合已知分离参数，构造函数，再求出函数的最小值作答.【小问1详解】函数()ecosxfxx=，)0,x+，求导得π()ecosesin2ecos()4xxxfxxxx=−=+，若πππ2

π2π242kxk−++，即3ππ2π2π44kxk−+，Nk，则πcos04x+，()0fx¢>，若ππ3π2π2π242kxk+++，即π5π2π2π44kxk++，Nk，则πcos04x+，()0fx，于是当7π2π4xm=−，*Nm时

，()fx取得极大值，所以7π2π4nxn=−，*nN，此时()7π7π2π2π447π2ecos2πe42nnnfxn−−=−=，显然()0nfx，而()()()7π21π412π7π2π42e2e2e2nnnnfxfx+

−+−==是常数，所以数列()nfx是首项为()π412e2fx=，公比为2πe的等比数列.【小问2详解】对一切*nN不等式()nnfxax恒成立，即7π2π427πe2π24nan−−恒成立，等价于7π2π4e27π2π4nan−−恒成立，等价于e2nx

nax恒成立，设()()e0tgttt=，则()()2e1ttgtt=−，当01t时，()0gt，当1t时，()0gt，于是()gt在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，因为()11π40,x=，且当2n时，

()1,nx+，1nnxx+，1()()nngxgx+，π9ππππ2π64444412π4944e4e4()()e,()()eeee4π49π9π9πgxggxg=====，因此π4min14[()](

)eπngxgx==，于是π442eπa，解得π422eπa，所以实数a的取值范围是π422(,e]π−.21.已知椭圆E：()222210,0xyabab+=的离心率为22，其左、右焦点分别为1F，2F，T为椭圆E上任意一点，12TFF

△面积的最大值为1.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点()2,0P的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：xt=的垂线（点B，C在直线l的两侧）.垂足分别为M，N，记BMP，MNP△，CNP的面积分别为1S，2S，3S，试问：是

否存在常数t，使得1S，212S，3S总成等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）存在，1t=【解析】【分析】（1）椭圆a，b，c得关系以及条件列方程求解即可；（

2）依题意作图，设l的方程并与椭圆方程联立，求出123,,SSS得解析式，再根据等比数列的定义求解.【小问1详解】因为椭圆E的离心率为22，所以22ca=，又当T位于上顶点或者下顶点时，12TFF△面积最大，即1bc=，又222abc=+，

即222221cabcabc===+，解得1bc==，2a=，所以椭圆E的标准方程为2212xy+=；【小问2详解】由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，设直线BC的方程为()2ykx=−，()11,Bxy，()22,Cxy，不妨设12xx，则120yy，1

2xtx，由()22212ykxxy=−+=得()2222128820kxkxk+−+−=，所以()28120k=−，2122812kxxk+=+，21228212kxxk−=+，因为()11112Stxy=−，()221122S

tyy=−−，()32212Sxty=−，所以()()()()13211221121144SSxttxyyxttxyy=−−=−−()()()()221121224kxttxxx=−−−−()()221212121212

44ktxxxxtxxxx=+−−−++2222222222188282164412121212kkkkktkkkk−−=−−−+++++()()22222212222412kkttk=−−−++，()()()()2222222

21211112241616Styyktxx=−−=−−()()222211212416ktxxxx=−+−()2222222183282161212kkktkk−=−−++

()()()22222212222412kkttk=−−+−+，要使1S，212S，3S总成等比数列，则应有()2222tt−+=−解得1t=，所以存在1t=，使得1S，212S，3S总成

等比数列.【点睛】本题的难点在于计算很繁琐，需要用12,,,xxkt表达123,,SSS，难度并不大，计算过程需要仔细，每计算一步都要核对是否正确.22.已知()21ln2fxxxax=−有两个极值点1x，2x且12xx.（1）若()fx的极大值大于2e2，求a的范围；（2）

若122xx，证明：123ln2xxa+.【答案】（1）20e2a（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导()ln1fxxax=−+，由1x，2x是ln1xax=−的两根，得到12121ln1lnxxaxx++==，

设()1lnxhxx+=，利用导数法求得01a，2101xx，再由()()()ln1xfxxaxhxax+=−=−，得到1x为()fx的极大值点求解；，（2）易得11ln10xax−+=22l

n10xax−+=，设122xtx=，则有()2ln1txat=−，()1ln1ttxat=−，将问题转化为证()3ln21ln01ttt−−+即可.【小问1详解】解：()ln1fxxax=−+，∴1x，2x是ln1xax=−的两根，即121

21ln1lnxxaxx++==，设()1lnxhxx+=，∴()2lnxhxx−=，∴()0,1x时，()0hx，()hx单调递增；()1,x+时，()0hx，()hx单调递减，又()1e0h−=，()11h=，0x+→时，()hx→−；x→+时，()0hx→，∴01a，

2101xx，∵()()()ln1xfxxaxhxax+=−=−，∴()21,xxx时()0fx¢>，()fx单调递增，()1,xx+时()0fx，()fx单调递减，∴1x为

()fx的极大值点，∴()()()21111111111lnlnln122fxfxxxaxxxxx==−=−+极大值，()211111111elnln12222xxxxx=−=−，∴()211ln1exx−，令(

)()ln1gxxx=−()ln11lngxxx=−+=，∴()gx在()1,+上单调递增，∴()()221eegxg=，∴21ex，又()hx在()1,+单调递减，∴()()2123eeahxh==，∴20e2a；【小问2详解】11ln10xax−

+=22ln10xax−+=，设122xtx=，则有()2ln1txat=−，()1ln1ttxat=−，要证123ln2xxa+，∵0a，即要证()1ln3ln21ttt+−，2t，即要证()

3ln21ln01ttt−−+，构造()()3ln21ln01tttt−=−+()()()2226ln21ttttt−−+=+，设()()226ln21ttt=+−+∴()t在()2,+单调递增，∴()()20t∴()0t∴()t单调递增，

∴()()20t=得证.【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是由1x，2x是ln1xax=−的两根，得到12121ln1lnxxaxx++==，通过()1lnxhxx+=的单调性，得到01a，2101xx，进而由()()()ln1xfxxaxhxa

x+=−=−，得到1x为()fx的极大值点而得解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com