【文档说明】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析【武汉专题】.docx，共(25)页，1.468 MB，由envi的店铺上传

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华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期中检测数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：审题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线l的方向向量是(1,3)e=-，则直线l的倾斜角是（

）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解，【详解】由题意得直线l的斜率为3−，则直线的倾斜角是23，故选：C2.直线1:20lxmy+−=，

()2:230lmxmy+−−=，若12ll⊥，则m的值为（）A0B.1C.2D.0或1【答案】D【解析】【分析】根据两直线垂直可得出关于m的等式，即可得解.【详解】因为12ll⊥，则()()210mmmmm+−=−=，解得0m=或1.故选：D.3

.在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B.过点00(,)Pxy的直线方程都可以表示为：00()yykxx−=−C.经过两个不同的点()111,Pxy，()222,Pxy的直线方程都可以表示为

：()()()()121121=yyxxxxyy−−−−D.经过点()1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=【答案】C【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适

用范围，对每个选项进行逐.一分析，即可判断和选择.【详解】对A：当直线的倾斜角0,2时，倾斜角越大，斜率越大；当2=时，不存在斜率；当,2时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误；对B：当直线斜率不存在时，不可以用00()yyk

xx−=−表示，故B错误；对C：经过任意两个不同的点()111,Pxy，()222,Pxy的直线，当斜率等于零时，12yy=，12xx，方程为1yy=，能用方程()()()()121121yyxxxxyy−−=−−表示；当直线的斜率不存在时，12yy，12

xx=，方程为1xx=，能用方程()()()()121121yyxxxxyy−−=−−表示，故C正确，对D：经过点()1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=，0xy−=，故D错误.故选：C.4.已知直线:40lxy+−=上动点P，过点P向圆221xy+=引

切线，则切线长的最小值是（）A.7B.6C.221−D.22【答案】A【解析】【分析】根据切线长，半径以及圆心到点P的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.【详解】圆221xy+=，其圆心

为()0,0O，半径1r=，则O到直线l的距离4222d==；设切线长为m，则22211mOPOP=−=−，若m最小，则OP取得最小值，显然最小值为22d=，故m的最小值为21817d−=−=，即切线长的最小值

为7.故选：A.5.已知12,FF分别为椭圆22:19xEy+=的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形12PFF的重心，则点G的轨迹方程为（）A.2291xy+=B.2291(0)xyy+=C.221819xy+=D.221(0)819xyy+=【答案】B【解析】

【分析】设(,),(,)GxyPmn，利用三角形的重心坐标公式可得33mxny==，将其代入2219xy+=可得结果.【详解】12,FF分别为椭圆22:19xEy+=的左、右焦点，12(22,0),(22,0)FF−设(,),(,)GxyPmn，G点是三角形12PFF的重心

则22223003mxny−++=++=，得33mxny==，又P是椭圆E上一动点，()()223319xy+=，即2291xy+=，又G点是三角形12PFF的重心，0y所以点G的轨迹方程为2

291(0)xyy+=故选：B6.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，点1010(,)55ab关于直线yx=的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A.55B.12C.32D.22【答案】D【解析】【分析】求得点1010(,)55ab关于直线yx=的对称点的坐标，根据点的坐标满

足椭圆方程，整理化简求得22ba，再结合离心率计算公式求解即可.【详解】易知点1010(,)55ab关于直线yx=的对称点为1010,55ba，根据题意可得：222222155baab+=，故可得2212ba=或2，又ab，故2212ba

=；则离心率22121122cbeaa==−=−=.故选：D.7.过椭圆2222:1(0)xyCabab+=左焦点(),0Fc−作倾斜角为π6的直线l，与椭圆C交于A、B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为33c，则椭圆C的离心率为（）A.55B.12C.

32D.63【答案】D【解析】【分析】设()11,Axy、()22,Bxy、()00,Pxy，利用点差法，化简可得0022303xyab+=，结合已知条件可得13,26Pcc−，将其代入上式化简可求得结果.详解】设()11,Axy、()22,Bxy、()00

,Pxy，由题意得2211221xyab+=，2222221xyab+=，两式相减，得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，因为P为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为π6

，所以0022303xyab+=．因为(),0Fc−，直线AB的倾斜角为π6，33PFc=，易知点P在第二象限，则03π1cos)3(62ccxc−=−=−，03π3sin366ccy==，所以13,26Pcc−

，所以22316203ccab−+=，得223ab=，【所以2223()aac=−，即2223ac=，所以63cea==．故选：D.8.已知过定点(2,2)−的直线l与圆C：2266360xyxy++−−=相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满

足条件直线l的条数为（）A.11B.20C.21D.22【答案】C【解析】【分析】先求出AB的范围，找到AB为整数的条数即可.【详解】由已知圆2266360xyxy++−−=，得()()223354xy++−=所以圆心为()3,3C−，半径36r=，且78r设定

点为M(2,2)−，易知(2,2)M−在圆内，当MC与AB垂直时，50MC=，AB最小为254504−=当AB经过点()3,3C−时，此时AB最大为2254r=故4,254AB，即4,216

AB又因为，1421615，AB的长为整数所以当5,6,7,8,9,10,11,12,13,14AB=时，直线l的条数各为两条，当AB4=时，直线l的条数为一条，共21条.故选：C二、选择题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于曲线22:127xyCkk+=−−，下面说法正确的是（）A.若3k=，曲线C的长轴长为

4B.若曲线C是椭圆，则k的取值范围是27kC.若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是7kD.若曲线C是椭圆且离心率为22，则k的值为113或163【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线、椭圆的知识

对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】曲线22:127xyCkk+=−−，A选项，3k=，2214yx+=，则2,24aa==，A选项正确.B选项，若曲线C椭圆，则207027kkkk−−−−，解得27k且92

k，所以B选项错误.C选项，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则2070kk−−，解得7k，C选项正确.D选项，曲线C是椭圆且离心率为22，222222222211,22ccabbbaaaaa−===

−==，由B选项的分析可知27k且92k，当922k时，椭圆焦点在y轴上，2172kk−=−，解得113k=；当972k时，椭圆焦点在x轴上，7122kk−=−，解得163k=，所以k的值为113或163，D选项正确.故选：ACD

10.已知两圆方程为224xy+=与222(3)(4)(0)xyrr−++=，则下列说法正确的是（）A.若两圆外切，则3r=B.若两圆公共弦所在的直线方程为3420xy−−=，则=5rC.若两圆的公共弦长为23，则19

r=D.若两圆在交点处的切线互相垂直，则4r=【答案】AB【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.是【详解】设圆224xy+=为圆1C，圆1C的圆心为()10,0C，半径12r=.设圆222(3)(4)(0)xyrr−++=为圆2C，圆2C

的圆心为()23,4C−，半径1rr=.125CC=.A选项，若两圆外切，则1212,52,3CCrrrr=+=+=，A选项正确.B选项，由()()22222434xyxyr+=−++=两式相减并化简得2293402rxy−−+=，则222

92,25,52rrr−=−==，此时2121123,7,37rrrrCC−=+=，满足两圆相交，B选项正确.C选项，由()()22222434xyxyr+=−++=两式相减并化简得22934

02rxy−−+=，()10,0C到直线2293402rxy−−+=的距离为2229229510rrd−−==，所以22221232,43,1rddd=−−==，即22291,291010rr−=−=，则解得19r=或39r=，C选项

错误.D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为D，根据圆的几何性质可知12CDCD⊥，所以2222212125421,21rCDCCrr==−=−==，D选项错误.故选：AB11.已知,AB两点的距离为定值2，平面内一动点C

，记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，面积为S，下面说法正确的是（）A.若0CACB=，则S最大值为2B.若2ba=，则S最大值为22C.若4ab+=，则S最大值为3D.若1(tan)(tan)4C

ABCBA=，则S最大值为1【答案】BC【解析】【分析】设点坐标，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积1||||||2SAByy==，转化为由轨迹方程求||y的最大值即可得解.【详解】设(1,0),(1,0)AB−，动点(,)

Cxy，对A，0CACB=，即()()221,?1,10xyxyxy−−−−−=+−=，化简可得C的轨迹方程221(0)xyy+=，所以三角形ABC的面积1||||||12SAByy==，即C点为(0,1)时，三角形ABC面积最大，故A错误；对B，由题意可得222

2||(1)2||2(1)CAxyCBxy=++==−+，化简可得C的轨迹方程22(3)8(0)xyy−+=，所以1||||8222SABy==，即C点为(3,22)时，三角形ABC面积最大，故B正确；对C，由||||4||2C

ACBabAB+=+==知，动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），椭圆方程为221(0)43xyy+=，三角形ABC的面积1||||32SABy=，即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正

确；对于D，由题意()()221tantan1114yyyCABCBAxxx−−===+−−，化简可得C的轨迹方程()22410xyy+=，三角形ABC的面积1||||||2SAByy==，由双曲线中y的范围知，三角形ABC的面积的最大值为12

，故D错误.故选：BC12.已知12(,0),(,0)FcFc−分别为椭圆2222:1(0)xyEabab+=左、右焦点，下列说法正确的是（）A.若点T的坐标为1(,0)2a，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为12aB.若椭圆上恰有6个不同的点P

，使得12PFF△为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是的111,,1322C.若圆T的方程为22214xya+=，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得23APB=，则椭圆E的离心率的取值范围是6[,1

)3D.若点T的坐标为(0,)b，椭圆上存在点P使得433PTb=，则椭圆E的离心率的取值范围是3[,1)2【答案】BCD【解析】【分析】A选项，设出(),Pmn，,maa−，则22221mnab+=，表达出22342222221244caaPTmabacc

=−++−，分3202aac与322aac两种情况，得到不同情况下的线段PT长度的最小值，A错误；B选项，先得到上下顶点能够使得12PFF△为等腰三角形，再数形结合得到1F为圆心，12FF为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,PP两点，列出

不等式组22accac−，求出答案；C选项，分12ab与12ab两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，OPB最大，数形结合列出不等式3ab，最终求出离心率的取值范围；D选项，设(),Pmn，,,,maa

nbb−−，则22221mnab+=，表达出2222222cPTnbnbab=−−++，问题转化为2222213230cbnabnb++−=在,bb−上有解问题，数形结合得到()22222222,213Δ4403bbbcbcbbab−−=−−①②，求出离

心率的取值范围.【详解】设(),Pmn，,maa−，则22221mnab+=，22222222222222111244bmcPTmanmamabmamabaa=−+=−++−=−++，2234222221244caama

bacc=−++−，若bc，此时222ac，3202aac，此时当322amc=时，2PT取得最小值，最小值为4222144aabc+−，线段PT长度的最小值为4222144aabc+−；若bc，此时222ac，322aac，此时当ma=时，2

PT取得最小值，最小值为214a，线段PT长度的最小值为12a，综上：A错误；如图，椭圆左右顶点为,AB，上下顶点为,CD，显然上下顶点能够使得12PFF△为等腰三角形，要想椭圆上恰有6个不同的点P，

使得12PFF△为等腰三角形，以1F为圆心，12FF为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的12,PP两点，则要满足11FAFQ，且111FCFP，即22accac−，解得：13ca，且12ca，故椭圆E的离心率的取值范围是111,

,1322，B正确；若12ab，此时22214xya+=与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得23APB=，此时()2224aac−，即3,12ca；若12ab，即30,2ca时，如图所示：

连接OP，OB，显然12OBa=，OBPB⊥，则12sinaOBOPBOPOP==，因为sinyx=在π0,2上单调递增，要想OPB最大，只需sinOPB最大，故当OP最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，OPB最大，故当π

3OCB时满足要求，所以3sin22OBaOCBOCb==，即3ab，所以()2223aac−，解得：63ca，所以2,363ca，综上：若圆T的方程为22214xya+=，椭圆上存在

点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得23APB=，则椭圆E的离心率的取值范围是6,13，C正确；设(),Pmn，,,,maanbb−−，则22221mnab+=，()22222222222222anPTmnbm

nnbbannbbb=+−=+−+=−+−+222222cnbnbab=−−++椭圆上存在点P使得433PTb=，即2222221326cnbnbabb−−++=在,bb−上有解，即2222213230cbn

abnb++−=在,bb−上有解，令()222222133chnnbnabb=−++，注意到()222221340323hbbbbca−==−−+，()2222232131603bhbcbba=+=−+，故只需满足()22222222,213Δ440

3bbbcbcbbab−−=−−①②，由①得：22ca，由②得：2234ca或2214ca，综上：3,12ca则椭圆E的离心率的取值范围是3[,1)2，D正确.故选：BCD【点睛】离心率时椭

圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于,,abc的等式或不等式，并且根据

222bac=−化为,ac的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：一、借助平面几何图形中的不等关系；二、利用函数的值域求解范围；三、根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.三､填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线为3yx=，一个焦点为(2,0)，则=a______.【答案】1【解析】【分析】根据渐近线、焦点以及222acb=−求得a.【详解】依题意双曲线的渐近

线3,3bbyxxaa===，由焦点()2,0得2c=，由22232bacacb===−，解得1,3ab==.故答案为：114.写出使得关于,xy的方程组()()22111112yaxaxay−=+−−+−=无解的一个a的值为______.（写

出一个即可）【答案】5−，3，1（写出一个即可）【解析】【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过(1,2)，另一方程表示直线不过该点的情况得解.【详解】显然，当1a=时，()()211

12axay−+−=不表示直线，无解，故方程组无解；当1a时，由方程组可看作求两直线211yax−=+−（1x）与()()21112axay−+−=的交点，则方程组无解，即直线无交点，若两直线平行，则1(1)aa+=−+，解得1a=−.若两直线不平

行时，()()21112axay−+−=过点(1,2)，即22150aa+−=，解得5a=−或3a=，此时，211yax−=+−不过点(1,2)，方程组无解.综上，a的取值为5,3,1−.故答案为：5

−，3，1（写出一个即可）15.已知椭圆22:1167xyE+=的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是(1,3)，则||||PQPF+的最大值是______.【答案】13【解析】【分析】设椭圆左焦点(3,0)F−，根据椭圆的定义将||||PQPF+转化为2PQPFPQaPF+=

+−，结合图形的几何性质，即可求得答案.【详解】由22:1167xyE+=可知4a=，7b=，1673c=−=设椭圆左焦点(3,0)F−，则28PQPFPQaPFQF+=+−+228(31)(03)8513=+−−+−=+=

，当且仅当P，Q，F共线时且当P在QF的延长线上P时等号成立．||||PQPF+的最大值为13，故答案为：13.16.已知直线:30lxym++=与圆C：()()222216xy−++=相交于A，B两点，O为坐标原点，若,,,ABCO四点共圆，则m的值为__

____.【答案】4【解析】【分析】设出,,,ABCO所在圆M的圆心以及圆方程，根据圆心M坐标满足CO的垂直平分线，结合直线l为圆M与圆C的相交线直线，比较系数，即可求得结果.【详解】设,,,ABCO所在圆的圆心

为(),Mab，则圆M方程为()()2222xaybab−+−=+；又,CO的中点坐标为()1,1−，1COk=−，故CO垂直平分线的斜率1k=，则CO的垂直平分线所在方程为：11yx+=−，即2yx=−，故2ab=+；因为直线l为圆M

与圆C的相交弦，故两圆方程作差可得：()()2240axby−++−=，即()240bxby++−=，又直线l方程为30xym++=，则2431bbm+==−，解得3,4bm=−=.故答案：4.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出

文字说明､证明过程或演算步骤.17.直线l过点()1,1A，且倾斜角比直线112yx=+的倾斜角大4.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且距离为10，求直线m的方程.【答案】（1）320xy−−=；（2）38yx=+和312yx=−

.【解析】【分析】（1）设直线l的倾斜角为，直线112yx=+的倾斜角为，则由题意可得1,tan42=+=，再利用两角和的正切公式可求出tan，即可得直线l的斜率，从而可求出直线l的方程；（2）由题意可设直线m的方程为30xyn−+=，再利用两平行线间

的距离公式列方程求解即可.【小问1详解】设直线l的倾斜角为，直线112yx=+的倾斜角为，则题意得1,tan42=+=，为所以tantan4=+tantan41tantan4+=−11231112+==−，所以直线l的方程为13(1)yx−=−，即32

0xy−−=，【小问2详解】由题意可设直线m的方程为30xyn−+=，因为直线m与直线l的距离为10，所以2221031n−−=+，解得=8n或12n=−，所以直线m的方程为38yx=+和312yx=−.18.已知三点(0,0),(4,0),(0,2)OPQ都在圆222:()()Cxay

br−+−=上.（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点,AB，且以AB为直径的圆恰好过点C，求直线l的方程.【答案】（1）()()22215xy−+−=（2）150xy−−+=或150xy−−−=【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C的方程.（2）设出直线l的方程，根据“以AB为直径的圆恰好过点C”求得C到直线l的距离，结合点到直线的距离公式求得直线l的方程.【小问1详解】由题意知三点()0,0O，()4,0P，()

0,2Q构成的OPQ△是以PQ为斜边的直角三角形，所以覆盖它且面积最小的圆是OPQ△的外接圆，故圆心是线段PQ的中点()2,1C，半径2242522PQr+===，所以圆C的方程是()()22215xy−+−=.【小问2详解】设直线l的方

程是：yxm=+，即0xym−+=，因为以AB为直径的圆恰好过点()2,1C，CACB⊥，所以圆心C到直线l的距离是210522=，即222110211m−+=+解得：15m=−.所以直线l的方程是：150xy−−+=或150xy−−−=.19.已知圆22:64120Cxy

xy+−−+=.（1）求过点()2,0且与圆C相切的直线方程；（2）已知点()()2,02,2AB−，．则在圆C上是否存在点P，使得2228PAPB+=？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）2x=或3460xy−−=；（2）存在，点P的个数为2,理由见解析【解析】【分析】（1

）由点到直线的距离公式列式求解，（2）由题意列式得P轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，【小问1详解】由题意圆C：()()22321xy−+−=，圆心()3,2C，半径1r=，1）当直线l的斜率不存在时，直线l：2x=，符合题意；2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方

程为：()2ykx=−即20kxyk−−=，则圆心C到直线l的距离232211kkdk−−==+，解得34k=，所以直线l的方程为()324yx=−即3460xy−−=综上，直线l的方程为2x=或3460xy−−=；【小问2详解】假设圆C上存在点P，

设(),Pxy，则C：()()22321xy−+−=，又()()()()222222202228PAPBxyxy+=++−+−+−=，即()2219xy+−=，P的轨迹是圆心为()0,1，半径为3的圆.因为()()2231302131−−+−+，所以圆C：()()223

21xy−+−=与圆()2219xy+−=相交，所以点P的个数为220.如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形，,23ABCABAP===，PA⊥底面ABCD，,EF分别是线段,PBPD的中点，G是线段PC上的一点（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面A

EF所成角为45.①若PEG和PBC的面积分别记为12,SS，试求12SS的值；②求三棱锥的PEFG−体积.【答案】（1）证明见解析（2）①38；②38【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明.（2）①利用向量法和三角形面积公式即可求得12SS的值

，②利用等体积法即可求得体积.【小问1详解】∵E，G分别为线段PB，PC，∴EGBC∥，又∵BCAD∥，∴EGAD∥，EG面PAD，AD面PAD，∴EG∥面PAD.【小问2详解】分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐

标系Axyz−，如图所示，()0,00A,，()310B−,,，()31,0C,，()0,02P,，()020D,,，31122E−,,，()011F,,，31,,122AE=−，()0,1,1

AF=，设平面AEF的法向量(),,mabc=，则00AEmAFm==，所以310220abcbc−+=+=，取()3,1,1m=−，设PGPC=()01，则()()()0,0,23,1,23,,

22AGAPPGAPPC=+=+=+−=−则()222622sincos,25322mAG−===++−，整理得28230−−=，解得34=或12=−（舍去)，①1sin1133212248sin2PEGPCBPEPGEPGPEPGSSPBPCPBPCEPG=

====△△②∵12PEFGFPEGDPEGVVV−−−==，且38PEGPCBSS=△△11333313342228161616348PEFGFPEGDPEGDPBCAPBCPABCVVVVVV−−−−−−==

=====21.已知椭圆E：()222210xyabab+=的离心率为12，点31,2P在椭圆E上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆E交于,AB两点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求△AOB面积的最大值以

及此时直线l的方程.【答案】（1）22143xy+=；（2）最大值为32，此时直线l的方程=1x−.【解析】【分析】（1）根据已知条件，列出,,abc满足的等量关系，求得,,abc，则椭圆方程得解；（2）对直线l的斜率进行讨论，在斜率存在时，联立直

线方程和椭圆方程，结合韦达定理求得弦长和点到直线的距离，即可表达出三角形面积关于参数的函数关系，进而求函数的最大值即可.【小问1详解】根据题意可得：12ca=，221914ab+=，又222abc=+，

解得24a=，23b=，21c=，故椭圆E的标准方程为：22143xy+=.【小问2详解】①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：1xmy=−，联立椭圆方程：22143xy+=可得：(

)2234690mymy+−−=，设A，B的坐标分别为()11xy，，()22xy，，则122634myym+=+，122934yym=−+，()()222121221211434mABmyyyym+=++−=+，点O到直线AB的距离211dm=+，22161234OABmSAB

dm+==+△，令)211mt+=+，，则221mt=−，故21661313OABtSttt==++对函数13ytt=+，)1t+，，易知13ytt=+在)1+，单调递增，113ytt=+在)1+，单调递减，故32OABS，当且仅当1t

=，即0m=时取得等号；故△OAB面积的最大值为32，此时直线l的方程=1x−.下证：()13fxxx=+在)1,+单调递增.在)1,+上任取12,xx，且12xx，故()()()()2212121

21212133xxfxfxxxxxxxxx−−=−+=−−，因为121xx，故120xx−，12130xx−，即()()12fxfx，故()fx在)1,+上单调递增.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的

面积问题；第二问处理的关键是能够利用弦长公式和点到直线的距离公式表达出面积关于参数的函数关系，以及能够利用函数单调性求解函数的最值，属中档题.22.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12

,FF，焦距为22，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足120MFMF=，且12MFF△的面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左､右顶点分别为,AB，直线l交椭圆C于,PQ两点，记直线AP的斜率为1k，直

线BQ的斜率为2k，已知122kk=.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点,T使得TH为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）22142xy+=（2）存在，203T，【解析】【分析】（1）根据已知条件

，结合椭圆定义，解得,,abc，即可求得椭圆方程；（2）根据,APBP的斜率关系，求得,BPBQ的斜率关系；设出直线PQ的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，求得直线PQ恒过的定点，结合BHPQ⊥，即可

求得满足题意的点T.【小问1详解】因为120MFMF=，所以12MFMF⊥，即122FMF=，所以1212122MFFMFMFS==△，所以124MFMF=，又122MFMFa+=，12222FFc==，222121

2MFMFFF+=，所以()2121228MFMFMFMF+−=，即24248a−=，所以24a=，所以2222bac=−=，所以椭圆方程为22142xy+=.【小问2详解】依题意()20A−，，()20B，，设()11,Pxy，()22,Qxy，

若直线PQ的斜率为0，则P，Q关于y轴对称，必有APBQkk=−，不合题意；所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为xtyn=+()2n，与椭圆C联立2224xyxtyn+==+，整理得：()2222240tytnyn+++−=，所以()()()22222244248240tntntn

=−+−=−+，且12221222242tnyytnyyt+=−+−=+，因为()11,Pxy是椭圆上一点，即2211142xy+=所21211122111121222442APBPxyyyk

kxxxx−====−+−−−，则122APBQBPkkk=−=，即41BPBQkk=−，因为12124122yyxx=−−−，得()()12124220yyxx+−−=即()()()()()()2212

121212422422yytyntyntyytnyyn++−+−=++−++−()()()222224242222ntnttnntt−=++−−+−++()()()()()2

2222244222202tntnnntt+−−−+−+==+因为2n()()()()222422220tntnnt++−+−+=，2222248222240ntnttnntnt+++−++−−=整

理得640n+=，解得23n=−，直线PQ恒过定点203M−，.所以点H在以BM为直径的圆上，故存在点203T，为BM的中点，满足题意.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的求解；第二问中处理的关键是能够借助,A

PBP的斜率关系，求得,BPBQ的斜率关系，从而证明直线PQ恒过定点，属综合困难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com