【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 （5）含答案.doc，共(8)页，275.439 KB，由管理员店铺上传

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-1-课题高中数学必修四第二章平面向量的数量积§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义设计者-2-教材分析1、教学策略选择与设计《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的

三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。1、本节主要内容及地位作用平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛

，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决

代数与几何问题中都有着很强的实用性。学情分析（1）已有知识水平：学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面

图形的有关性质。（2）学习中可能会碰到的困难：学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并

掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系，这些刻画几何元素之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的

乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。-3-教学目标知识与技能：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；（

3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想情感态度与价值观：通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合

作交流的学习习惯教学重点和难点教学重点：平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用.教学难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探

究、理解；平面向量数量积的灵活应用。教学过程教学环节师生活动预设学生行为设计意图新课引入一、平面向量数量积定义的建构1、创设情境、感知概念我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）对物理意义下的“功”概念进行抽象

，-4-新课引入思考1：如何计算这个力F所做的功？W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角思考2：力做功的大小与哪些量有关？答：与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.思考3：用文字语言表达功的计算公式W=|F||S|cosθ答：功是力与位移的大

小及其夹角的余弦的乘积思考4：如果将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表达？答：两个向量的大小及夹角余弦的乘积将公式中的力与位移推广到一般向量a与b。怎么来规定cosabab的含义?创设情境，激发同学们的学习兴趣，类比归纳，形成

概念1、向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=|a||b|cosθ2、定义说明（1）书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不

能用“×”连接，也不能省去.（2）规定:零向量与任一向量的数量积为0。情景回归：知道了数量积的概念之后我们可以用一句话概括功的数学本质：功是力与位移的数量积3、概念升华思考1:向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答：向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数

量.思考2;非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定的？夹角θ的范围022=2ab的符号学生回答。学生回答。学生自己动手完成表格。数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明

白功的数学本质就是力与位移的数量积。通过此问题不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质作好铺垫。-5-题型探究方法总结变式训练归纳性质类型一平面向量数量积的含义总结归纳：求平面

向量数量积的步骤是：(1)分别求|a|和|b|；(2)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.变式训练变式1已知|a|＝4，

|b|＝5；(1)当a⊥b时，求a与b的数量积.(2)当a∥b时，求a与b的数量积.(3)当a与b的夹角为60°时，求a与b的数量积.(4)当a·b=10时，求a与b的夹角.总结归纳：平面向量数量积的性质设a与b均为非空向量：(1)a⊥b⇔a·b=0(2)a与b同向时,a·b=|a

||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a(或写成a2)=|a|2(3)cosθ＝(4).|a·b|≤|a||b|学生自主合作完成例1是为了巩固数量积定义总结做题方法变式分别设置了垂直、平行、两个向量夹角求数量积，已知数量积求夹角，为学生总

结性质做好铺垫，本环节通过学生动手实践，一是巩固数量积定义，二是渗透由特殊到一般的思维方法，培养学生归纳概括的能力在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，证明留待课后学生尝试加以证明。a·b|a||b

|-6-知识点二探究问题探究一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图．问题1：力f在位移S方向上的分力的数值是多少？提示：|f|cosθ.问题2：功又可以表述为？提示：力f在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的大小？提示：|

b|cosθ；|a|cosθ生答：力F在位移方向上的分量师补充：我们把cosF称为力F在位移S方向上的投影通过此问题让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系类比归纳，形成概念1.投影的概念|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。|a

|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．2．数量积的几何意义a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.师生类比得出内容，教师给出定义；组织学生叙述几何意义由师生合作共同完成，拉近师生距离，增进师生感情。题型探究方法总结类型二投影例2设非零向量a

和b，它们的夹角为θ.(1)若|a|＝5，θ＝150°，求a在b方向上的投影；(2)若a·b＝9，|a|＝6，求b在a方向上的投影.方法总结求投影方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)b在

a方向上的投影为a·b|a|，a在b方向上的投影为a·b|b|.学生做题学生总结类型和方法自己动手可以进一步体会向量数量积的几何意义解|a|·cosθ＝5×cos150°＝5×－32＝－532.∴a在b方向上的射影为－532.解a·b|

a|＝96＝32.-7-合作探究类比实数乘法的运算律，探究平面向量的数量积的运算律学生自主探究（交换律）a·b＝b·a（结合律）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)（分配律）(a＋b)·c=a·c＋b·c合作探究我们知道，对任意，恒

有对任意向量a,b是否也有下面类似的结论？小组合作探究合作探究培养学生合作的习惯，同时加深他们对本节课内容的理解题型探究例3已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角θ=60°，求a·b。变式已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角

θ=60°，求(a+b)·(a-b)。变式已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角θ=60°，求(a+2b)·(a-3b)。例4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直。学生完成教师挑一道板演由易到难进一步体会向量数

量积性质以及运算律的应用课堂小结完成课程预设目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两

个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.学生自己总结与开题给出的目标一致，再次确认课程重难点作业布置1、课本P108A组第1题2、课本P108A组第6题3、判断正误，错误的举出反例，正确的尝试证明.ab=ba;()()abcabc

=;()abcacbc+=+;()()()ababab==作业1、2主要是为了巩固本节课所学内容，由学生独立完成；作业3是下节课的内容，希望学生合作交流，尽可能多得解决问题。,abR22222()2,()(

).abaabbababab+=+++−=−22222()2;()().abaabbababab+=+++−=−(1)(2)-8-板书设计§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义1、向量数量积的定义2、向量数量积的性质电子白板

3、向量数量积的运算律教学反思1、本节课总体上说是一节概念教学，从物理出发，逐步以问题的形式引导学生思考，从已有的物理知识过渡到数学，从物理和数学两个角度创设问题情境引入数量积的概念，能激发学生的学习兴趣，通过

类比前面学过的数乘运算的结果与数量积运算结果的对比，引导学生思考数量积的结果是实数，数量积的正、负、零是由什么决定的？学生自主探究填写表格。在概念解释完了之后，再次带学生回到物理情景中，让学生用数学本质总结物理中功的计算公式，两学科互通！2、例题的设置围绕概念进行，在昨晚例题之后

引导学生总结做题方法和步骤，利益之后的变式既可以引导练习前面总结的方法，又引出后面的练习，性质之后没再设置例题，这个变式既可以引出性质，同时又作为性质的练习。3、第一个概念完成之后，再次回到物理情景中，用物理的分力引入投影的概念，加深学生对投影的理解，有助

于学生理解向量的几何意义。几何意义之后的练习总结方法，数量积的运算律也是本节课的重点之一，布置给学生以小组的形式探究完成。4、本节课总体使用目标教学法，在课前就给出学生的学习目标，在明确目标之后，以物理引入数学，全程将物理和数学类比进行，加深学生对概念的理解。总体例

题的处理师生共同进行，学生提炼方法。课程最后运算律的推出完全交给学生以小组的形式去探究，去发现结论，教师后期明晰后再由师生共同完成证明，这样能清晰地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则学习研究的重要性，例题和练

习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的，这能使学生更好的掌握概念法则。5、本节课缺陷，课容量较大学生活动没有完全在课上完成。