【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 （2）含答案.doc，共(5)页，693.233 KB，由管理员店铺上传

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-1-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标：1、知识与技能：（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；（4）了解用平面向量的数量积可以处

理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法（1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认

识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法；（2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。（3）通过对向量的数量积的探究、交流、总结，从各角

度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性

，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：平面向量的数量积

定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)教学难点：平面向量的数量积与向量投影的关系；运算律的理解和平面向量数量积的应用。课型：新授课教具：电子白板教学过程：一、情景导入、引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量

的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应

用-2-3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义二、合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下

产生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗

?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量︱a︱·︱bb︱cos叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·

︱b︱cos（2）定义说明：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替。②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素

有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围0°≤<90°=90°0°<≤180°a·b的符号（5）探究题组一：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③

a与b的夹角是60°时，分别求a·b.SFα-3-解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°，∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1

）＝－18；②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝０；③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0

°或180°两种可能.探究二：研究数量积的几何意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│b│cos（│a│cos）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记做：OB1=︱│b│︱cos注：投影也

是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cos的

乘积。探究三：探究数量积的运算性质1、数量积的性质性质：若ａ和ｂ均为非零向量（1）ａ⊥ｂａ·ｂ＝0（垂直）（2）ａ与ｂ同向时，ａ·ｂ=︱ａ︱·︱ｂ︱，ａ与ｂ反向时，ａ·ｂ=-︱ａ︱·︱ｂ︱特别地：ａ·ａ=︱ａ︱2=aa（长度）-4-（3）cosθ=baba（夹角）（4）︱ａ·ｂ︱≤︱

ａ︱·︱ｂ︱（注意等号成立的条件）2、探究题组二（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4,a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（a+2b）·（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b=36-3×4×6×0.5-6×4×

4=-72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律变式：（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2探究四、数量积的运算律：（1）交换律：；（2）对数乘的结合律：；（3）分配律

：注意：数量积不满足结合律和消去律，即：（1）（2）_______________探究题组3：互相垂直？与为何值时，向量不共线与已知babkakbabak,,4,3−+==解：0)()()()(=−+−⊥+bkabkabkabka430169

02222==−=−kkbka三、课时小结：知识线：（1）平面向量的数量积；（2）平面向量的数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；（4）平面向量的数量积与向量投影的关系。思想方法线：（1）公式或定义法；（2）数形结合、分类讨论等思

想方法。四、针对训练巩固提高：1、下列各式：（1）()()()bababa==（2）baba=-5-（3）()cbcacba+=+（4）()()cbacba=正确的个数为2、已知：()(

)7,4,3,2−==ba，则a在b上的投影为3、下列命题中（1）0,0==baba有则对任意向量若（2）0,0baba，有则对任一个非零向量若（3）0,0,0==bba

a则若（4）0,,0中至少有一个为则若baba=（5）ｃ＝ｂ，则ｃａ＝ｂａ，０ａ若（6）时成立当且仅当则若0,,==acbcaba其中真命题的个数有4、()bababababa++===,

,,150,4,320求的夹角与已知5、ACCBCbaABC===求中，已知：三角形,60,8,50五、课后作业教材108页，习题2.4第1、2、3题六、板书设计七、教后记八、教学时间