【文档说明】2023届高考人教B版数学一轮复习试题（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 单元质检卷五　平面向量、复数含解析【高考】.docx，共(10)页，166.499 KB，由小赞的店铺上传

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1单元质检卷五平面向量、复数(时间:120分钟满分:100分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,3),𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-5,-1),则12𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗等于

()A.(-2,4)B.(1,2)C.(4,-1)D.(-1,-2)2.已知i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2019等于()A.0B.1C.-1D.-i3.设复数z满足iz=7-i-|3-4i|,则复数z的共轭复数𝑧=()A.-1-2iB.-1+2iC.1

-2iD.1+2i4.设非零向量a,b满足(a-2b)⊥a,则“|a|=|b|”是“a与b的夹角为π3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在复平面内,复数z=2+

ii2019,则复数z的共轭复数𝑧对应的点所在象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,t),且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的夹角不大于π2,则

t的取值范围为()A.73,+∞B.73,+∞C.73,92D.92,+∞7.在△ABC中,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=

λ|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|,若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=9𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则实数λ=()A.√33B.√32C.√63D.√628.若平面向量a,b,e满足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且a·b-e·(a+b)+1=0,则|a-b|的最

小值是()A.1B.√13-4√3C.√12-4√3D.√7二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知复数z

=i1-i,则以下说法正确的是()2A.复数z的虚部为i2B.|z|=√22C.z的共轭复数𝑧=12−i2D.在复平面内与z对应的点在第二象限10.已知正三角形ABC的边长为2,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2a,𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗=b,则下列结论正确的是()A.|a+b|=1B.a⊥bC.(4a+b)⊥bD.a·b=-111.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位,x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之

间的关系,根据此公式可知,下面结论中正确的是()A.eπi+1=0B.|eix|=1C.cosx=ei𝑥-e-i𝑥2D.e12i在复平面内对应的点位于第二象限12.已知△ABC的面积为3,在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=0,𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,记△APQ的面积为S,则下列说法正确的是()A.𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑃𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗>0D.S=4三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法,形成由各点都对应复数的“复平面”,后来又称“阿甘得平面

”.高斯在1831年,用实数组(a,b)代表复数a+bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也像实数一样“代数化”.若复数z满足(3+4i)·z=7+i,则z对应的点位于第象限.14.(2020辽宁铁岭高三模拟)已知向量a=(m,1),b

=(4,m),向量a在b上的投影的数量的绝对值为√5,则m=.315.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=3,D,E与M,N分别是AB,AC的三等分点,且𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

-1,则tanA=,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=.16.在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若BE⊥AD,垂足为E,则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值为.四、解答题:本题共6小题,共70分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面上的四个点,且向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数分别为z1,z2.(1)若z1+z2=1

+i,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.18.(12分)如图所示,在▱ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b,BM=23BC,AN=14AB.(1)试用向量a,b来表示𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗

⃗⃗,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗;(2)AM交DN于点O,求𝐴𝑂𝑂𝑀的值.19.(12分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),x∈0,π2.4(1)求|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|

a+b|,求f(x)的最大值和最小值.20.(12分)已知向量a=(2+sinx,1),b=(2,-2),c=(sinx-3,1),d=(1,k)(x∈R,k∈R).(1)若x∈-π2,π2,且a∥(b+c),求x的值.(2)若函数f

(x)=a·b,求f(x)的最小值.(3)是否存在实数k,使得(a+d)⊥(b+c)?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)如图,扇形OAB所在圆的半径为2,它所对的圆心角为2π3,C为弧AB的中点,动点P,Q分别在线段OA,

OB上运动,且总有OP=BQ,设𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b.5(1)若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,用a,b表示𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗;(2)求𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围

.22.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.(1)求|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的值.(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),x∈0,π2,f(x)=𝑂𝐴⃗⃗⃗

⃗⃗·𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2m+23|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|.若f(x)的最小值为g(m),求g(m)的最大值.参考答案单元质检卷五平面向量、复数1.D因为𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,3),𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-5,-1),所以𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-4),所以12𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-2),故选D.2.Ci+i2+i3+…+i2019=i(1-i2019)1-i=i(1+i)1-i=i(1+i)2(1-i)(1+i)=i2=-1.故选C.3.B由题可知

z=7-i-|3-4i|i=2-ii=-1-2i,故其共轭复数为-1+2i.故选B.4.C(a-2b)⊥a,则(a-2b)·a=0,即a2-2a·b=0,即|a|2-2|a||b|cos<a,b>=0,若|a|=|b|,则cos<a,b>=12,即a与b的

夹角为π3,充分性满足;若a与b的夹角为π3,则|a|2-|a||b|=0,因为|a|≠0,所以|a|=|b|,必要性满足.所以“|a|=|b|”是“a与b的夹角为π3”的充要条件.故选C.5.C由题意z=2+

ii2019=2+i(i2)1009·i=2+i(-1)1009·i=2+i-i=(2+i)·i-i·i=-1+2i,则𝑧=-1-2i,所以𝑧所对应点的坐标为(-1,-2),在第三象限.故选C.66.B由题意得|𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+9=√13,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√1+(𝑡-3)2,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=3t-7.设𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗与𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ,则cosθ=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3𝑡-7√13[1+(𝑡-3)2],∵0≤𝜃≤π2,∴0≤cosθ≤1,

即0≤3𝑡-7√13[1+(𝑡-3)2]≤1,∴{3𝑡-7≥0,13[1+(𝑡-3)2]≥(3𝑡-7)2,解得t≥73,即t的取值范围为73,+∞.故选B.7.D由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,知O为△ABC的重心,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=23×1

2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=13(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗).又因为𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.所以9𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+3�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2,λ=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√32=√62.故选D.8.B由题意得|a+b-e|=√(𝑎+𝑏-𝑒)2=√|𝑎|2+|𝑏|2+2𝑎·𝑏-2�

�(𝑎+𝑏)+1=2√3.又因为|a+b|-|e|≤|a+b-e|≤|a+b|+|e|,所以2√3-1≤|a+b|≤2√3+1,当a+b与e同向时,|a+b|=2√3+1,当a+b与e反向时,|a+b|=2√3-1.又因为|a+b|2+|

a-b|2=2(|a|2+|b|2)=26,所以|a-b|min=√26-|𝑎+𝑏|max2=√26-(2√3+1)2=√13-4√3,故选B.9.BD复数z=i1-i=-12+12i,则复数z的虚部为12,故A错误;|z|=√22

,故B正确;z的共轭复数𝑧=-12−i2,故C错误;在复平面内与z对应的点-12,12在第二象限,故D正确.故选BD.10.CD分析知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°.a·b=1×2×cos120°=-1≠0,故B错误,D正确;因为(a+b)2=|a|2+2a·b+

|b|2=1-2+4=3,所以|a+b|=√3,故A错误;因为(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥b,故C正确.故选CD.11.ABeπi+1=cosπ+isinπ+1=0,故A正确;|eix|=|cosx+isinx|=1,故B正确

;cosx=ei𝑥+e-i𝑥2,故C错误;依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosx,sinx),故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos12,sin12),显然该点位于第四象限,故D错误.故选AB.12.7BD由𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,

𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,可知P为AC的三等分点,Q为AB延长线上的点,且B为AQ的中点,如图所示.对于A,因为P为AC的三等分点,B为AQ的中点,所以PB与CQ不平行,故A错误;对于B,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=13𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故B正确;对于C,𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cosπ=-|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

||𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|<0,故C错误;对于D,设△ABC的高为h,S=12|AB|h=3,即|AB|h=6,则△APQ的面积S=12|AQ|·23h=12·2|AB|·23h=23×6=4,故D正确.故选BD.13.四z=7+i3+4i=1-i,则z对应的点位于第四象限.14.2或-2由题意

可知,向量a在b上的投影的数量的绝对值为𝑎·𝑏|𝑏|=|𝑚·4+1·𝑚|√42+𝑚2=|5𝑚|√16+𝑚2=√5,两边平方,可得25𝑚216+𝑚2=5,解得m=-2或m=2.15.43-185∵𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗−13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=59𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−29𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2−29𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2=5cosA-4=-1,∴cosA=35,∴0<A<π2,sinA=√1-

cos2𝐴=45,∴tanA=sin𝐴cos𝐴=43.∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=3×3×35-32=-185.16.277如图所示,过点C作CF⊥

AD于点F,易知△BED≌△CFD,故𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ACF=|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗|·|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2.8𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),故|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2=14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2=74,故|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=√72.根据等面积法,可

得12|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=12·12|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|sin∠BAC,解得|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=3√3√7.故𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|

2=277.17.解(1)∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+

z2=(a-4)+(b-4)i.又z1+z2=1+i,∴{𝑎-4=1,𝑏-4=1,∴{𝑎=5,𝑏=5,∴z1=4-i,z2=-3+2i.(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.∵|z1+z2|=2,z1-z

2为实数,∴{(𝑎-4)2+(𝑏-4)2=4,2-𝑏=0,∴{𝑎=4,𝑏=2.18.解(1)∵AN=14AB,∴𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=14a,∴𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=14a-b.∵BM

=23BC,∴𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23b,∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a+23b.(2)∵A,O,M三点共线,∴设𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=

λa+23𝜆b,λ∈R.∵D,O,N三点共线,∴设𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗,μ∈R.∴𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗-𝜇𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1-μ)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇4a+(1-μ)b.∵a,b不共线,∴有{𝜆=14𝜇,23𝜆=1-𝜇,解得{𝜆=314,𝜇=67.∴𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=314𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1114𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,9∴𝐴𝑂𝑂𝑀=311.19.解(1)因为a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),所以a+b=(2cosx,0),因此|a+b|=2|co

sx|.因为x∈0,π2,所以|a+b|=2|cosx|=2cosx.(2)由f(x)=a·b-|a+b|可得,f(x)=cos2x-sin2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cos𝑥-12)2−32,当cosx=12,即x=π3时,函数f(x

)有最小值-32;当cosx=0或cosx=1,即x=π2或x=0时,函数f(x)有最大值fπ2=2(0-12)2−32=-1或f(0)=2(1-12)2−32=-1.所以f(x)的最大值为-1,最小值为-32.20.解(1)∵b+c=(sinx-1,-1),a∥(b+c),∴

-(2+sinx)=sinx-1,即sinx=-12.又x∈-π2,π2,∴x=-π6.(2)∵a=(2+sinx,1),b=(2,-2),∴f(x)=a·b=2(2+sinx)-2=2sinx+2.∵

x∈R,∴-1≤sinx≤1,∴0≤f(x)≤4,∴f(x)的最小值为0.(3)存在.∵a+d=(3+sinx,1+k),b+c=(sinx-1,-1),若(a+d)⊥(b+c),则(a+d)·(b+c)=0,即(3+sin

x)(sinx-1)-(1+k)=0,∴k=sin2x+2sinx-4=(sinx+1)2-5.由sinx∈[-1,1],得k∈[-5,-1],∴存在k∈[-5,-1],使得(a+d)⊥(b+c).21.解(1)由题知△BOC,△AOC均为等边三角形,所以四边形OACB为菱形.所以𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a+b.所以𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23a-a-b=-13a-b,𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13b-a-b=-a-

23b.(2)设𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=xa,则𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x)b,x∈[0,1].∴𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=xa-a-b=(x

-1)a-b,𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x)b-a-b=-a-xb.∴𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=[(x-1)a-b](-a-xb)=2(𝑥-12)2+32.∵x∈[0,1],∴当x=12时,上式取

最小值为x=32;当x=0或1时,上式取最大值为2.∴𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为32,2.1022.解(1)由题意知A,B,C三点满足𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,可得𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=23

(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗),所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),即13𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=

2𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|,所以|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2.(2)由题意,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=1+23cosx,cosx,�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(cosx,0),所以函数f(x)=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗-2m+23|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=1+23cosx+cos2x-2m+23cosx=(cosx-m)2+1-m2.因为x∈0,π

2,所以cosx∈[0,1],当m<0时,当cosx=0时,f(x)取得最小值g(m)=1;当0≤m≤1时,当cosx=m时,f(x)取得最小值g(m)=1-m2;当m>1时,当cosx=1时,f(x)取得最小值g(m)=2-2m.综上所述,g(m)={1,𝑚<0,1

-𝑚2,0≤𝑚≤1,2-2𝑚,𝑚>1,可得函数g(m)的最大值为1,即g(m)的最大值为1.