【文档说明】四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三上学期10月月考（一诊模拟）理科数学试题 含解析.docx，共(27)页，1.711 MB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学实验学校高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非

选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U=R，集合

220Axxx=−，1Bxx=，则()UAB=ð（）A.12xxB.12xxC.01xxD.01xx【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和

交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}Axx=,由{|1}Bxx=得{|1}UCBxx=,所以(){|01}UACBxx=.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴

运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2.若复数5i43iz=−，则z=（）A.34i55+B.34i55−+C.34i55−−D.34i55−【答案】C【解析】【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i43i5i34i43i2555z+===−+−

，得34i55z=−−．故选：C3.设nS是等差数列na的前n项和，若25815aaa++=，则9S=（）A.15B.30C.45D.60【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a，再根据等差数列前n项和公式即可得解.【详解】由题意得25

85315aaaa++==，所以55a=，所以()199599452aaSa+===.故选：C.4.已知命题p：xR，使得2210axx++成立为真命题，则实数a的取值范围是（）A.(,0−B.

(),1−C.)0,1D.(0,1【答案】B【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a时，命题为真命题，当0a时，需0，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p为真命题等价于不等式2

210axx++有解．当0a=时，不等式变形为210x+，则12x−，符合题意；当0a时，Δ440a=−，解得01a；当a<0时，总存在xR，使得2210axx++；综上可得实数a的取值范围为(),1−．故选：B5.在△ABC中，AD

为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=A.3144ABAC−B.1344ABAC−C.3144+ABACD.1344+ABAC【答案】A【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BEB

ABD=+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BCBAAC=+，之后将其合并，得到3144BEBAAC=+，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC=−，从而求得结果.【详解】根

据向量的运算法则，可得()111111222424BEBABDBABCBABAAC=+=+=++1113124444BABAACBAAC=++=+，所以3144EBABAC=−，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识

点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数t的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A【解析】【分析】根据流

程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a值恰好满足题意，然后停止循环求出t的值.【详解】第一次循环，2213a=−=，3at=不成立；第二次循环，2315a=−=，5at=不成立；第三次循环，2519a=−=．9a

t=不成立；第四次循环，29117a=−=，17at=，成立，所以917t≤，输入的最小整数t的值为9．故选：A7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方

向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：CIt=，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电

电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该萻电池的Peukert常数约为（）（参考数据：lg20.301，lg30.477）A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15【答案

】D【解析】【分析】根据题意可得1530507.5C==，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C==，所以50304157.5==，两边取以10为底的对数，得10lg2lg23=，所以2lg220.3011.151lg3

10.477=−−．故选：D．8.若cos0,,tan222sin=−，则tan=（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin==−，再结合已知可求得1s

in4=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.详解】costan22sin=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2，cos0，2

2sin112sin2sin=−−，解得1sin4=，215cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题

的关键是利用二倍角公式化简求出sin.9.函数π()412sin2xxfxx−=−+的大致图象为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cosxxfxx−=−，()2

2cos()()xxfxxfx−−=−−=，所以()fx为偶函数，所以函数图象关于y轴对称，所以排除A，C选项；又1(2)4cos204f=−，所以排除B选项，故选：D．10.设函数π()sin3fxx=+在区间(0,π)

恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.513,36B.519,36C.138,63D.1319,66【.【答案】C【解析】【分析】由x的取值范

围得到3x+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0，因为()0,x，所以,333x++，要使函数在区间()0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx=

，,33x的图象如下所示：则5323+，解得13863，即138,63．故选：C．11.已知函数()1exxfx+=.若过点()1,Pm−可以作曲线()yfx=三条切线，则m的取值范围是（）A.40,eB.80,e

C.14,ee−D.18,ee【答案】A【解析】【分析】切点为0001,exxx+，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001eexxxxyxx+−−=−，可得()0201exxm+=，设()()21ex

xgx+=，求()gx，利用导数求()gx的单调性和极值，切线的条数即为直线ym=与()gx图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,exxx+，由()1exxfx+=可得(

)()2ee1eexxxxxxfx−+−==，所以在点0001,exxx+处的切线的斜率为()000exxkfx−==，所以在点0001,exxx+处的切线为：()000001eexxxxyxx+−−=−，因为切线过点()1,Pm−，所以()0

000011eexxxxmx+−−=−−，即()0201exxm+=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线ym=与()gx图象交点的个数，设()()21exxgx+=，则()()()2222211eexxx

xxxgx+−++−+==由()0gx可得11x−，由()0gx可得：1x−或1x，所以()()21exxgx+=在(),1−−和()1,+上单调递减，在()1,1−上单调递增，当x趋近于正无穷，()gx趋近于0，当x趋近于负无穷，()g

x趋近于正无穷，()gx的图象如下图，且()41eg=，要使ym=与()()21exxgx+=的图象有三个交点，则40em.则m的取值范围是:40,e.故选：A.12.已知函数()323,0,31,0xxfxxxx−=−+，函数()()(

)gxffxm=−恰有5个零点，则m的取值范围是（）A.()3,1−B.()0,1C.)1,1−D.()1,3【答案】C【解析】【分析】由题意可先做出函数()fx的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.【详解】当0x时，()233fxx¢=-．由

()0fx¢>，得1x−，由()0fx，得10−x，则()fx在(1,0−上单调递减，在(),1−−上单调递增，故()fx的大致图象如图所示．设()tfx=，则()mft=，由图可知当3m时，()mft=有且只有1个实根，则()tf

x=最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m=时，()mft=的解是11t=−，23t=．1fxt=（）有2个不同的实根，2fxt=（）有2个不同的实根，则()tfx=有4个不同的实根，不符合题意．当

13m时，()mft=有3个不同的实根3t，4t，5t，且()321t−−,，(41,0t−，)52,3t．3fxt=（）有2个不同的实根，4fxt=（）有2个不同的实根，5fxt=（）有3个不同的实根，则()tfx=有7个不同的实根，不符合题意．当11m−时，()mft=有

2个不同的实根6t，7t，且()631t−−,，)71,2t．6fxt=（）有2个不同的实根，7fxt=（）有3个不同的实根，则()tfx=有5个不同的实根，符合题意．当3<1m−−时，()mft=有2个不同的实根8t，9t，且()831t−−,，

()901t,，8fxt=（）有2个不同的实根，9fxt=（），有2个不同的实根，则()tfx=有4个不同的实根，不符合题意．当3m−时，()mft=有且只有1个实根，则()tfx=最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m的取值范围是)1,1−．故选：C.【点睛】方法点睛

：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有3m=，13m，11m−，3<1m−−，3m−这几种情况,也是解题关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()3,1,1,0,abc

akb===+．若ac⊥，则k=________．【答案】103−.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1abcakbk===+=+,(),33110acac

k⊥=++=，解得103k=−,故答案为：103−.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,pxyqxy==垂直的充分必要条件是其数量积12120xxyy+=.

14.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角60MAN=，C点的仰角45CAB=以及75MAC=；从C点测得60MCA=．已知山高200BC=m，则山高MN=______m．【答案】300【解析

】【分析】先求,ACAMC，由正弦定理得sinsinMCAAMCAMAC=，最后由sinMNAMMAN=可求.【详解】由题意，2002sinBCACCAB==m，18045AMCMACMCA=−−=，由正弦定理得32sinsin22

20032002MCAAMCAMAMACAM===m，所以3sin20033002MNAMMAN===m.故答案为：30015.已知等比数列na的前3项和为25168,42aa−=，则6a=_

__________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q=，196a=，即可求得6a的值.【详解】解：设等比数列na的公比为q，0q，由题意1q

，因为前3项和为168，故()3112311681aqaaaq−++==−，又()43251111aaaqaqaqq−=−=−，所以12q=，196a=，则561196332aaq===.故答案为：3.16.已知函数()yfx=是R的奇函数，对任意xR，都

有(2)()(2)fxfxf−=+成立，当12,,1[]0xx，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0ffff++++=②直线5x=−是函数()yfx=图象的一条对称轴③函数()yfx=在[7,7]−上有5个

零点④函数()yfx=在[7,5]−−上为减函数则结论正确的有____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f=，进而分析得到1x=时函数()fx的一条对称轴，，函数()fx时周期为4的周期函数，且函数()fx在[1,1]−

上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()yfx=是R的奇函数，则()00f=，对任意xR，都有(2)()(2)fxfxf−=+成立，当2x=，有()()0220ff==，即()20f=，则有(2)()fxfx−=，即

1x=时函数()fx的一条对称轴，又由()fx为奇函数，则(2)()fxfx−=−−，即()()2fxfx+=−，可得()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx时周期为4的周期函数，当12,,1[]0xx，且12xx时，都有()()12120fxfxxx−−，

可函数()fx在[1,1]−上单调递增，对于①中，由()()2fxfx+=−，则(1)(2)(3)(4)0ffff+++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]ffffffff++++=+++()(1)(2)(3)20ffff+++==，所以①正确；

对于②中，由1x=时函数()fx的一条对称轴，且函数()fx时周期为4的周期函数，则直线5x=−是函数()yfx=图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()yfx=在[7,7]−上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6−−−，所

以C错误；对于④中，函数()yfx=在[1,1]−上为增函数且周期为4，可得()yfx=在[5,3]−−上为增函数，又由5x=−是函数()yfx=图象的一条对称轴，则函数()yfx=在[7,5]−−上为减函数，所以④正确.故答案为：①

②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象，如

图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）将函数()fx的图象向右平移3个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，当0,3x时，求函数()gx的值域.【答案】（1）()3sin23fxx

=+（2）3,32−【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最小正周期求出，并确定.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解

】解：根据函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象可得3A=，1252632=−=，所以2=.再根据五点法作图可得23+=，所以3=，()3sin23fxx

=+.【小问2详解】将函数()fx的图象向右平移3个单位后，可得3sin23sin2333yxxx=−+=−的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数

()3sin43gxx=−的图象.由0,3x，可得4,33x−−又函数()gx在50,24上单调递增，在5,243单调递减3(0)2g=−，5324g=，03g=3()3s

in4,332gxx=−−函数()gx在0,3的值域3,32−.18.已知数列na的前n项和为nS，313log1lognnbb+−=，且()1122nnnaaan+−=+．339Sb==，414ba=．（1）求数列na和

nb的通项公式；（2）若11nnncab++=，求数列nc前n项和nT．【答案】（1）13nnb−=，21nan=−（2）13nnTn+=【解析】【分析】（1）根据对数运算得13nnbb+=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}na为等差数列，建立

方程求出公差，从而可得{}na的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【小问1详解】∵313log1lognnbb+−=，∴313loglog(3)nnbb+=，则13nnbb+=，所以nb为等比数列，又39b=，得11b=，所以13nnb−=，由112nnn

aaa+−=+知na是等差数列，且41427ba==，39S=，∴111327339adad+=+=，得11a=，2d=．∴21nan=−.的【小问2详解】因为21nan=−，13nnb−=

，所以()11213nnnncabn++==+，所以()()1231335373213213nnnTnn−=++++−++则()()23413335373213213nnnTnn+=++++−++上面两式作差得()2

23123232323213nnnTn+−=++++−+()()111913922132313nnnnn−++−=+−+=−−，∴13nnTn+=19.记ABC是内角A，B，C的对边分别为

a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系

有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【详解】（1）设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR==，因为sin

sinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即BDbac=．又因为2bac=，所以BDb=．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC=，如图，在ABC中，222cos2abcCab+−=，

①在BCD△中，222()3cos23babbaC+−=．②由①②得2222223()3babcab+−=+−，整理得22211203abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，解得3ca=或32ca=，当22,33ccabac===时，333c

cabc+=+（舍去）．当2233,22ccabac===时，22233()722cos31222ccABCccc+−==．所以7cos12ABC=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC=，则23ABDA

BCSS=△△，即21221sinsin2332bacADABBC=，而2bac=，即sinsinADBABC=，故有ADBABC=，从而ABDC=．由2bac=，即bcab=，即CABACBBD=，

即ACBABD∽，故ADABABAC=，即23bccb=，又2bac=，所以23ca=，则2227cos212cabABCac+−==．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC==，再由2AD

DC=得21,33ADbCDb==．在ADB中，由正弦定理得sinsinADBDABDA=．又ABDC=，所以s3sinn2iCbAb=，化简得2sinsin3CA=．在ABC中，由正弦定理知23ca=，又由2bac=，所以2223ba=．在ABC中，由余弦定

理，得222222242793cos221223aaaacbABCaca+−−+===．故7cos12ABC=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DEAB∥，交BC于点E，则DECABC△

∽△．由2ADDC=，得2,,333caaDEECBE===．在BED中，2222()()33cos2323BEDacbac−=+．在ABC中222cos2aaBCcAbc+−=．因为coscosABCBED=−，所以2222222()()3

322233acbacbacac+−+−=−，整理得22261130abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，即3ca=或32ac=．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2ADDC=，所以2ADDC=uuuruuur．以向量,BABC为基底，有2133BDBCB

A=+．所以222441999BDBCBABCBA=++，即222441cos999baccABCa=++，又因为2bac=，所以22944cosacaacABCc=++．③由余弦定理得2222cosbacacABC=+−，

所以222cosacacacABC=+−④联立③④，得2261130aacc−+=．所以32ac=或13ac=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单

位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0DAC−．由（1）知，3BDbAC===，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33Bxyx−，则229xy+=．⑤由2bac=知，2BABCAC=，

即2222(2)(1)9xyxy++−+=．⑥联立⑤⑥解得74x=−或732x=（舍去），29516y=，代入⑥式得36||,||6,32aBCcBAb=====，由余弦定理得2227cos212acbABCac+−==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了

三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角

形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几

何性质使得问题更加直观化.20.已知函数()()exfxaax=+−．（1）讨论()fx的单调性；（2）证明：当0a时，()32ln2fxa+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0

a与0a两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln02aa−−的恒成立问题，构造函数()()21ln02gaaaa=−−，利用导数证得()0ga即可.方法二：构造函数()e1xhxx=−−

，证得e1xx+，从而得到2()ln1fxxaax+++−，进而将问题转化为21ln02aa−−的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()exfxaax=+−，定义域为R，所以()e1xfxa=

−，当0a时，由于e0x，则e0xa，故()0e1xfxa−=恒成立，所以()fx在R上单调递减；当0a时，令()e10xfxa=−=，解得lnxa=−，当lnxa−时，()0fx，则()

fx在(),lna−−上单调递减；当lnxa−时，()0fx¢>，则()fx在()ln,a−+上单调递增；综上：当0a时，()fx在R上单调递减；当0a时，()fx在(),lna−−上单调递减，()fx

在()ln,a−+上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()lnmin2lnlnlne1afaaxafaaa−−+=++=+=，要证3()2ln2fxa+，即证2312ln2lnaaa+++，即证21ln02aa−−恒成立，令

()()21ln02gaaaa=−−，则()21212agaaaa−=−=，令()0ga，则202a；令()0ga，则22a；所以()ga在20,2上单调递减，在2,2+上单调递增，所以()2min2212lnl

n202222gag==−−=，则()0ga恒成立，所以当0a时，3()2ln2fxa+恒成立，证毕.方法二：令()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，由

于exy=在R上单调递增，所以()e1xhx=−在R上单调递增，又()00e10h=−=，所以当0x时，()0hx；当0x时，()0hx；所以()hx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，故()()00hxh=，则e1

xx+，当且仅当0x=时，等号成立，因为()2ln22()eeeln1xxxafxaaxaaxaxxaax+=+−=+−=+−+++−，当且仅当ln0xa+=，即lnxa=−时，等号成立，所以要证3()2ln2fxa+，即证23ln12ln2xaaxa+++−+，即证21l

n02aa−−，令()()21ln02gaaaa=−−，则()21212agaaaa−=−=，令()0ga，则202a；令()0ga，则22a；所以()ga在20,2上单调

递减，在2,2+上单调递增，所以()2min2212lnln202222gag==−−=，则()0ga恒成立，所以当0a时，3()2ln2fxa+恒成立，证毕.21已知函数()()ln1exfxxax−=++（1）当1a=时，求曲线(

)yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()fx在区间()()1,0,0,−+各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）2yx=（2）(,1)−−【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导对a分

类讨论,对x分(1,0),(0,)−+两部分研究【小问1详解】()fx的定义域为(1,)−+当1a=时,()ln(1),(0)0exxfxxf=++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21exxfxfx−=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()yfx=在点(

0,(0))f处的切线方程为2yx=【小问2详解】()ln(1)exaxfxx=++()2e11(1)()1e(1)exxxaxaxfxxx+−−=+=++设()2()e1xgxax=+−1若0a,当()2(1,0),()e10xxgxax−=+−,即()0

fx所以()fx在(1,0)−上单调递增,()(0)0fxf=故()fx在(1,0)−上没有零点,不合题意2若10a−,当,()0x+,则()e20xgxax=−所以()gx在(0,)+上单调递

增所以()(0)10gxga=+,即()0fx所以()fx在(0,)+上单调递增,()(0)0fxf=故()fx在(0,)+上没有零点,不合题意.,3若1a−(1)当,()0x+,则()e20xgxax=−,所以()gx在(0,)+上单调递增(0)10,(1)

e0gag=+=所以存在(0,1)m,使得()0gm=,即()0=fm当(0,),()0,()xmfxfx单调递减当(,),()0,()xmfxfx+单调递增所以当(0,),()(0)0xmfxf=,令(),1,exxhxx=−则1(),1,exxhxx−=−所以(

)xxhxe=在()1,1−上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()1()1ehxh=，又ee10a−−，e1e10eeaafa−−−+=，所以()fx在(,)m+上有唯一零点又(0,)m没有零点,即()fx在(0,)+

上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e1xxgxax−=+−设()()e2xhxgxax==−()e20xhxa=−所以()gx在(1,0)−单调递增1(1)20,(0)10egag−=+=所以存在(1,0)n−,使得()0g

n=当(1,),()0,()xngxgx−单调递减当(,0),()0,()xngxgx单调递增,()(0)10gxga=+又1(1)0eg−=所以存在(1,)tn−,使得()0gt=,即()0ft=当(

1,),()xtfx−单调递增,当(,0),()xtfx单调递减，当()1,0x−，()()1ehxh−=−，又e1e10a−−，()ee1ee0afaa−−=而(0)0f=,所以当(,0),()0xtfx所以()fx在(1,

)t−上有唯一零点,(,0)t上无零点即()fx在(1,0)−上有唯一零点所以1a−,符合题意所以若()fx在区间(1,0),(0,)−+各恰有一个零点,求a的取值范围为(,1)−−【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定

和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22.在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为24yxx=−+，曲线N的方程为9xy=，

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,0)2l=与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且||||12OAOB=，求0．【答案】（1）π4

cos02=；2sin218=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M和N的极坐标方程；（2）将0=代入曲线M和N的方程，求得018

||sin2OB==和0||4cosOA==，结合题意求得0tan1=，即可求解.【小问1详解】解：由24yxx=−+，可得224(0)yxxy=−+，即224(04,0)xyxxy+=，又由cossinxy==，可得2π4cos(0)2

=，所以曲线M的极坐标方程为π4cos02=．由9xy=，可得2cossin9=，即2sin218=，即曲线N的极坐标方程为2sin218=.【小问2详解】解：将0=代入2sin218=，可得018||sin2OB==，将0

=代入4cos=，可得0||4cosOA==，则012||||tanOAOB=，因为||||12OAOB=，所以0tan1=，又因为0π02，所以0π4=．选修4—5：不等式选讲23.已知函数()121fxxx=++−．（1）求不等式()8fx的解集

；（2）设函数()()1gxfxx=−−的最小值为m，且正实数a，b，c满足abcm++=，求证：2222abcbca++．【答案】（1）7,33−（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值

不等式可求得2m=，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意可得：()31,11213,1131,1xxfxxxxxxx−=++−=−−−+−，当1x时，则()318fxx=−，解得23x；当11x−

时，则()38fxx=−，解得11x−；当1x−时，则()318fxx=−+，解得713x−−；综上所述：不等式()8fx的解集为7,33−.【小问2详解】∵()()1112gxfxxxx=++−−−=，当且仅当1

,1x−时等号成立，∴函数()gx的最小值为2m=，则2abc++=，又∵2222aabbabb+=，当且仅当2abb=，即ab=时等号成立；2222bbccbcc+=，当且仅当2bcc=，即bc=时等号成立；2222cc

aacaa+=，当且仅当2caa=，即ac=时等号成立；上式相加可得：222222abcbcaabcbca+++++++，当且仅当abc==时等号成立，∴2222abcabcbca++++=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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