【文档说明】湖南省永州市2023-2024学年高三上学期第一次模拟检测数学试题（解析版）.docx，共(28)页，1.465 MB，由小赞的店铺上传

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永州市2024年高考第一次模拟考试数学命题人：郭志成（永州四中）眭小军（永州一中）李卫青（祁阳一中）罗辉友（新田一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷

上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合*2N4Axyx==−，集合20Bxxx=−，则AB=（）A.12xxB.01xxC.0,1,2D.1,2【答案

】D【解析】【分析】求出集合,AB，即可求得答案.【详解】由*2N41,2Axyx==−=，20{|0Bxxxxx=−=或1}x，故1,2AB=，故选：D2.复数z满足5i1iz=+，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二

象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】由5i1iz=+得1ii1i,izz+=+=，则111iiz=+=−，即z在复平面内对

应的点为(1,1)−，位于第四象限，故选：D3.已知向量()()()1,2,3,1,,1abcx=−=−=，且()2abc+⊥，则x=（）A.2B.1C.0D.1−【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得x

的值.【详解】()()()21,26,25,0ab+=−+−=，由于()2abc+⊥，所以()250,0abcxx+===.故选：C4.“函数()afxx=在()0,+上单调递减”是“函数()()41gxxax=−+是偶函数”的

（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解函数()fx和()gx符合条件的a的取值，即可得出结论.【详解】由题意，在()afxx=中，当函数在()0,+上单调递减时，a<0

，在()()41gxxax=−+中，函数是偶函数，∴()()()()()()()()4411gxxaxgxxaxgxgx−=−−+−=−+=−，解得：1a=−，∴“函数()afxx=在()0,

+上单调递减”是“函数()()41gxxax=−+是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.5.在平面直角坐标系中，过直线230xy−−=上一点P作圆22:21Cxxy++=的两条切线，切点分别为AB、，则sinAPB的最大值为（）A.265B.255C.65D.55【答案

】A【解析】【分析】由题意圆22:21Cxxy++=的标准方程为()2:12Cxy++=，如图sinsin22sincosAPB==，又22sinACCPCP==，所以222cos1sin1CP

=−=−，又由圆心到直线的距离可求出CP的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：由题意圆C的标准方程为()2:12Cxy++=，sinsin22sincosAPB==，又因为22sinACCPCP==，所以222cos1sin1CP=−=−，所以

22sin2sincos2221CPBCPPA−==，又圆心()1,0C−到直线230xy−−=的距离为()22203521d−−−==+−，所以5CPd=，所以不妨设211,05ttCP=，则()

()2222sn221112124i2244tttftPAPBCPC−=−=−−+==，又因为()ft在10,5单调递增，所以当且仅当15t=即5CP=，即当且仅当直线CP垂直已知直线23

0xy−−=时，sinAPB有最大值()2max1111262455445sinfAPB==−−+=.故选：A.6.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别是12,FF，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且2

PF与y轴平行，直线1PF与C的另一个交点为Q，若1125PFFQ=，则C的离心率为（）A.217B.3311C.77D.2111【答案】B【解析】【分析】由P点坐标求得Q点坐标，然后代入椭圆C的方程，化简求得椭圆C的离心率.【详解】由22221

xyab+=令xc=，得24222221,cbbybyaaa=−==，由于2PF与y轴平行，且P在第一象限，所以2,bPca.由于()111112,,5502,PFFQFQPFFc==−，所以()2211292,02,,555bbOQOFFQcccaa=+=−

+−−=−−，即292,55bQca−−，将Q点坐标代入椭圆C的方程得2222229551bcaab−−+=，()22222222222814814774125252525caccbcaaaaa+−++===，

222222221377425,7721,7711ccaacaa+====，所以离心率3331111cea===.故选：B7.若数列na的前n项和为()2*,21N,0nnnnnSSaana=+，则下列结论正确的是（）A.202220

231aaB.20232023aC.20232022SD.123100111119SSSS++++【答案】D【解析】【分析】根据,nnaS之间的关系可求出=nSn，进而求得1=−−nann，由此结合熟的大小比较可判断A，B，C，利用放缩法，当2n时，可推出12(1)nnnS−−，累加

即可判断D.【详解】令1n=，则121121Saa=+，即221121aa=+，由0na，的11a=；当2n时，2112()()1nnnnnSSSSS−−−=−+，即1221nnSS−−=，又22111Sa==，故{}nS为首项是1，公差为1

的等差数列，则211nSnn=+−=，故=nSn，所以当2n时，11−=−=−−nnnaSSnn，11a=也适合该式，故1=−−nann，对于A，20222023(20222021)(20232022)aa=−−1112022202120232022=+

+，A错误；对于B，2023202320222023a=−，B错误；对于C，202320232022S=，C错误；对于D，当2n时，1122(1)1nnnSnnn==−−+−，故()()()12310011111221232210099

SSSS+++++−+−++−12(110)19=+−+=，D正确，故选：D8.已知函数()()3cos(0)fxx=+，若ππ3,042ff−==，在区间ππ,36−−上没有零点，则的取值共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】B【

解析】【分析】根据ππ3,042ff−==可得234+3n=，根据在区间ππ,36−−上没有零点可得06，即可求出的取值有几个.【详解】由题意，在()()3cos(0)fxx=+中，ππ3,042ff−==，∴π3cos

34π3cos02−+=+=,所以1122π2π4,,Zπππ+22kkkk−+=+=，两式相减得()213ππ2π+42kk−=，所以()212432+3kk−

=，即234+3n=，Zn，因为ππ,,306x−−，所以ππ,36x−−+++，令xt+=，ππ,36t++−−，由题意知3cosyt=在ππ,36t+

+−−上无零点，故ππππ,,3622ππkk−−−++++，Zk，所以πππ32πππ62kk−+−+−++，即πππ32πππ62kk−+−+−−−

，两式相加得ππ6−−，所以06，又234+3n=，所以，当0n=时，23=；当1n=时，2=；当2n=时，103=；当3n=时，143=；当4n=时，6=，所以取值有5个.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,xy的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B.设随机变量()2,1N，若

(3)pp=，则1(12)2pp=−C.在回归分析中，2R为0.89的模型比2R为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为(),10,0.8XXB，则()8EX=【答案】BD【解析】【分析】A项，通过相关系数定义即可得出结论；B项，通过求出(23)

P即可求出(10)P−的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出()Ex.【详解】由题意，A项，两个变量,xy的相关系数为r，r越小,x与y之间的相关性越弱,故A错误

,的的对于B,随机变量服从正态分布(2,1)N,由正态分布概念知若(3)Pp=,则1(10)(23)(2)(3)2PPPPp−==−=−,故B正确,对于C,在回归分析中,2R越接近于1,模型的拟合效果越好,∴2R为0.98的模型比2R为0.89的模型拟合的更

好故C错误,对于D,某人在10次答题中,答对题数为,~(10,0.8)XXB,则数学期望()100.88EX==,故D正确.故选：BD.10.对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N可以表示成10(110,)nNaan=Z的形式，两边取常用对数，则有lglgN

na=+，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数x2345678910lgx（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000真数x111213141516171819lgx（近似值）1.0411.0791.1141

.1461.1761.2041.2301.2551.279A.105在区间()6710,10内B.503是15位数C.若50710ma−=，则43m=−D.若()30*mmN是一个35位正整数，则14m=【答案】ACD【解析】【分析】根据lglgNna=+，分别求出各个选项中

N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.【详解】解：因为10lg510lg56.99=，67lg106lg1066.99,lg107lg1076.99====，所以()1067510,10，故A正确；因为505023.85lg350l

g323.85,310=，所以503是24位数，故B错误；因为50lg750lg742.25−=−−，所以5042.25710−−，又50710ma−=，则43m=−，故C正确；30lg30lgmm

=，因为()30*mmN是一个35位正整数，所以3430lg35m，即177lg156m，即1.1267lg1.1667m，则14m=，故D正确.故选：ACD11.菱形ABCD的边长为a，且60BAD=，将ABD△沿BD向上翻折得到PBD△，使二面角PBDC−−

的余弦值为13，连接PC，球O与三棱锥PBCD−的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A.PO⊥平面BCDB.球O的表面积为22πaC.球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长为43π3aD.过点O与直线,PBCD所成角均为

π4的直线可作4条【答案】AC【解析】【分析】利用余弦定理求得PCa=，说明三棱锥PBCD−为正四面体，进而补成正方体，则说明O点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求得球O的半径可判断B；求出球O被三棱锥一个侧面所截得的截面的周

长，即可求得球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.【详解】如图在菱形ABCD中，连接AC，则ACBD⊥，设,ACBD交于E，则,PEBDCEBD⊥⊥，PE平面PBDCE平面CBD，即PEC为二面角PBDC−−的平面角，即1cos

3PEC=，又60BAD=，即ABD△为正三角形，即PBD△，CBD△为正三角形，故32PECEa==，故2222cosPCPECEPECEPEC=+−2223312243aaa=−=，即PCa=，故三棱锥PBCD−为棱长为a

的正四面体；如图，将该四面体补成正方体PHDGNCMB−，四面体的各棱为正方体的面对角线，则正方体棱长为22a，因为球O与三棱锥PBCD−的6条棱都相切，则O点即为正方体的中心，连接PM，则O为正方体体对角线PM的中点，因为P

N^平面,MBNCBC平面MBNC，故PNBC⊥，又BCMN⊥,而,,PNMNNPNMN=平面PMN，故BC⊥平面PMN，PM平面PMN，故BCPM⊥；同理可证BDPM⊥,,,=BCBDBBCBD平面

BCD，故PM⊥平面BCD，即PO⊥平面BCD，A正确；因为球O与三棱锥PBCD−的6条棱都相切，,故球O即为正方体PHDGNCMB−的内切球，球的直径为正方体棱长22a，则球的半径为24a，故球O的表面积为2214)2π(π42aa

=，B错误；球O被平面截得的截面圆即为正三角形BCD的内切圆，由于BCa=，故正三角形BCD的内切圆半径为133326aa=，故内切圆周长即球O被平面截得的截面圆周长为332ππ63aa=，故球O被三棱锥PBCD−表面截得的截面周长为3434ππ33aa=，C正确；连接H

M，因为,PHBMPHBM=∥，即四边形PHMB为平行四边形，故PBHM∥，而HMCD⊥，故PBCD⊥，不妨取空间一点S，作,PBCD的平行线,PBCD，如图，则和,PBCD所成角均为π4的直线即为它们形成的角的角平分线12,ll，假设平面过1l且垂直于,PBCD

所确定的平面，当1l绕点S且在内转动时，则此时直线l与,PBCD所成角相等，但会变大，大于π4，即在,PBCD所确定的平面外过点S不存在直线l与,PBCD所成角为π4，故过点O与直线,PBCD所成角均为π4的

直线可作2条，D错误，故选：AC12.已知函数()fx与()gx的定义域均为R，()()()()123,11fxgxfxgx++−=−−−=，且()12g−=，()1gx−为偶函数，下列结论正确的是（）A.4为()fx的一个

周期B.()31g=C.20231()4045kfk==D.20231()2023kgk==【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于()1gx−为偶函数，图象关于y轴对称，所以()gx图象关于=1x−对称，所以()(

)()()()()21111gxgxgxgx−=−+−=−−−=−，所以()()()()1213fxgxfxgx++−=++−=①，而()()11fxgx−−−=②，两式相加得()()114fxfx−++=，

则()()24fxfx++=③，所以()()()()()()4224244fxfxfxfxfx+=++=−+=−−=，所以4是()fx的一个周期，A选项正确.由③令1x=得()()134ff+=，由①令2x=得()()()()21223,21

fgff+−=+==，由②令1x=得()()()()01021,03fgff−−=−==，则()()403ff==，所以()()()()()()()12348,1235fffffff+++=++=，所以()()()202312020()81234040540454

kfkfff==+++=+=，C选项正确.由①令=1x−得()()()()01313,10fggg+=+==，由()()()()123,11fxgxfxgx++−=−−−=，得()()()()33,11fxgxfxgx+

−=−−−=，两式相减得()()312gxgx−+−−=，即()()312gxgx−+−=，且()gx关于()2,1−对称，()21g−=，所以()()22gxgx++=④，所以()()()()()()4222222gxgxgxgxgx+=++=−+=−−=，所以()gx

是周期为4的周期函数，所以()()312gg=−=，所以B选项错误.由④令2x=得()()242gg+=，所以()()()()12344gggg+++=，由于()()()22421ggg=−+=−=，所以()()()1233ggg++=所以202312020()4320234kgk==+=，

所以D选项正确.故选：ACD【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如()()()()()(),,kfxAfxfxafxfxafa+=+=−+=等等，这些都是与周期性有关；如()()()(),faxfaxfaxfax+=−+=−−等等，这些

都是与对称性有关.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为_______

_（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323AA12=种.故答案为：1214.在平行六面体1111ABCDABCD

−中，1,,,DAaDCbDDcP===为1DD的中点，过PB的平面分别与棱11,AACC交于点,EF，且AECF=，则BPEF+=________（用,,abc表示）．【答案】122ac−+【解析】【分析】由题意设QREF、、

、分别为11,,,QARCAACC的中点，容易证明四边形PEBF是平行四边形，即平面PEBF为符合题意的平面，进而分解向量即可求解.【详解】如图所示：由题意不妨设QREF、、、分别为11,,,QARCAACC的中点，容易证明四边形PEBF是平行四边形，即平面PEBF为符合题意的平面，因

此()()()()BPEFBDEDDFDFDPDCDAPDED++=+=+++−−−+，又因为112DPDD=，DEDAAE−=−−，DFDCCF=+，且114AEDD=，114CFDD=，所以111111111

2222442BDDDCDDADDDCDDDADFcPEDaA−−+−−++++=+=−−+=.故答案为：122ac−+.15.若函数()()e2ln2txtxfxxx+=−+，当()0,x+时，()0fx，则实数t的取值范围________．【答案】1,e

+【解析】【分析】由()0fx进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t的取值范围.【详解】依题意，当()0,x+时，()()e2ln02txtxfxxx+=−+恒成立，即()()e22lntxtxxx++恒成立，即(

)()e2lne2lntxtxxx++①恒成立，设()()2lngxxx=+，()21lngxxx=++，令()()()2221ln,xhxgxxhxxx−==++=，所以()hx在区间()0,2上()()0,hxhx单调递减；在区间()2,+上()()0,

hxhx单调递增，所以()()22ln20hxh=+，也即()0gx，()gx在()0,+上单调递增，所以由①得etxx，即lnln,xtxxtx，设()()2ln1ln,xxmxmxxx−==，所以()mx在区间()0,e上()()0,

mxmx单调递增；在区间()e,+上()()0,mxmx单调递减，所以()()lne1eeemxm==，所以1et，即t的取值范围是1,e+.故答案为：1,e+16.已知点(),23(0)Na

a在抛物线2:2(02)Cypxpa=上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线2px=相交于AB、两点，与线段NF相交于点R，且25ABRF=．若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为________．【答案】24yx=【解析】【分析】设||4(0)NFtt=，表示出

5|,22|5ABRFtRFt===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,ap的方程，即可求得p，即得答案.【详解】由2:2(02)Cypxpa=可知(,0)2pF，设||4(0)NFtt=，则5|

,22|5ABRFtRFt===，则||3NRt=，故222||()()||22pABaNR−+=，即222()(5)92patt−+=①；又点(),23(0)Naa在抛物线2:2(02)Cypxpa=上，故||42pNFat=+=②，且122pa=，即6pa=③

，②联立得22122030aapp−+=，得23ap=或6ap=，由于02pa，故23ap=，结合6pa=③，解得2p=，故抛物线方程为24yx=，故答案为：24yx=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质

，找出参数,ap间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na是公比1q的等比数列，前三项和为39，且123,6,aaa+成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设()*3213211N

loglognnnbnaa−+=，求nb的前n项和nT．【答案】（1）3nna=（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；（2）利用（1）的结论化简()*3213211Nlog

lognnnbnaa−+=，利用裂项求和法即可求得答案.【小问1详解】由题意可得123213392(6)aaaaaa++=+=+，即得22239,92(6)aaa+==+，则1330aa+=，即1219(1)30aqaq=+=，可得231030qq−+=，由于1q，故得3

q=，则13a=，故1333nnna−==；【小问2详解】由（1）结论可得2132133231213)111loglogloglog3(21)(21nnnnnbaann+−−+===−+111()22121nn=−−+，

故nb的前n项和111111(1)23352121nTnn=−+−++−−+11(1)22121nnn=−=++.18.在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足coscoscAaCab−

=+．（1）求角C；（2）若5,cABC=的内切圆半径34r=，求ABC的面积．【答案】（1）2π3（2）21316【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cosC的值，即可得答案；

（2）利用余弦定理得2225abab+=−，配方得2()25abab+=+，再结合ABC的内切圆半径，利用等面积法推出25abab+=−，即可求得214ab=，从而求得答案.【小问1详解】在ABC中，由coscoscAaCab−=+得sincossincossinsinCAAC

AB−=+，即sincossincossinsin()CAACAAC−=++,故2sincossinACA−=，由于(0,π),sin0AA，故1cos2C=−，而(0,π)C，故2π3C=.【

小问2详解】由2π3C=可得222cabab=++，而5c=，故2225abab+=−，则2()25abab+=+，由ABC内切圆半径34r=，可得11()sin22abcrabC++=，即53()342abab++=，即

25abab+=−，故2(25)25abab−=+，解得214ab=，故ABC的面积11213213sin224216SabC===.19.如图所示，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，侧面

PAD为正三角形，且24,ADABMN==、分别为PDBC、的中点，H在线段PC上，且3PCPH=．（1）求证：//MN平面PAB；（2）当AMPC⊥时，求平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1

）取AD中点Q，连接,MQNQ，要证//MN平面PAB，只需平面//MQN平面PAB，结合已知条件即可得证.（2）当AMPC⊥时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据24==ADAB以及中点关系、3PCPH=即可写出各个点

的坐标，进而求出法向量即可求解.【小问1详解】如图所示：的取AD中点Q，连接,MQNQ，,MN分别为PDBC、的中点，且底面ABCD为矩形，所以1//,2MQPAMQPA=，且//NQAB，又因为MQ

Ì平面MQN，MQ平面PAB，NQ平面MQN，NQ平面PAB，所以//MQ平面PAB，且//QN平面PAB，又因为MQNQQ=，MQÌ平面MQN，NQ平面MQN，所以平面//MQN平面PAB，因为MN平面MQN，所以由面面平行的性质可知/

/MN平面PAB【小问2详解】如图所示：注意到侧面PAD为正三角形以及M为PD的中点，所以由等边三角形三线合一得AMPD⊥，又因为AMPC⊥，且PD面PDC，PC面PDC，PDPCP=，所以AM⊥面PDC，又因为CD面PDC，所以CDAM⊥，又因为底面ABCD为矩形

，所以CDAD⊥，因为ADAMA=，AM面PAD，AD面PAD，所以CD⊥面PAD，因为PQ面PAD，所以CDPQ⊥，又//CDNQ，所以NQPQ⊥，又由三线合一PQAD⊥，又ADNQ⊥，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为24==ADAB，所以()(

)()()()0,2,0,2,0,0,0,0,23,2,2,0,0,2,0ANPCD−，又因为M为PD的中点，3PCPH=，所以()22430,1,3,,,333MH，所以()0,3,3MA=−

−，()2,1,3MN=−−，213,,333MH=−，不妨设平面AMN与平面HMN的法向量分别为()()11112222,,,,,nxyznxyz==，所以有1100nMAnMN==以及2200nMHnMN=

=，即分别有11111330230yzxyz−−=−−=以及2222222130333230xyzxyz−+=−−=，分别令121,1yx=−=，并解得()()121,1,3,

1,2,0nn=−−=，不妨设平面AMN与平面HMN的夹角为，所以()()12222222121112301cos5113120nnnn−+−===−++++；综上所述：平面AMN与平面HMN的夹角的余弦值为15.20.某企业为提高竞争

力，成功研发了三种新品、、ABC，其中、、ABC能通过行业标准检测的概率分别为469,,5710，且、、ABC是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品、、ABC通过行业标准检测的品种数为X，求X的分布列；（2）已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A中任意

抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n．如果抽取次数的期望值不超过5，求n的最大值．参考数据：456780.9750.904,0.9750.881,0.9750.859,0.9750.838

,0.9750.817===【答案】（1）分布列见解析（2）5【解析】【分析】（1）由题意X的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.

（2）不妨设抽取第()11kkn−次时取到优质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975kPk−=，而第n次抽到优质产品的概率为()()10.975nPn−=，所以抽取次数的期望值为()()()()()1111

110.0250.9750.975nnknkkEnkPknPnkn−−−−===+=+()()()210.025120.97510.9750.975nnnn−−=+++−+，对其求和并结合

()5En以及参考数据即可求解.【小问1详解】由题意X的所有可能取值为：0，1，2，3.()111157103500PX===,()411161119195710571057100135PX=++==,()46141916911457571

0571057103501752PX=++===,()46921610857103505317PX====;所以X的分布列如下表：X0123()PX13501935057175108175【小问2详解】不妨设抽取第()11,2kknn−次时取到优

质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975kPk−=，而第n次抽到优质产品的概率为()()10.975nPn−=，因此由题意抽取次数的期望值为()()()()()1111110.0250.975

0.975nnknkkEnkPknPnkn−−−−===+=+()()()210.025120.97510.9750.975nnnn−−=+++−+，()()()()()()210.9750.02510.97520.

97510.9750.975nnnEnnnn−−=++−+−+，两式相减得()()()()()2110.0250.02510.9750.97510.9750.0250.975nnnEnnn−−−=+++−−+

，所以()()()10.9754010.97510.975nnEn−==−−，又由题意可得()5En，所以()4010.9755n−，即()0.9750.875n，注意到当5n=时，有50.9750.8810.875

，且当6n=时，有60.9750.8590.875=；综上所述：n的最大值为5.21.已知点A为圆22:21060Cxyx+−−=上任意一点，点B的坐标为()10,0−，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D

．（1）求点D的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴分别交于12,AA两点（1A在2A的左侧），过()3,0R的直线l与轨迹E交于,MN两点，直线1AM与直线2AN的交于P，证明：P在定直线上．【答案】（1）22146xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意推出||

||||4DCDB−=，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线1AM和2AN的方程，推得122121522tyyyxxtyyy++=−+，结合根

与系数的关系化简，即可证明结论.小问1详解】【由22:21060Cxyx+−−=得22:(10)61Cxy−+=，其半径为4，因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D，故||||DBDA=，则||||||||||||||4DCDBDCD

AAC−=−==,而||84BC=，故点D的轨迹E为以,BC为焦点的双曲线，则22224,2,2210,10,6aaccbca=====−=，故点D的轨迹E的方程为22146xy−=.【小问2详解】证明：由题意知12(2,0),(2,0)AA−，若直线l斜率为0，则其与

双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为3xty=+，联立223146xtyxy=+−=，得22(32)18150tyty−++=，21441200t=

+，故12212218321532tyytyyt−+=−=−，设()()1122,,,MxyNxy，则直线1AM的方程为1111(2)(2)25yyyxxxty=+=+++，直线2AN的方程为2222(2)(2)21y

yyxxxty=−=−−+，故122121522tyyyxxtyyy++=−+，则2221221113232=531518755()523215152232ttyyxttytttttxy−+−−−+−=−−+−−=−−+，即252xx+=−−，解得43x

=，故直线1AM与直线2AN的交点P在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线1AM与直线2AN的交点P在定直线上，解答时

要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.22.已知函数()()()ln1,e2ln3ln23xfxxgxaxa=+=−++．（1）当()()1,00,x−+时，求证：()112fxxx−+；（2）若()1,x−+时，()()

gxfx，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）(0,4e【解析】【分析】（1）对()0,x+与()1,0x−进行分类讨论，通过导函数求单调性得出最值即可证明；（2）原式化简可得()e2ln3ln23ln1xaaxx−+−−，只需求得()()el

n1xFxaxx=−+的最小值，最小值利用虚根0x表示，再利用0x置换a从而得出0x的不等式，构造函数()()()23ln123ln231xHxxxx=++++++求出()0Hx的解集，最后结合函数()00ln2ln1axx

=−+−的单调性即可求出a的范围.【小问1详解】由题知，当()0,x+时，原不等式可化为：()2ln12xxx+−+，令()()212lnxxhxx=++−，则()211011xhxxxx=+−=++，所以()hx在()0,+上单调递增，从而有()()0

0hxh=，故原不等式成立.当()1,0x−时，原不等式等价于()0hx，又()211011xhxxxx=+−=++，所以()hx在()1,0−上单调递增，从而有()()00hxh=，故原不等式成立.综上所述：当()()1,00,x−+

时，恒有()112fxxx−+.【小问2详解】由()e2ln3ln23xgxaxa=−++表达式可知0a，()()gxfx对()1,x−+恒成立等价于()e2ln3ln23ln1xaaxx−+−−对()1,x−

+恒成立令()()eln1xFxaxx=−+，则有()()()1ee1xxFxaxx=+−+，令()()()()1ee1xxGxFxaxx==+−+，则有()()()212e01xGxaxx=+++所以()Fx在()1,x−+上单

调递增又1x→−时，()Fx→−，x→+时()Fx→+从而存在唯一()01,x−+，使得()00Fx=，即()()00001ee01xxaxx+−=+，可得()()00001ee1xxaxx=++，()00ln2ln1axx=−+−，当()01,xx−时，()00Fx，

()Fx在()01,xx−单调递减，当()0,xx+时，()00Fx，()Fx在()0,xx+单调递增，故()()()0000eln1xFxFxaxx=−+故原不等式恒成立只需()()()00000020eln122ln13ln231exx

xxxxx−+−+−−−+即()()000203ln123ln2301xxxx++++++，构造函数()()()23ln123ln231xHxxxx=++++++可得()()()()2331335422

111xxxHxxxx−++=++=++++()1x−，当1x−时，令()2354uxxx=++，因为2548230=−=−从而可得()0Hx在()1,x−+时恒成立又102H−=，所以()0Hx的解集为1,2−+.又因为()00ln2ln1axx

=−+−，令()()2ln1mxxx=−+−，易得()mx在定义域内单调递减，所以111ln2ln1ln4222a−−++=+所以1ln42e4ea+=，故a的取值范围为：(0,4e【点睛】思路点睛：（1）不等式两边同时去分母时务必要记得对分母的正负分类讨论

；（2）恒成立问题可以优先转化为最值问题，而最值问题往往通过导函数作为工具；（3）隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，需要仔细观察式子多次尝试；第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程进行代换，可能需要进行

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