【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题50圆的方程 Word版含解析.docx，共(34)页，3.996 MB，由小赞的店铺上传

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专题50圆的方程知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：圆的方程题型二：与圆有关的最值问题题型三：与圆有关的轨迹问题培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题

填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【考点预测】1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点

的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋

(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2

＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．【常用结论】1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.【方法技巧】1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.

一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，

即设出圆的方程，用待定系数法求解.2.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的

最值的常见类型及解法.①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为圆上动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.3.求与圆有关的轨

迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足

的关系式等.二、【题型归类】【题型一】圆的方程【典例1】已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3

)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【解析】到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立3x－4y＋5＝0，y＝－x－4，

解得x＝－3，y＝－1.又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.【典例2】已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆

的一般方程为________________．【解析】方法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得(2－a)2＋(－3－b)2＝r2，(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝

－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立2x＋y＋4＝0，x－2y－3＝0，得交点坐标O(－1，－2)，又点O到点A的

距离d＝10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.【典例3】已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝25

16D.x－342＋y2＝254【解析】方法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则由题意得1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，1－E＋F＝0，解得D＝－

32，E＝0，F＝－1.所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即x－342＋y2＝2516.方法二(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线

y－12＝2(x－1)上．由题意知圆E的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.故选C.【题型二】与圆有关的最值问题【典例1】已知M(x，y)为

圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值．【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆

心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2

)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋

（－1）2＝22，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.【典例2】设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|PA→＋PB→|的最大值为____

____．【解析】由题意，知PA→＝(－x，2－y)，PB→＝(－x，－2－y)，所以PA→＋PB→＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4

，所以|PA→＋PB→|＝4x2＋4y2＝26x－5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA→＋PB→|的值最大，最大值为26×5－5＝10.【典例3】(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上

任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为()A．4B．6C．32＋1D．8【解析】由题意，知圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由图

可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为（－3－0）2＋（3＋1）2＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4，因此A，B，C正确，只有D不正确．故选ABC.【题型三】与圆有关的轨迹问题

【典例1】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.【解析】如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.

因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2＝x0－32，y2＝y0＋42，整理得x0＝x＋3，y0＝y－4，又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－

3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与轨迹相交于两点－95，125和－215，285，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－95，125和

－215，285.【典例2】已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【解析】(1)法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y

≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x

2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点

C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x

0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).【典例3】已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB

的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点，∴x＝x0＋82，y＝y0＋62，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵

点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x20＋y20＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)

2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆．三、【培优训练】【训练一】（2023秋·高二单元测试）已知()2,0A，点P为直线50xy−+=上的一点，点Q为圆221xy+=上的一点，则12

PQAQ+的最小值为（）A．5222+B．5222−C．1122D．1124【答案】D【分析】令12AQMQ=，可得M点的坐标为1,02，则12PQAQ+=PQMQ+，即可得答案.【详解】设()()11

0,,,MxQxy，令12AQMQ=，则()()()22222221111111481442233xxxyxxyxxy−−−+=−+++=2211112xyx+==，则M1,0212PQAQ+=PQMQ+.如图，当,,PQM三点共线时，且PM垂直于直线50xy

−+=时，PQMQ+有最小值，为PM，即直线50xy−+=到点M距离，为15112242+=.故选：D【训练二】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所

对的圆周角为25.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（）A．(0,51−B．(0,5C．()0,51−D．()

0,5【答案】D【分析】先根据题意画出相应的图，弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为圆心距减去两圆半径，找出圆心距的最大值即可.【详解】如图，弧E的中点为M，弧E所对的圆周角为25，则弧E所对的圆心角为45，圆O的半径为1OM=，在弧E上取两点A、B，则45AO

B，分别过点A、B作圆O的切线，并交直线OM于点D，当过点A、B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上一定还存在点S、T，使过点S、T的切线为两圆的内公切线，则圆C的圆心C只能在线段MD上，且不包括端点，过点C，分别向AD、BD作垂线，垂足为R、P，则CR即为圆C的半径，此时圆O

与圆C皆满足题意：弧E上存在四点A、B、S、T，过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切.线段OC交圆C于点N，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MN的长度.在直角AOD△中，1512cos51coscos254OAOAOAODAOBAOD====+−，1105115MN

OCOMCNOCCROD=−−=−−−−=+−=，即弧E上的点与圆C上的点的最短距离MN的取值范围为()0,5.故选：D.【训练三】（多选题）（2024·江西·校联考模拟预测）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的

两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆C：22143xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点P，Q均在C的蒙日圆O上，PA，PB分别与C相切于A，B，则下列说法正确的是（）A．C的蒙日圆方程是224xy+=B．设

()1,1N，则2ANAF+的取值范围为45,45−+C．若点P在第一象限的角平分线上，则直线AB的方程为314414240xy+−=D．若直线PQ过原点O，且与C的一个交点为G，123GFGF=，则4GPGQ=【答案】BC【分析】对于A，根据椭圆的两条特殊切线的

交点求出蒙日圆的半径，可得A错误；对于B，利用椭圆的定义求出2ANAF+的取值范围可得B正确；对于C，利用导数的几何意义求解可得C正确；对于D，根据椭圆的定义以及平面向量数量积的运算律可求出4GPGQ=，可得D错误.【详解】对于A，分别过椭圆C的顶点(2,0)

，(0,3)作椭圆C的切线，则两切线的交点(2,3)Q在椭圆C的蒙日圆上，故该蒙日圆的半径||437rOQ==+=，即椭圆C的蒙日圆的方程为227xy+=，故A错误；对于B，由椭圆的定义得21||||||4||ANAFANAF+=+−14||||ANAF

=+−14||NF+224(11)145=+−−+=+，当且仅当点A在1NF的延长线上时取等号，()21||||4||||ANAFAFAN+=−−14||NF−224(11)145=−−−+=−，当且仅当点A在1FN的延长线上时取等号，所以2ANAF+的取值范围为45

,45−+，故B正确；对于C，在方程227xy+=中，令0xy=，得142xy==，故1414(,)22P，设切点11(,)Axy，22(,)Bxy，因为1414(,)22P，PAPB⊥，所以10y，20y，由22143xy+=两边对x求导得22043xyy+=，所以113

4PAxky=−，2234PBxky=−，又11142142PAykx−=−，22142142PBykx−=−，所以111114324142yxyx−−=−，222214324142yxyx−−=−，所以2211113144142(34

)24xyxy+=+=，2222223144142(34)24xyxy+=+=，所以11314414240xy+−=，22314414240xy+−=，所以点11(,)Axy、22(,)Bxy都在直线314414240xy+−=上，所以直线AB的方程为

314414240xy+−=，故C正确；对于D，12||||24GFGFa+==，则221212||||2||||16GFGFGFGF++=，所以2212||||10GFGF+=，由122GFGFGO+=得2221212||24||GFGFG

FGFGO++=①，由1221GFGFFF−=得222121212||2||GFGFGFGFFF+−=②，则①+②得2204||4GO=+，解得2||4GO=，所以()()||||||||GPGQrGOrGO=−+22||r

GO=−74=−3=，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求解椭圆的切线方程，利用平面向量数量积求解向量的长度是解题关键.【训练四】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知向量,,OAOBOP满足||1OA=，||

2OB=uuur，0OAOB=，OPOAOB=+.则下列说法正确的是（）A．若点P在直线AB上运动，当取得最大值时，||OP的值为5B．若点P在直线AB上运动，OA在OP上的投影的数量的取值范围是

5(,1]5−C．若点P在以r=255为半径且与直线AB相切的圆上，||OP取得最大值时，+的值为3D．若点P在以r=255为半径且与直线AB相切的圆上，+的范围是[1,3]−【答案】BD【分析】根据给定条件，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求出点P的坐标，逐项分析点P的轨迹并推理计算

、判断作答.【详解】因为0OAOB=，即有OAOB⊥，则以点O为坐标原点，,OAOB的方向分别为,xy轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(1,0),(0,2)AB，由OPOAOB=+，得(,2)P，点,AB确定的直线l方程为：112xy+=，即22xy+=，当点

P在直线l上时，222+=，即1=−，11(1)()24=−=−−+，因此当12==时，取得最大值14，此时1(,1)2P，2215||()122OP=+=，A错误；OA在OP上的投影的数量222||(2)584OAOPmOP===+−+，当0=

时，0m=，当0时，2112(2)1m=−+，当且仅当1=时取等号，即01m，当0时，2155485m=−−−+，因为24855−+恒成立，则505m−，所以515m−，即OA在OP

上的投影的数量的取值范围是5(,1]5−，B正确；当点P在以r=255为半径且与直线AB相切的圆上时，因为与直线AB相切，且半径为255的圆的圆心轨迹是与直线AB平行，到直线AB距离为255的两条平行直线，设这两条与AB平行的直线方程为2,2xytt+=，则22|2|25

21t−=+，解得4t=或0=t，因此动圆圆心的轨迹为直线1:24lxy+=或直线2:20lxy+=，设圆心为(,)ab，则点P在圆224()()5xayb−+−=上，其中24ab+=或20ab+=，于是令2cos5(R)22sin5ab=+=+，

22222244||(cos)(sin)(cossin)5555OPababab=+++=++++222222442||555ababab++−+=+−，显然点(,)ab是直线1l或2l上任意一点，即,Rab，从而22ab+无最大值，即||O

P无最大值，C错误；21cossinsin()2255bbaa+=+++=+++，其中锐角满足tan2=，显然1sin()1−+，当圆心(,)ab在直线2l时，20ab+=，则sin()[1,1]

+=+−，当圆心(,)ab在直线1l时，24ab+=，则2sin()[1,3]+=++，所以+的范围是[1,3]−，D正确.故选：BD【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐

标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.【训练五】（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知,,ABD三点在圆22:(2)36Cxy++=上，ABD△的重心为坐标

原点O，则ABD△周长的最大值为.【答案】12122+【分析】根据已知条件发现2OC=，且O点到圆与x轴的正半轴交点的距离为4，正好是1:2的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与x轴

的正半轴交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.【详解】由圆22:(2)36Cxy++=得圆心(2,0)C−，半径圆6r=，如图，不妨设点A在x轴的正半轴上，由于ABD△的重心

为坐标原点O，且42AOCO==,所以BD为圆C的直径，所以2212,144BDABAD=+=，所以222()2ABADABADABADABAD+=+=++222()122ABAD+=，当且仅当6ABAD==时取等号

，所以ABD△周长的最大值为12122+.故答案为：12122+.【训练六】（2023·重庆万州·统考模拟预测）设抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，点(),4Pa在抛物线C上，POF（其中O为坐标原点）的面积为4．(1)求POF外接圆的方程；(2)若过点()1,0的直线l与抛

物线C交于A，B两点，延长AF，BF分别与抛物线C交于M，N两点，证明：直线MN过定点，并求出此定点坐标．【答案】(1)22420xyxy+−−=(2)证明见解析，定点坐标为(4,0).【分析】（1）根据面积列出关于p的方程，解出p值，代入P点即可得到a值；（2）设l的方程为1xmy=+，()()

()()11223344,,,,,,,AxyBxyMxyNxy，通过联立直线l方程与抛物线方程得到韦达定理式，写出AF的方程，将其与抛物线方程联立，得到M点坐标，同理得到N点坐标，写出直线MN方程，将其化简得到定点坐标.【详解】（1）142422POFpS

OF===，4p=，28yx=，168a=，2a=，设POF外接圆的方程为220xyDxEyF++++=，2240DEF+−，(2,4),(2,0)PF，222000002020024240FDFDEF++++=++++

=++++=，即240DEF=−=−=，POF外接圆方程为22240xyxy+−−=.（2）设l的方程为1xmy=+，()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyMxyNxy，联立281yxxmy==+得2880ymy

−−=，264320m=+，128yym+=，128yy=−，直线AF的方程1122xxyy−=+，联立211822yxxxyy=−=+得21128?160xyyy−−−=，1316yy=−，3116yy=−，2338yx=，22332111163288yxyy−==

=，2113216,Myy−，同理2223216,Nyy−，当0m时，直线MN的斜率存在，()()()21121212222112121222212121616843232222MNyyyyyyyykyyyyyy

yyyyyy−−+−===−==−+++−，直线MN的方程为2112116432yxyyyy+=−+，即()()1212211161284yyyyyxyy+++=−，()21221116128164yyyyxyy+++=−，即()1212221

116128164yyyyyxyy+++=−，()122211128128164yyyxyy++−=−，即()124(4)yyyx+=−，直线MN过点()4,0，当0m=时，由对称性不妨令()()1,22,1,2

2AB−，则()()4,42,4,42MN−，直线:4MNx=过点()4,0，直线MN过定点(4,0).【点睛】关键点睛：本题采取设线法，设设l的方程为1xmy=+，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，写出直线AF方程，再次联立抛物线求解出M点坐标，同理得到N点坐标，

最后得到直线MN的方程，通过化简并结合韦达定理式得到直线MN的方程为()124(4)yyyx+=−，从而得到定点坐标.四、【强化测试】一、单选题1．（2023·北京·模拟预测）当圆22:4630Cxyxy+−+−=的圆心到直线:10lmxym++−=的距离最大时，m=（）A．34B．43C．34

−D．43−【答案】C【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线l垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.【详解】解：因为圆22:4630Cxyxy+−+−=的圆心为(2,3)C−,半径4R=，又因

为直线:10lmxym++−=过定点A(-1,1),故当CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有1AClkk=−，即4()13m--=-，解得34m=−.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0AB−，点P

满足2216PAPB+=，直线()():1130lmxymm+−+−=R，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（）A．43B．13C．74−D．34−【答案】C【分析】由2216PAPB+=可求出点P的轨迹方程为224xy+=，数形结合，当O

Ml⊥时，此时点P到直线l的距离最大，计算1OMlkk=−即可求得m的值.【详解】()()2,0,2,0AB−，设(,)Pxy，则()()2222222222228PAPBxyxyxy+=+++−+=++，2216PAPB+=

，2222816xy++=，化简得224xy+=，即点P的轨迹方程为224xy+=，圆心为()0,0，半径为2，()():1130lmxymm+−+−=R，化简为(3)10mxxy−+−+=，由3010xxy−=

−+=，解得34xy==，即直线l恒过定点()3,4，设定点为()3,4M,如图，当OMl⊥时，此时点P到直线l的距离最大，1OMlkk=−，404303OMk−==−，1lkm=+，()4113m+=−，74m=−.故选：C.3．（

2023·全国·高二专题练习）已知点()1,3M在圆22:Cxym+=上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】D【分析】先根据点在圆上，求出4m=，考虑l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.

【详解】由题意得134m=+=，当l的斜率不存在时，此时直线方程为1x=，与圆22:4Cxy+=相交，不合题意，当l的斜率存在时，设切线l的方程为()31ykx−=−，则2321kk−=+，解得33k=−，设l的倾斜角为0180，故l的倾斜角为150.故选：D4．（2023·江西

·校联考一模）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（Pappus，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线1l，2l

，3l，且2l，3l均与1l垂直.若动点M到23,ll的距离的乘积与到1l的距离的平方相等，则动点M在直线23,ll之间的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设记1l为0y=，直线2l为0x=，3l为xa=，进而可根据条件表示出动点M的

轨迹方程，从而得出结论.【详解】因为在平面内三条给定的直线1l，2l，3l，且2l，3l均与1l垂直，所以2l，3l平行，又因为动点M到23,ll的距离的乘积与到1l的距离的平方相等，记1l为0y=，直线2l为0x=，3l为

xa=，设(),Mxy，且动点M在直线23,ll之间，所以M到1l的距离为y，M到2l的距离为x，M到3l的距离为ax−，所以2yaxx=−，若0a，则()2yaxx=−；若a<0，则()()2yxax=−−，所以()2yaxx=−，即2

2224aaxy−+=，故动点M的轨迹为圆.故选：A.5．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中,已知()3,0A,()0,Bt()0t,若该平面中不存在点P,同时满足两个条件22212PAPO+=与2POPB=,则t的取值范围是（）A

．60,12−B．61,2++C．661,122−+D．660,11,22−++【答案】D【分析】设出点P坐标,根据22212PAPO+=,求出点P的轨迹方程,根据2POPB=,可求出

点P的另一个轨迹方程,只需这两个方程的曲线无交点即可,利用圆与圆的位置关系列出等式求出范围即可.【详解】解:由题知,不妨设(),Pxy,因为22212PAPO+=,所以()()22223212xyxy−+++=,化简可得:()2212xy−+=,故点P在以()1,0为圆心

,2为半径的圆上,又因为2POPB=,所以()22222xyxyt+=+−,化简可得:()22222xytt+−=,即点P在以()0,2t为圆心,2t为半径的圆上,故若存在点P，只需圆()2212xy−+=与圆()22222xytt+−=有

交点即可,即()22221222ttt−++,同时平方化简可得:241412ttt+−,即2224102410tttt+−−−,解得:661122t−+.所以不存在点P时，612t+或6012t−.故选:D6．（2023

春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知圆()221:31Oxy++=，圆()222:11Oxy−+=，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PA，PB（A，B为切点），使得2PAPB=，则动点P的轨迹方程为（）．A．2

2195xy+=B．24xy=C．2213xy−=D．()22533xy−+=【答案】D【分析】由条件结合圆的切线性质可得出()2212121POPO−=−，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由2PAPB=

得222PAPB=．因为两圆的半径均为1，则()2212121POPO−=−，则()()222231211xyxy++−=−+−，即()22533xy−+=．所以点P的轨迹方程为()22533xy

−+=．故选：D7．（2023·全国·高二专题练习）已知直线1(2)ymx+=−与圆22(1)(1)9xy−+−=相交于M，N两点.则||MN的最小值为（）A．5B．25C．4D．6【答案】C【分析】先求出圆心(1,1)A

和半径，以及直线的定点()2,1B−，利用圆的几何特征可得到当ABMN⊥时，||MN最小【详解】由圆的方程22(1)(1)9xy−+−=，可知圆心(1,1)A，半径3R=，直线1(2)ymx+=−过定点()2,1B−，因为22(21)(11)59−+−−=，则定点()2,1B−在圆内，则点()2

,1B−和圆心(1,1)A连线的长度为()22(21)115d=−+−−=，当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时ABMN⊥，由圆的弦长公式可得22224|23(5)|2NRMd=−=−=，故选：C8．（2023·

河北邢台·校联考模拟预测）已知点()0,4P，圆()22:416Mxy−+=，过点()2,0N的直线l与圆M交于A，B两点，则PAPB+的最大值为（）A．82B．12C．65D．92【答案】B【分析】利用中点坐标求出AB的中点(,)Dx

y的轨迹方程为圆心(3,0)E、半径为1的圆，得PD的最大值，结合2PAPBPD+=即可求解.【详解】由题意知，(4,0)M，圆M的半径为4，设AB的中点(,)Dxy，则NDMD⊥，即0NDMD=，又(2,),(4,)N

DxyMDxy=−=−，所以2(2)(4)0xxy−−+=，即点D的轨迹方程为22(3)1Exy−+=：，圆心(3,0)E，半径为1，所以PD的最大值为2213416PE+=++=，因为2PAPBPD+=，所以PAPB+的最大值为12

.故选：B.二、多选题9．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）已知抛物线2:4Cxy=的焦点为F，直线1l，2l过点F与圆()22:21Exy−+=分别切于A，B，两点，交C于点M，N和P，Q，则（）A．C与E没有公共点B．经过F，A，B三点的圆

的方程为2220xyxy+−−=C．455AB=D．1369MNPQ+=【答案】BCD【分析】根据圆的方程和抛物线方程联立，得到的解，即可判断选项A中两者有没有公共点；选项B的问题转化为求解以FE为直径的圆，由F和E点坐标即可判断；由E

A，FAEF可以利用等积法先求AB的一半，再求AB来判断C；利用直线和圆相切，求出直线的方程，则分别求出MN和PQ的长度，即可判断选项D.【详解】对于A，联立()222421xyxy=−+=，得()422116xx

−+=，因为2x=是方程的一个根，所以C与E有公共点，A项错误；对于B，连接EA，EB，则EAFA⊥，EBFB⊥，所以F，A，B，E四点在以FE为直径的圆上，且()0,1F，()2,0E，所以圆的方程为()2215124xy−+−=，化

简得2220xyxy+−−=，B项正确；对于C，由题得222FAEFEA=−=，所以1225ABEAFAEF==，所以455AB=，C项正确；对于D，设过点F且与圆()22:21Exy−+=相切的切线方程为

1ykx=+，由22111kk+=+，解得0k=或43k=−.不妨设1:1ly=，24:13lyx=−+，则4MN=，联立24413xyyx==−+得298290yy−+=，所以829PQyy+=，所以10029PQPQyy=++=，所以100136499MNPQ+=+=，D项正

确.故选：BCD.10．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期中）已知圆C过点()1,3A，()2,2B，直线m：320xy−=平分圆C的面积，过点()0,1D且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，则（）A．圆心的坐标为(

)2,3CB．圆C的方程为22(2)(3)1xy−+−=C．k的取值范围为17,33D．当12k=时，弦MN的长为255【答案】ABD【分析】设圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，根据已知条件由圆C被直线m平分，结合点A，B在圆上建立关于a，b，r的方程组

，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当12k=时，弦MN的长，进而选出符合要求的选项.【详解】设圆的标准方程为()()222xaybr−+−=，因为圆C被

直线:m320xy−=平分，所以圆心()Cab，在直线m上，可得320ab−=，由题目条件已知圆C过点(1,3),(2,2)AB，则()()()()2222221322abrabr−+−=−+−=，综上可解得2,3,1abr===，所以圆心的坐标为(2,3

)C，选项A正确；圆C的方程为()()22223xyr−+−=，选项B正确；根据题目条件已知过点01D（，）且斜率为k的直线l方程为1ykx=+，即10kxy−+=，又直线l与圆C有两个不同的交点M，N，所以点23C（，）到直线l的距离小于半径r，则利用点到直线的距离公式可得：

223111kk−++，解得k的取值范围为474733k−+，所以选项C错误；当12k=时，可求得点23C（，）到直线l的距离为22311255512kdk−+===+，所以根据勾股定理可得2221255155drd=−=−=

，即弦MN的长为12525d=，所以弦MN的长为255，选项D正确.故选：ABD.11．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22525:(2)24Cxy−+−=，点(0,1),(4,4)AB，点M在x轴上，则（）A．B不在圆C上B．y轴被圆

C截得的弦长为3C．A，B，C三点共线D．AMB的最大值为π2【答案】BCD【分析】A选项，代入(4,4)B，验证其是否在圆上；B选项，由垂径定理得到弦长；C选项，根据条件，可知AB为直径，故A，B，C三点共线；D选项，结合AB为直径，且

x轴为()2225224xy−+−=的一条切线，可得AMB的最大值.【详解】A选项，因为22525(42)424−+−=，故(4,4)B在圆C上，A错误；B选项，22525:(2)24Cxy−+−=的圆心为5

2,2C，半径为52r=，圆心到y轴的距离为2，由垂径定理，得y轴被圆C截得的弦长为22223r−=，B正确；C选项，因为22525:(02)124C−+−=，故(0,1)A在圆上，又()()2240415AB=−+−=，即AB为半径的2倍，因为(4,4)B在圆C上，故AB

为直径，过圆心C，故A，B，C三点共线，C正确；D选项，由C知AB为直径，由于圆心为52,2，半径为52，故x轴为()2225224xy−+−=的一条切线，故AMB的最大值

为π2，D正确.故选：BCD.12．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆C的方程为22210xyy+−−=，若直线1yx=−上存在一点M，使过点M所作的圆的两条切线相互垂直，则点M的纵坐

标为（）A．1B．3C．1−D．3−【答案】AC【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点M、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC=以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210xyy+−−=化为标准方程为：()2212xy+

−=，圆心()0,1C，半径为2，因为过点M所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M、圆心以及两个切点构成正方形，2MC=，因为M在直线1yx=−上，所以可设(),1Maa−，则()22224MCaa=+−=，解得：2a=或0a=，所以()2,1M或()0,

1M−，故点M的纵坐标为1或1−.故选：AC.三、填空题13．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知动圆N经过点()6,0A−及原点O,点P是圆N与圆22:(4)4Mxy+−=的一个公共点,则当OPA最小时,圆N的半径为.【答案】5【分

析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时OPA最小,根据位置关系可得圆N的半径.【详解】如图:记圆N半径为R,OPA=,则2ANO=,BNO=,所以3sinsinBOOPABNOONR===,当OPA最小时,R最大,此时两圆内切.

由已知设动圆N的圆心为()3,Nt−,又圆心()0,4M可得2RMN−=即2222300)2304)tt−−+−−=−−+−（）（（）（,解得4t=,所以5R=,即圆N的半径为5.故答案为:5.14．

（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为.【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立

方程组，求出答案；方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:()()()()2

222222325230abrabrab−+−−=−−+−−=−−=,解得：21,2,10,abr=−=−=故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二：线段AB的中点坐标为2235,22−−−，即()

0,4−，直线AB的斜率为531222−+=−−，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为42yx+=−，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与230xy−−=的交点为圆心，联立240,230,xyxy++=−−=，得交点坐标()

1,2O−−，又点O到点A的距离()()22122310d=−−+−+=，即半径为10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.15．（2023·全国·高三专题

练习）过点(4,5)P作圆22:(1)(2)4Cxy−+−=的两条切线，切点分别为,AB，则AB的直线方程为.【答案】33130xy+−=【分析】根据题意以P为圆心，PA为半径作圆P，两圆方程作差即可得直线AB的方程.【详解】圆22:(1)(2)4Cxy−+−

=的圆心()1,2C，半径2r=，方程化为一般式方程为222410xyxy+−−+=，则()()22415232PC=−+−=，以(4,5)P为圆心，2214PAPCr=−=为半径作圆P，其方程为22(4)(5)14xy−+−=

，方程化为一般式方程为22810027xyxy−−++=，∵PAPB=，则,AB是圆P与圆C的交点，两圆方程作差可得：33130xy+−=，∴直线AB的方程为33130xy+−=.故答案为：33130xy

+−=.16．（2023春·江苏南京·高二校考期末）直线l经过点()2,3P−，与圆22:22140Cxyxy+++−=相交截得的弦长为27，则直线l的方程为．【答案】512460xy−−=或2x=【分析】将圆的方程化

为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆22:22140Cxyxy+++−=，即()()221116xy+++=，圆心为()1,1C−−，半径4r=，因为直线与圆相交截得的弦长为27，所以圆心到直线的

距离()22473d=−=，若直线的斜率不存在，此时直线方程为2x=，满足圆心()1,1C−−到直线2x=的距离为3，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为()32ykx+=−，即230kxyk−−−=，则()2212331kkdk−+−−==+−，解得512k=，所以直线方程为(

)53212yx+=−，即512460xy−−=，综上可得直线方程为512460xy−−=或2x=.故答案为：512460xy−−=或2x=四、解答题17．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线l经过两条直线230xy−−=和4350xy−−=的交点，且与直线20

xy+−=垂直．(1)求直线l的一般式方程；(2)若圆C的圆心为点()3,0，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程．【答案】(1)10xy−−=(2)22(3)4xy−+=【分析】（1）由题意求出两直线的交点，

再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线l的方程；（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．【详解】（1）解：由题意知2304350xyxy−−=−−=，解得21xy==，直线230xy−

−=和4350xy−−=的交点为(2,1)；设直线l的斜率为k，l与直线20xy+−=垂直，1k=；直线l的方程为1(2)yx−=−，化为一般形式为10xy−−=；（2）解：设圆C的半径为r，则圆心为(3,0)C到直线:10lxy−−=的距离为2

2|301|211d−−==+，由垂径定理得22222||22()(2)()422ABrd=+=+=，解得2r=，圆C的标准方程为22(3)4xy−+=．18．（2022·全国·高一专题练习）点()00,Nxy是曲线22:1axby+=上任一点，已知曲线在点()00,Nx

y处的切线方程为001axxbyy+=．如图，点P是椭圆22:12xCy+=上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆22:4Oxy+=于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．(1)求点M的轨迹方程；(2)

求OPM面积的最大值．【答案】(1)221816xy+=(2)22【分析】（1）利用题设中给出的切线的计算方法结合设而不求的方法可求点M的轨迹方程；（2）结合（1）的()2,4Mmn及点到直线的距离公式可求OPM面积的表达式，利用基本不等式可求面积的

最大值.【详解】（1）设(),Pmn，则:12mxABny+=，设()()1122,,,AxyBxy，则11:4MBxxyy+=，22:4MAxxyy+=，设(),Mst，则11224,4xsytxsyt+=+=，故:4ABsxt

y+=即:144stABxy+=，所以424smtn==即24smtn==所以221816st+=即M的轨迹方程为：221816xy+=.（2）由（1）可得()2,4Mmn，故直线:20OMnxmy−=.P到OM的距离为2222244nmmnnmnmnm−=

++，故OPM面积222212424nmSnmnmnm=+=+，因为2212mn+=，故22122mn即22mn，当且仅当21,2mn==时等号成立，故OPM面积的最大值为22.19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCaba

b+=的焦距为23，设椭圆的上顶点为B，左右焦点分别为12FF､，且12FBF是顶角为120的等腰三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知,MN是椭圆C上的两点，以椭圆中心O为圆心的圆的半径为255，且直线MN与此圆相切.证明：以MN为直

径的圆过定点O.【答案】(1)2214xy+=(2)证明见解析【分析】（1）由题意联立方程组解出,ab即可；（2）当直线直线MN垂直于x轴时，求出,MN，验证0OMON=即可；当直线MN不垂直于x轴时，即直线斜率存在时，

设直线MN的方程，求出O到直线MN的距离，联立方程组消元，韦达定理，写出OMON化简即可.【详解】（1）由题意可知2222233tan303cbcabc====+，解得2,1ab==所以椭圆C的标准方程2214xy+=.（2）①当直线M

N垂直于x轴时，不妨设25252525,,,5555MN−此时0OMON=，OMON⊥，故以MN直径的圆过定点O；②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为()()1122,,,ykxmMxyNxy=+，因为直线MN与圆O相切，所以O到直线MN的距离

22551mk=+，即225440mk−−=，由2214ykxmxy=++=可得()222418440kxmkxm+++−=，所以2121222844,4141mkmxxxxkk−−+==++，()()12121212OMONxxyyxxkxmkxm=+=+++()()22

12121kxxkmxxm=++++()2222244814141mmkkkmmkk−−=+++++()2222244814141mmkkkmmkk−−=+++++222544041mkk−−==+，所以0OMON=，即OMON⊥.故以M

N为直径的圆过定点O，综上所述：以MN为直径的圆过定点O.20．（2023秋·天津北辰·高二校考期末）已知圆心为C的圆经过点()1A−，1和(2,2)B−−，且圆心在直线:10lxy+−=上，求：(1)求圆心为C的圆的标准方程；

(2)设点P在圆C上，点Q在直线50xy−+=上，求PQ的最小值；(3)若过点()05，的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程．【答案】(1)22(3)(2)25xy−++=(2)525−(3)20211050xy+−=或0x=【分析】(1)设圆的标准方程为222()()x

aybr−+−=，利用圆经过的两个点，且圆心在直线:10lxy+−=上，建立方程组就可以求得.(2)求出圆心到直线50xy−+=的距离，即可求出PQ最小值.(3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线50kxy−+=的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出k得值，即可写出直

线方程.【详解】（1）设圆的标准方程为222()()xaybr−+−=，因为圆经过(1,1)A−和点(2,2)B−−，且圆心在直线:10lxy+−=上，所以222222(1)(1)(2)(2)10abrabrab−−

+−=−−+−−=+−=解得：325abr==−=所以圆的标准方程为22(3)(2)25xy−++=.（2）因为圆C到直线50xy−+=的距离为3255252d++==，所以直线与圆相离

，所以PQ的最小值为525dr−=−.（3）当斜率存在时，由条件可知，圆心C到直线50kxy−+=的距离为22543d=−=根据点到直线的距离公式得：232531kk++=+，解得2021k=−.当斜率不存在时，直线方程为0x=，符合截圆所得的弦长为8所以直线方程为202110

50xy+−=或0x=.21．（2005·江苏·高考真题）如图所示，圆1O与圆2O的半径都是1，124OO=，过动点P分别作圆1O、圆2O的切线,PMPN（,MN为切点），使得||2||PMPN=，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．【答案】22(6)33xy−+=（或221

23=0xyx+−+）.【分析】建立直角坐标系，设P点坐标，根据几何关系列方程，化简即可得到结果.【详解】以12OO的中点O为原点，12OO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则12(2,0),(2,0)OO−，设点(,)Pxy.由已知||2||PMPN=，得22||2|

|PMPN=.因为两圆的半径均为1，所以()2212121POPO−=−，则2222(2)12(2)1xyxy++−=−+−，即22(6)33xy−+=，所以点P的轨迹方程为22(6)33xy−+=（或22123=0xyx+−+）.【点睛】本题主要考查了与圆相关的动点轨迹方

程，考查学生计算能力和转化能力，熟练运用数形结合的思想是本题的关键.22．（2019·四川·棠湖中学校考一模）已知抛物线2:4Cxy=，M为直线:1ly=−上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B．（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；（2）

证明：以AB为直径的圆恒过点M.【答案】（1）22(1)4xy+−=（2）见证明【分析】（1）设出过M点的切线方程，与抛物线方程联立，得到一个元二次方程，它的判别式为零，可以求出切线方程的斜率，这样可以求出A,B两点的坐

标，设出圆心P的坐标为(0,)a，由PMPB=，可以求出a，最后求出圆的方程；（2）设0(,1)Mx−，设切点分别为211(,)4xAx，222(,)4xBx，把抛物线方程化24xy=，求导，这样可以求出

切线的斜率，求出切线MA的方程，切线MB的方程，又因为切线MA过点0(,1)Mx−，切线MB也过点0(,1)Mx−，这样可以发现1x，2x是一个关于x的一元二次方程的两个根，计算出2110(,1)4xMAxx=−+uuur，2220(,1)4xMBxx=−+uuur，计算MAMB，根据根与系数

关系，化简MAMB，最后计算出MAMB=0，这样就证明出以AB为直径的圆恒过点M.【详解】解：（1）解：当M的坐标为(0,1)−时，设过M点的切线方程为1ykx=−，由24,1,xyykx==−消y得2440xkx−+=.(1)令2(4)440k=−=，解得1

k=.代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P的坐标为(0,)a，由PMPB=，得12a+=，解得1a=.故过,,MAB三点的圆的方程为22(1)4xy+−=．（2）证明：设0(,1)Mx−，由

已知得24xy=，12yx=，设切点分别为211(,)4xAx，222(,)4xBx，所以12MAxk=，22MBxk=，切线MA的方程为2111()42xxyxx−=−即2111124yxxx=−，切线MB的方程为2222()42xxyxx−=−即2221124yxxx=−

．又因为切线MA过点0(,1)Mx−，所以得201111124xxx−=−.①又因为切线MB也过点0(,1)Mx−，所以得202211124xxx−=−.②所以1x，2x是方程2011124xxx−=−的两实根，由韦达定理得1202,xxx+=124xx=−．因为2110(,1)4x

MAxx=−+uuur，2220(,1)4xMBxx=−+uuur，所以22121020()()(1)(1)44xxMAMBxxxx=−−+++uuuruuur22221212012012121()()21164xxxxxxxxxxxx=−

+++++−+．将1202,xxx+=124xx=−代入，得0MAMB=.所以以AB为直径的圆恒过点M．【点睛】本题考查利用直线与抛物线的位置关系，求出切线的斜率，又考查了利用导数，研究抛物线的切线问题，同时考查了求过三点的圆的方程.考查了方程思想、数学运算能力.