【文档说明】湖南省名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，976.102 KB，由小赞的店铺上传

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名校联考联合体2024年秋季高二第二次联考数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示

()()UUAB痧）的阴影部分是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.【详解】对于A，图中阴影部分表示AB，故A错误；对于B，图中阴影部分表示()A

BABð，故B错误；对于C，图中阴影部分表示()()UUAB痧，故C正确；对于D，图中阴影部分表示AB，故D错误.故选：C.2.若复数z满足12i1iz+=−，则z=（）A.13i2−+B.13i2−C.13i2−−D.13i2+【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算法则

求出复数z，再求其共轭复数即得.【详解】因为12i1iz+=−，所以()()()()12i1i12i13i1i1i1i2z+++−+===−−+，所以13i2z−−=.故选:C．3.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从

全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm，估计该校学生的平均身高是（）A.166.4cmB.168.2cmC.169.1cmD.170.0cm【答案】B【解析】【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数

，计算平均数即可.【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、1

68cm、171cm，所以该校学生的平均身高为10165816812171168.230++=()cm.故选：B4.已知直线1l：()2220axya−+−=，直线2l：220xy−−=，若12//ll，则（）A.1或1−B.2或−2C.

2D.−2【答案】C【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为直线1l：()2220axya−+−=，直线2l：220xy−−=，若12ll∥，则()()222042aa−−−=−−，解得22aa=−，所以2a=，故选

：C5.若a，b，c是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（）A.ab−，bc+，ca+B.ac−+，−−bc，ab+C.ab+，bc−，ac+D.ab+，ab−，c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.【详解】A选项：

()abbcca−++=+，所以ab−，bc+，ca+是共面向量；B选项：()()acbcabab−++−−=−−=−+，所以ac−+，−−bc，ab+是共面向量；C选项：()abbcac+−−=+，所以ab+，bc−，ac+是共面向量；D选项：令ab+

=()xab−+yc，显然,xy无解，故不是共面向量.故选：D6.已知0m，0n，且2464nmnm=+，则n的最小值为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】两边同乘m，得到2644nmmn=+，令tm=，转化为二

次方程326440tntn−+=在(0,)+有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为0,0mn，且2464nmnm=+，两边同乘m，可得2644nmmn=+，令tm=，则0t，可得22644nttn=+，即326440tntn−+=，所以关于

t的二次方程326440tntn−+=在(0,)+有解，令()23644fttntn=−+，可知其图象开口向上，对称轴为30128nt=，原题意等价于6Δ46440nn=−，解得4n，当4n=时，方程2161640tt−+=，即24(2

1)0t−=，解得12t=，此时14m=，满足题意，所以n的最小值为4.故选：C.7.圆1C：()()22121xy+++=与圆2C：()()22224xy−+−=的内公切线长为（）A.3B.5C.26D.4【答案】D【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y

轴，求公切线的长即可.【详解】如图：由图可知圆1C与圆2C的内公切线有一条为y轴，则公切线的长为|𝐴𝐵|=4，方法二：()()221221225CC=+++=，所以内公切线的长为：()2212212594CC−+=−=故选：D8.已知函数()fx的定义域为R，且()()21fxfx+=，若()

()01,2f，则()2026f的取值范围为（）A.()2,1−−B.1,4C.1,12D.11,42【答案】C【解析】【分析】由已知可得()4()fxfx+=，即()fx的周期为4，可得()()012026ff=，即可求范围.【详解】解：()2()1fxfx+=，

1(2)()fxfx+=，即11(4)()1(2)()fxfxfxfx+===+，即()4()fxfx+=，所以4上函数()fx的一个周期，()0(1,2)f，()11(2026)2,1(0)2fff==.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下是方程πtan233x+=的解的为（）A.0B.π3C.π2D.π【答案】ACD【解析】分析】解正切型方程判

断即可.【详解】因为πtan233x+=，所以ππ2π33xk+=+，Zk，所以π2kx=，Zk，所以π0,,π2是方程的解，故选：ACD10.已知直线l：()10kxyk−+−=，圆C：()()22121xy++−=，以下正确的是（）A

.l与圆C不一定存在公共点B.圆心C到l的最大距离为5C.当l与圆C相交时，304k−D.当1k=−时，圆C上有三个点到l的距离为222−【答案】ABD【解析】【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心C到直线

l的距离判断；对于B，由于直线恒过定点()1,1P，所以当时CPl⊥，圆心C到直线l的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断.【【详解】对于A，圆心C到直线l的距离为22212

111kkkdkk−−+−+==++，当1dr=，即22111kk++，解得0k或43k−，此时直线l与圆相离，没有公共点，故A正确；对于B，因为直线():10lkxyk−+−=，即()11kxy

−=−，所以直线l过定点()1,1P，当时CPl⊥，圆心C到直线l的距离最大，最大值为()()2211215CP=−−+−=，故B正确；对于C，当直线l与圆相交时，则22111kk++，解得403k−，故C错误；对于D，当1k=−时，直线:20

+−=lxy，圆心C到直线l的距离为1222211−+−=+，所以圆上有三个点到直线l的距离为222122−−=，故D正确.故选：ABD.11.当)10,1,10,nxaan=Z时，记()nfx=，()lgagx=，若0x，0y，则（）A.()()()fxyfxfy=+B

.()()xffxfyy=−C.()()()()(),1gxygxgygxgy++−D.()()()(),1xggxgygxgyy−−+【答案】CD【解析】【分析】先明确题意，)10,1,10,nxaan=

Z表示一个数的科学计数法，()nfx=，()lgagx=，然后找一个数)10,1,10,mybbm=Z，然后利用科学计数法表示,xxyy，然后分别写出对应的函数值,判断每一个选项即可.【详解】我们先理解题意，)10,1,10,nxaan=Z表示了一个数科学计数

法；其中()nfx=，()lgagx=不妨令另一个数为)10,1,10,mybbm=Z，则()fym=，()lgbgy=)10,1,100mnxyabab+=的所以当)1,10ab时，得()()()fxymnfxfy=+

=+，()()()lglglggxyababgxgb==+=+当)10,100ab时，得)110,1,1001010mnababxy++=，此时()()()11fxymnfxfy=++=++，()()()lglglg1110abgxyabgxgb==+−=+−，故选项A错误；选项C正确；

110,,1010nmxaaybb−=，所以当1,110ab时，()1101010,1,10nmxaaybb−−=，此时()()11xfnmfxfyy=−−=−−，()()10lglglg11xagab

gxgyyb==−+=−+，当)1,10ab时，10nmxayb−=，此时()()()fxynmfxfy=−=−，()()lglglgxagabgxgyyb==−=−，故选

项B错误，选项D正确；故选:CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线240xy−−=的截距式方程为________.【答案】142xy−=【解析】【分析】直接化简计算即可.【详解】直线240xy−−=的截距式方程为：142xy−=.故答

案为：142xy−=13.已知空间中,,ABC三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)−−，则点C到直线AB的距离为________.【答案】213【解析】【分析】根据题意，求得(1,1,2),(2,0,1)A

BAC=−−=−，结合点到直线的向量公式，即可求解.【详解】由点(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)ABC−−，可得(1,1,2),(2,0,1)ABAC=−−=−，所以点C到直线AB的距离为224211()51()365ABACdACABAC=−

=−=，所以点C到直线AB的距离为213.故答案为：213.14.从球O外一点P作球O表面的三条不同的切线，切点分别为,,ABC，令APB=，BPC=，CPA=.若2PA=，π3==，π2=，则球O的表面积为

________.【答案】16π【解析】【分析】根据题意，得到222ABBCAC+=，得到ABCV为直角三角形，取AC的中点E，由截面圆的性质，可得OE⊥平面ABC，再由PE⊥平面ABC，得到,,,APCO四

点共面，结合四边形APCO为正方形，求得2OA=，得到球O的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，从球O外一点P作球O表面的三条不同的切线，且2PA=，π3APBBPC==，π2CPA=，可得2PAPB

PCABBC=====，22AC=，则222ABBCAC+=，可得ABBC⊥，所以ABCV为直角三角形，取AC的中点E，连接,OEBE，由截面圆的性质，可得OE⊥平面ABC，在PAC中，PAPC=，且AC的中点E，可得PEAC⊥，又由2,2PEBEPB==

=，所以222PEBEPB+=，所以PEBE⊥，因为ACBEE=，且,ACBE平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以OE与PE重合，所以,,,APCO四点共面，连接,,,OAOBOCOP，则,,OAPAOAPBOAPC⊥⊥⊥，所以四边形APCO为正方形，所以

2OA=，即外接球的半径为2R=，所以球的表面积为24π16πSR==.故答案为：16π.四、解答题：本题共.5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.在ABCV中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

且()()()sinsinsinsinbaBAcCA−+=−.（1）求B；（2）若π4A=，26ab+=+，求c.（提示：5π62sin124+=.）【答案】（1）π3B=（2）31+【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求解即可；（2）由正弦定理得到32ab=

，结合26ab+=+求得6b=，2a=，然后由正弦定理求解边c即可.【小问1详解】因为()()()sinsinsinsinbaBAcCA−+=−，所以由正弦定理得：()()()babacca−+=−，即

222cabac+−=，所以由余弦定理：2221cos222cabacBacac+−===，因为𝐵∈(0,π)，所以π3B=.【小问2详解】由（1）可知π3B=，π4A=，26ab+=+，由正弦定理得sin

sinabAB=，所以32ab=，所以6b=，2a=的所以ππ5ππ3412C=−−=，因为5π62sinsin124C+==，所以由正弦定理得：sinsinacAC=，所以622sin62431sin222aCcA++====+.16.在三棱锥OABC−中，已知()1,

0,1OA=−，()2,1,0BC=−，平面ABC的法向量为()1,,1nc=−.（1）求异面直线OA，BC所成角的余弦值；（2）求直线OA与平面ABC所成角的正弦值.【答案】（1）105（2）33【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解；（2）根据0BCn=，求得

2c=−，得到()1,2,1n=−−，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量()1,0,1OA=−，()2,1,0BC=−，设异面直线OA，BC所成角为，可得210coscos,525OAB

COABCOABC====，所以异面直线OA，BC所成角的余弦值105.【小问2详解】解：由向量()1,0,1OA=−，()2,1,0BC=−，且平面ABC的法向量为()1,,1nc=−，所以()()2,1,01,,120

nccBC−=−=−−=，解得2c=−，所以()1,2,1n=−−，设直线OA与平面ABC所成角为，可得23sincos,326OAnOAnOAn====，所以直线OA与平面ABC所成角的正弦值33.17.在平面直角坐标系xOy中，

已知()2,0A，()3,0B，(),Pxy，且63PAPB=，点P的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）求证：当(),0Qq，(),0Rr是x正半轴上的两个不同点，且6qr=时，PQPR为定值.【答案】（1）226xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】

（1）由两点间的距离公式，建立等量关系化简即可得C的方程；（2）由两点间的距离公式，及6qr=，化简证明即可.【小问1详解】因为已知()2,0A，()3,0B，𝑃(𝑥,𝑦)，所以()222PAxy=−+，()223PBxy=−+，因为6

3PAPB=，所以()()22222633xyxy−+=−+，化简得：226xy+=，所以C的方程为：226xy+=.【小问2详解】证明：当(),0Qq，(),0Rr是x正半轴上的两个不同点，则0,0qr，且6

qr=，所以6qr=，𝑃(𝑥,𝑦)，()22PQxqy=−+，()22PRxry=−+，所以()()()22222222222222612362xxyxyxqyPQrrrPRxyrxrxryxry−++−+−+===+−+−+−+

，又226xy+=，所以2222222221236123666262xxxyqrrrrxyrxrrxrrr+−+−+===+−+−+，所以PQPR为定值.18.在正四棱台1111ABCDABCD−中，已知22AB=，1122AB=，13BB=，1EBB，2BE

=，1FDD，EFBD∥.（1）证明：BF⊥平面AEC；（2）设平面AEC与平面11ABBA的夹角为，求cos的值.【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面AEC

的法向量m，由mBFuruuurP，即可证明BF⊥平面AEC；（2）由（1）可知平面AEC的法向量为m，然后求出平面11ABBA的法向量n，求解平面AEC与平面11ABBA的夹角余弦值即可.【小问1详解】如图：连接11AC交11BD于点1O，AC交BD于点O，则1OO⊥平面ABC

D，又因为在正四棱台1111ABCDABCD−中，ABCD为正方形，所以ACBD⊥，所以以O为原点，1,,OAOBOO所在的直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为22AB=，1122AB=，所以2OAOB==，111112OAOB==，又13

BB=，所以1933942OO=−=，所以𝐴(2,0,0)，()0,2,0B，()2,0,0C−，()0,2,0D−，1133,0,22A，11330,,22B，1133,0,22C−，11330,,22D−，因为

2BE=，所以123BEBB=uuruuur，所以13330,,22BB=−，所以()120,1,33BEBB==−，所以()0,1,3E，又EFBD∥，所以123DFDD=uuuruuur，13330,,22DD=，所以()120,1,33DF

DD==，所以()0,1,3F−，所以()0,3,3BF=−，()2,1,3AE=−，()4,0,0AC=−，设平面AEC的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，00mAEmAC==，23040xyzx−++=−=

，令3z=，=3y−，0x=，所以()0,3,3m=−，所以BFm=uuurur，所以mBFuruuurP，所以BF⊥平面AEC.【小问2详解】由（1）可知，平面AEC的法向量为()0,3,3m=−，()2,2,0

AB=−，1333,0,22AA=−，设平面11ABBA的一个法向量为：𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则100nABnAA==，220333022abac−+=−+=，令3a=，则3b=，1c

=，所以()3,3,1n=，因为平面AEC与平面11ABBA的夹角为，所以237coscos,7237mnmnmn====.19.已知函数()fx，()gx，()hx的定义域均为R定义：若存在n个互不相同的实数12,,,nxxx，使得()()()()()1,2,3,,iif

gxhfxin==，则称()gx与()hx关于()fx“n维交换”.（1）判断函数()1gxx=+与()1hxx=−是否关于()2fxx=“n维交换”，并说明理由；（2）设()22gxkxx=−，()22

1,00,01,0xxhxxxx+==−，若()gx与()hx关于()fxx=“3维交换”，求实数k的值.【答案】（1）()gx与()hx关于()fx是“n维交换”，理由见解析（2）152k+=【解析】【分析

】（1）由题意求出()()21fgxx=+，()21hfxx=−，令()()fgxhfx=，解出x的值即可判断；（2）找到等量关系，构造函数转化零点个数问题求解即可.【小问1详解】因为()()21fgxx

=+，()21hfxx=−，令()()fgxhfx=，所以()2211xx+=−，解得1x=−，所以()()fgxhfx=有唯一实数解1x=−，即()gx与()h

x关于()fx是“1维交换”，所以()gx与()hx关于()fx是“n维交换”.【小问2详解】令()(())(())()()Fxfgxhfxgxhx=−=−，依题意，函数()FxR上有3个零点，显然(0)(0)0gh==，即0x=

是函数()Fx的零点，当0k时，若0x，则()0,()1gxhx，()0Fx，即函数()Fx在0x时无零点，若0x，则222()(2)1(1)21Fxkxxxkxkx=−−+=−−+在(,0)−上单调递增，(1)30,(0)10FkF−==，函数()Fx在0x时只有1个

零点，不符合题意，因此0k，①当2x时，222()(2)1(1)21Fxkxxxkxkx=−−−=−−−，显然函数2(1)21ykxkx=−−−的图象恒过点(0,1),(2,5)−−，则当1k时，函数2(1)21ykxkx=−−−的图象开口向上，()Fx在2x

时仅只一个零点，当01k时，2(1)210kxkx−−−，()Fx在2x时没有零点，②当02x时，222()(2)1(1)21Fxkxxxkxkx=−+−−=−−+−，显然函数2(1)21ykxkx=−−+−的图象

恒过点(0,1),(2,5)−−，24(1)kk=−−，当152k+=，即0=时，()Fx在02x时仅只一个零点，当152k+，即0时，()Fx在02x时有2个零点，当1502k+，即0时，()Fx在02x时没有

零点，③当0x时，222()(2)1(1)21Fxkxxxkxkx=−−+=−−+，显然函数2(1)21ykxkx=−−+的图象恒过点(0,1),(2,3)−，当1k时，()Fx在0x时无零点，当01k时，()Fx在0x时有1个零点，综上所述，当152k

+=时，()Fx有3个零点，所以当()gx与()hx关于()fxx=“3维交换”时，152k+=在.【点睛】关键点点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找到等量关系，转化零点个数问题是本题的解题关键.