【文档说明】江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.139 MB，由小赞的店铺上传

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常州市第一中学2023~2024学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.直线310xy++=的倾斜角是A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出

该直线的倾斜角.【详解】直线310xy++=的斜率为331k=−=−，因此，该直线的倾斜角为23，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能

力，属于基础题.2.已知直线12:210,:4210lxylxy+−=++=，则12,ll间的距离为（）A.255B.55C.3510D.510【答案】C【解析】【分析】利用平行直线的距离公式可得.【详解】将直线1l方程化

为4220xy+−=，由平行直线的距离公式得()2212351042d−−==+.故选：C3.点()5,0到双曲线221169xy−=的一条渐近线的距离为（）A.4B.3C.5D.94【答案】B【解析】【分析】写出渐近线方程，利用

点到直线的距离公式可得.【详解】双曲线221169xy−=中，4,3ab==，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为34yx=?，即340xy=，由对称性可知，点()5,0到两条渐近线的距离相等，不妨求点()5,0到340xy+

=的距离，得2215334d==+.故选：B4.抛物线24yx=的准线方程是A.x=1B.x=-1C.116y=−D.116y=【答案】C【解析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得

出准线方程．【详解】解：整理抛物线方程得214xy=，∴p＝18∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y＝﹣116故答案为C．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．5.已知双曲线22221xyab−=(0

a，0b)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A.)2,+B.()1,2C.()2,+D.(1,2【答案】A【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形

，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.【详解】已知双曲线22221xyab−=(0a，0b)的右焦点为F，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，∴3ba，离心率22224abea+=，∴2e.故选：

A.【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目．6.设B是椭圆22:154xyC+=的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A.16B.4C.3D.5【答案】B

【解析】【分析】设()00,Pxy得2200154xy+=，利用()()22002=+−PBxy，配方后利用0y的范围可得答案.【详解】()0,2B，设()00,Pxy，则022y−，所以2200154xy+=，()()()22220000525

24=+−=−+−PBxyyy()2018254=−++y，因为022y−，所以当02y=−时，PB有最大值为4.故选：B.7.已知椭圆2212yx+=，过点1,12P的直线l与椭圆相交于AB､两点

，且P是线段AB的中点，则直线AB的斜率k为（）A.1−B.14−C.1D.4【答案】A【解析】【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，则由题意可得121212xxyy+=+=，221122221212yxyx+=

+=，两式相减化简结合斜率公式可求得结果.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，因为1,12P是线段AB的中点，所以121212xxyy+=+=，因为1122(,),(,)AxyBxy在椭圆2212yx+=上，所以221122221212y

xyx+=+=，两式相减得()22221212102xxyy−+−=，121212122()()()()xxxxyyyy+−=−+−，即121212122()212yyxxxxyy−+=−=−=−−+，所以直线AB的斜率12121yykxx−==−−，故选：A8.若存在实数k

使得直线:20lkxyk−−+=与圆22:220Cxaxya++−+=无公共点，则实数a的取值范围是（）A.()7,−+B.()(),21,−−+C.()2,1−D.()()7,21,−−+【答案】D【解析】【详解】根据直线和圆的位置

关系求得正确答案.【分析】圆22:220Cxaxya++−+=，即()2222xayaa++=+−，由()()22210aaaa+−=+−，解得2a−或1a，直线:20lkxyk−−+=，即()120kxy−−

+=，所以直线l过()1,2，要使直线l和圆C没有公共点，则点()1,2在圆C外，即22121220,7aaa++−+−，综上所述，a的取值范围是()()7,21,−−+.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线22:1Cmxny+=，以下说法正确的是（）A.若0nm，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若0,0mn=，则C是两条直线C.若0mn，则C是双曲线，其渐近线方程

为myxn=−D.若0mn=，则C是圆，其半径为n【答案】BC【解析】【分析】根据0nm，结合椭圆的标准方程即可判断A；0,0mn=时，方程化为1yn=，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D.【详解】对于A，若0

nm，则22:1Cmxny+=化为22111xymn+=，则110mn，则C是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；对于B，若0,0mn=，22:1Cmxny+=即为21ny=，即1yn=，即C是两条直线，B正确；对于C，若0mn，不妨设0,0mn，则221mx

ny+=化为22111xymn−=−，则C表示焦点在x轴上的双曲线，11,abmn==−，故其渐近线方程为bmyxxan==−；同理当0,0mn，则221mxny+=化为22111xymn−+=−，则C表示焦点在y轴上的双曲线，11,abnm==−，故其渐近线方程为am

yxxbn==−；综合知C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−，C正确；对于D，若0mn=，则221mxny+=即为221xyn+=，则C是圆，其半径为1n或1m，D错误，故选：BC10.已知圆

221:(2)1Cxy++=，圆222:(1)1Cxy++=，圆223:(1)16Cxy−+=，圆224:(2)4Cxy−+=，直线:2lx=，则（）A.与圆14,CC都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支B.与圆2C外切､3C内切的圆的圆心轨迹是椭圆C.

过点1C且与直线l相切的圆的圆心轨迹是抛物线D.与圆12,CC都外切的圆的圆心轨迹是一条直线【答案】ABC【解析】【分析】根据几何关系确定411ACAC−=，A正确，235BCBC+=，B正确，根据抛物

线定义知C正确，确定12DCDC=，得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：设圆心为A，半径为1r，则111ACr=+，412ACr=+，故411ACAC−=，圆心轨迹是双曲线的一支，正确；对选项B：设圆心为B，半径为2r，则221BCr=+，324BCr=−，故2352BC

BC+=，圆心轨迹是椭圆，正确；对选项C：设圆心为C，半径为3r，故到定点1C和定直线l的距离相等为3r，圆心轨迹是抛物线，正确；对选项D：设圆心为D，半径为4r，则141DCr=+，241DCr=+，故12DCDC=，D在两

圆外，圆心轨迹两条射线，错误；故选：ABC.11.瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C

的坐标可以是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(－2,0)D.(0,－2)【答案】AD【解析】【分析】由已知求出AB垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设(,)Cxy，根据三角形ABC的重心44,33xy−+在欧拉线上，再与圆的方

程联立即可求出C的坐标．【详解】(4,0)−A，(0,4)B，AB的垂直平分线方程为0xy+=，又外心在欧拉线20xy−+=上，联立020xyxy+=−+=，解得三角形ABC的外心为(1,1)G−，又22||(14

)(10)10rGA==−++−=，ABC外接圆的方程为22(1)(1)10xy++−=．设(,)Cxy，则三角形ABC的重心44,33xy−+在欧拉线上，即442033xy−+−+=．是的整理得20xy−−=．联立22(1)(1)1020xyxy

++−=−−=，解得02xy==−或20xy==．所以顶点C的坐标可以是(0,2)−，()2,0故选：AD．12.已知斜率为3的直线l经过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F，与抛物线C交于点,AB两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8AB=，则以下结论

正确的是（）A.32p=B.6AF=C.2BDBF=D.F为AD中点【答案】BCD【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点,AB作抛物线C的准线m的垂线，垂足分

别为点E、M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp=，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60，//AEx轴，60EAF=，由抛物线的定义可知，AEAF=，则AEF△为等边三角形，60EFPAEF==，则30PEF=，设||BDx=，，由RtRtDBMDAE，则MBBDAEAD

=，可得||2xBM=，||42xAE=+所以||||2xBMBF==，||||42xAEAF==+||||||44822xxABAFBFx=+=++=+=,解得4x=所以||2|,||6BFAF==,所以B正

确.226AFEFPFp====，得3p=，A选项错误；所以||4BD=,满足||42||BDBF==,所以C正确.而||||||426||DFBDBFAF=+=+==,所以D正确.故选：BCD三､填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______【答案】3x－y＋3＝0【解析】【分析】先求出A、B的中点，再

求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：751243−=−−−中垂线斜率为：3则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0故答案

为：3x−y+3=0【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.14.设椭圆2212:1(1)xCyaa+=，双曲线222:14−=xCy的离心率为12ee､，且215ee=，

则=a__________.【答案】233##233【解析】的【详解】根据离心率公式得到241152aa+−=，解得答案.【分析】215ee=，即241152aa+−=，解得233a=.故答案为：233.15.12,FF分别为双曲线22221(0,0)xyab

ab−=左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若221PFPF最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是__________.【答案】(1,3【解析】【分析】由双曲线定义()2212112PFaPFPFPF+=，变形后由基本不等式得最小值，从而得12PFa=，再利用双曲线中的范围有1PF

ca−，由此结合可得离心率的范围．【详解】12,FF是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以212PFPFa−=，代入221PFPF，得()2222121111112444248PFaPFaaPFaPFaaPFPFPFPF+=

=+++=，当且仅当12PFa=时取等号，即12PFa=，又点P是双曲线左支上任意一点，所以1PFca−，即：23,13acaee−.故答案为：(1,3．16.椭圆22:1126xyO+=的弦AB满足0OAOB=，

记坐标原点O在AB的射影为M，则到直线1xy+=的距离为1的点M的个数为__________.【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，求出点M的轨迹方程，再结合直线与这个轨迹的位置关系求解即得.【详解】椭圆22:1126xyO+=的弦AB满足0OAOB=，即有OAO

B⊥设11(cos,sin)Arr，则22ππ(cos(),sin())22Brr++，120,0rr，于是222112n11co6s2sirr+=，解得222161n12cossir=+，同理222261s12sincor=+，则2222

221211cossinsincos1111264126126rr+++=+=+=，即1222122rrrr=+，由原点O在AB的射影为M，得12||||||||OMABOAOBrr==，而2212||ABrr=+，因此||2OM=，即点M的轨迹是以原点O为圆心，2为半径

的圆，方程为224xy+=，圆心O到直线1xy+=的距离2212211d==+，显然此直线与圆224xy+=相交，垂直于直线1xy+=的圆224xy+=的直径端点12,PP到直线1xy+=距离分别为2221,2122−+，于是圆224xy+=上到直线1xy+=的距离为1的点有4个，所以到直线

1xy+=的距离为1的点M的个数为4.故答案为：4【点睛】思路点睛：涉及用椭圆上的动点处理问题时，可以借助正余弦函数设出此点坐标，再利用三角函数关系求解.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平

面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且8AB=，6BC=，其中(4,0),(4,0)AB−，如图所示．（1）若,AB为椭圆的焦点，且椭圆经过,CD两点，求该椭圆的方程；（2

）若,AB为双曲线的焦点，且双曲线经过,CD两点，求双曲线的方程．【答案】（1）2216448xy+=；（2）221412xy−=.【解析】【分析】（1）根据,AB为焦点和椭圆定义得162CACBa+==，求得a，c；利用222bac=−求得2b，进而得到椭圆方程；（2

）根据,AB为焦点和双曲线定义得42CACBa−==，求得a，c；利用222bca=−求得2b，进而得到双曲线方程.【详解】（1）,AB为椭圆的焦点，且椭圆经过,CD两点根据椭圆的定义：22686162CACBa+=++==8a=，4c=222641648bac

=−=−=椭圆方程为：2216448xy+=（2）,AB为双曲线的焦点，且双曲线经过,CD两点，根据双曲线的定义：2268642CACBa−=+−==2a=，4c=22216412bca=−=−=双曲线方程

为：221412xy−=【点睛】本题考查利用椭圆、双曲线定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.18.在平面直角坐标系xOy中，设命题:p直线1:10lxmy+−=与()2:2350lmxy++−=平行；命题q：圆()222:222400Cxymxmymm+−−+−=与圆

22:4Oxy+=相交.若命题p､命题q中有且只的有一个为真命题，求实数m的取值范围.【答案】()()()22,00,11,223−−【解析】【分析】求出命题p、p为真时m的取值范围，再根据命题p、q中有且只有一个为真命题

，分p真q假和p假q真时两种情况，求出实数m的取值范围．【详解】解：命题p为真：由题意得，()23,1mmm+==或3m=−，检验符合，命题q为真：()()224:Cxmym−−=+，圆22:4Oxy+=相交，所以2204220mmm+−

或022m，因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题，若p真q假，则：1322220mmmm=−−=或或或，解得3m=−，若p假q真，则：1322220mmmm−−且且，解得

：()()()22,00,11,22m−，综上：实数m的取值范围是()()()22,00,11,223−−.19.已知椭圆的右焦点F()0m,，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．（1

）若离心率为22，求椭圆的方程；（2）当7AFFB时，求椭圆离心率的取值范围．【答案】（1）22x＋y2＝1.（2）20,2【解析】【分析】（1）由准线方程，焦点坐标可求得,ac的值，从而利用离心率可得到m的关系式，求得m，进而得到,ab值，确定椭圆方程；（2）将

A，B，F坐标代入向量中可得到关于m的不等式，得到m的范围，将离心率用m表示可求得离心率范围【详解】（1）由已知，得c＝m，2ac＝m＋1，从而2a＝m（m＋1），2b＝m．由e＝22，得b＝c，从而m＝1．故a＝2，b＝1，得所求椭圆方程为2212xy+=．（2）易得A（－m－1

，－m－1），B（m＋1，m＋1），从而AF＝（2m＋1，m＋1），FB＝（1，m＋1），故·AFFB＝2m＋1＋（m＋1）2＝2m＋4m＋2＜7，得0＜m＜1．由此离心率()1111cmeammm===++故所求的离心率取值范围为20,2

．20.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计.（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（

2）过D再做一条与AB垂直的笔直小路交草坪圆周于,EF两点，求四点构成的四边形AEBF面积的最大值.【答案】（1）422+（百米）（2）6【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得小路的最短长度.（2）先求得四边形AEBF面积的表达式，利用基本不等式求得面积

的最大值.【小问1详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,2D，小路的长度为OAOBAB++，因为,OAOB为定值，故只需要AB最小即可.作OMAB⊥，垂足为M，记OMd=，则222224ABOAOMd=−=−，又2dOD=，故24222AB−

=，此时点D为AB中点.故小路的最短长度为422+（百米）.【小问2详解】设O到AB的距离为1d，设O到EF的距离为2d，由垂径定理可得()22222121224,242ABdEFddDdO==−=−+=，所以222

212121244448262SABEFdddd==−−−+−=−=，当且仅当22121244,dddd−=−=时，四边形AEBF面积的最大值6.21.已知抛物线2:2Cxpy=−经过点()2,1-.（1）求抛物线

C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于MN､两点，直线1y=−分别交直线,OMON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过定点.【答案】（1）24xy=−，1y=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点()2,1-的坐标

代入抛物线方程可求出p，从而可求出抛物线方程和准线方程；（2）设直线l的方程为()10ykxk=−，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线,OMON方程，表示出点A和点B的坐标，设()0,Dn，由0DADB=可求得结

果.【小问1详解】由抛物线2:2Cxpy=−经过点()2,1-，得2p=所以抛物线C的方程为24xy=−，其准线方程为1y=.【小问2详解】抛物线C的焦点为()0,1−，设直线l的方程为()10ykxk=−.由241xyykx

=−=−，得2440xkx+−=.设()()1122,,,MxyNxy，则124xx=−.直线OM的方程为11yyxx=，令1y=−，得11Axxy=−，同理22Bxxy=−.由抛物线的对称性可得若以AB为直径的圆过定点，则定点必在y轴上.设()0,Dn，则121

2),(,1)(,1DxxnnyADBy=−−=−−−−，所以˙22212121216(1)(1)4(1)xxDADBnnnyyxx=++=++=−++.令0DADB=，即24(1)0n−++=，得1n=或3n=−.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(

)0,1和()0,3−..【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的关键是根据题意表示出直线,OMON方程，从而可表示出点A和点B的坐标，设()0,Dn，再由0DADB

=化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题.22.已知双曲线C与双曲线22142xy−=有共同的渐近线，且过点63,2−.（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知P为直线2x=上任一点，过点P作双曲线C

的两条切线PAPB､，切点分别为AB､，过C的实轴右顶点作垂直于x轴的直线与直线PAPB､分别交于MN､两点，点MN､的纵坐标分别为mn､，求mn的值.【答案】（1）22163xy−=；（2）6615−【解析】【分析】（1）设双曲线(

)22:042xyC−=，将点63,2−代入计算即可求解；（2）设()()12,,:2PtPAytkx−=−，()2:2PBytkx−=−，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用Δ0=可得()

22112430ktkt+−+=、()22222430ktkt+−+=，即12,kk是方程()222430ktkt+−+=的解，根据韦达定理表示出1212kkkk+、，代入mn化简计算即可求解.【小问1详解】设

双曲线()22:042xyC−=，过点63,2−，代入坐标可得933442−==，所以双曲线C的标准方程为22163xy−=；【小问2详解】设()()12,,:2PtPAytkx−=−，()2:2PBytkx−=−，所以()()2211122222626ytkx

xkxtkxy−=−−+−=−=，即()()()222111112422260kxktkxtk−−−−−−=，则2122221111120Δ16(2)8(12)[(2)3]0kktkktk−=−+−−+=，化简可得：()22112430k

tkt+−+=，同理可得：()22222430ktkt+−+=；所以12,kk均是方程()222430ktkt+−+=的解；所以()()116622xmktytkx==−+−=−，()()226622xnktytkx

==−+−=−，12212Δ0232kkttkk+=−+=−，故()()221212(62)62mnkktkkt=−+−++()()()222310466222ttt+=−−+−−+6615=−.获得

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