【文档说明】内蒙古阿拉善盟第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学（文科）试题 含解析.docx，共(22)页，1.242 MB，由小赞的店铺上传

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阿拉善盟第一中学20222023学年度第一学期高三年级期末考试数学（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签

字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范

围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数113i2i+在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案

】B【解析】【分析】结合虚数单位的周期性、复数的四则运算求解，结合复数对应复平面点的坐标即可得到答案.【详解】113i3i3i(2i)36i36i2i2i(2i)(2i)555+−+====−++−−+，对应点坐标为36,55−

，位于第二象限.故选：B.2.已知集合21231,620xAxBxxx−==−−，则AB=（）A.12,23B.12,23C.11,22−D.1,

2−+【答案】D【解析】【分析】先解指数不等式和一元二次不等式分别求出集合,AB,再应用并集概念运算即可【详解】集合21131,2xAx−==+，()()21262032210,23Bxxxxxx=−−=−+=−，所以1,2AB

=−+.故选:D.3.已知向量(8,2),(,1)abm=−=，若ab=，则实数m的值是（）A.4−B.1−C.1D.4【答案】A【解析】【分析】由题意可得82m=−=，求解即可.【详解】解：由ab=，得

82m=−=，解得4m=−.故选：A.4.若4sin(π)5+=−，则cos(π2)−=（）A.35B.35-C.725D.725−【答案】C【解析】【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.【详解】由4sin(π)sin5+=−=−，得4sin5=

，所以2247cos(π2)cos22sin121525−=−=−=−=.故选：C5.已知函数2()e,()xfxaxbgxxx=−+=−.若曲线()yfx=和()ygx=在公共点(1,0)A处有

相同的切线，则a，b的值分别为（）A.e1,1−−B.1,e1−−C.e,1−D.1,e−【答案】A【解析】【分析】先根据()yfx=和()ygx=在公共点(1,0)A处有相同切线得出在1x=处两函数的导数相等,再由(1,0)A在()yfx=上,列方程组求解即可.【详解】因为()21gxx=

−，所以(1)1,()exgfxa==−，由题意，()()1e1,1e0,fafab=−==−+=解得e1,1.ab=−=−故选:A.6.若双曲线()22210xymm−=的渐近线与圆22

610xyy+−+=相切，则m=（）A.24B.2C.322D.22【答案】D【解析】【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.【详解】双曲线()22210xymm−=的渐近线为yxm=，即0xmy=，由于对称性

不妨取0xmy+=，圆22610xyy+−+=.即()2238xy+−=，所以圆心为()0,3，半径22r=，依题意圆心()0,3到渐近线0xmy+=的距离23221mdm==+，解得22m=或22m=−（舍去）.故

选:D.7.在正方体1111ABCDABCD−中，E为1CC的中点，则异面直线1BE与1CD所成角的余弦值为（）A.1010B.1010−C.104D.104−【答案】A【解析】的【分析】平移1CD到1BA,再连接AE，再解三角形即可求出答案

.【详解】平移1CD到1BA,再连接AE，则1ABE或其补角为异面直线1BE与1CD所成的角，设正方体的棱长为2，易得1122CDBA==，3AE=，15BE=，由余弦定理得2221111185910c

os2||||10410ABBEAEABEABBE+−+−===故选：A.8.将函数π3sin46xy=+的图像向左平移π3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数()gx的图像，则()gx的解析式为（）A.π()3sin444xgx=++B.π()3sin441

2xgx=++C.π()3sin442xgx=++D.π()3sin4412xgx=+−【答案】A【解析】【分析】根据平移规则，依次先左右平移再上下平移后化简解析式即可.【详解】函数π3sin46xy=+的图像向

左平移π3个单位长度，可得πππ33sin3sin4644xxy+=+=+，再向上平移4个单位长度，可得π()3sin444xgx=++.故选:A.9.某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年开采量为本年年初储量的m（01m，且

m为常数）倍，的第n（*Nn）年开采后剩余储量为(1)nam−，按该计划使用10年时间开采到剩余储量为原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数据：1027）（）A.3年B.4年C.5年D.6年【答案】C【解析】【分析】设第n年开采后剩余储量为y

，则(1)nyam=−，计算110112m−=，得到1071102naa=，解得答案.【详解】设第n年开采后剩余储量为y，则(1)nyam=−，当10n=时，12ya=，所以101(1)2aam=−，

0a，故101(1)2m=−，即110112m−=，1012nya=，设第n年时，70%ya=，故1071102naa=，1071102n=，12227101logloglog2101072n

===，故5n.故选：C10.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”，如图是该算法的程序框图，如果输入9

9a=，231b=，则输出的a是（）A.23B.33C.37D.42【答案】B【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图，输入的99a=，231b=，因为ab¹，且ab，所以231991

32b=−=；第二次循环，1329933b=−=；第三次循环，993366a=−=；第四次循环，663333a=−=，此时33ab==，输出33a=.故选：B11.已知点F为抛物线C：28yx=的焦点，过点F作两条互相垂直的直线1l，2l，

直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则94ABDE+的最小值为（）A.64B.54C.50D.48【答案】C【解析】【分析】利用韦达定理表示出弦长288ABk=+和288DEk=+，利用基本不等式可求最小值.【详解】抛物线C：28yx=的焦点()2,0F

，因为12ll⊥，所以直线1l，2l斜率存在，且均不为0.设直线1l的方程为()2ykx=−，()11,Axy，()22,Bxy，由28(2)yxykx==−得()22224240kxkxk−++=，所以()21

2242kxxk++=，所以()2122281848kABxxkk+=++==+，因为12ll⊥，所以将288ABk=+中的k替换为1k−可得288DEk=+，所以()222222989888882618262185044ABDEkkkkkk+=+++=+++=，当且仅当22818kk

=，即63k=时取等号.故94ABDE+的最小值是50.故选:C.12.设等比数列na满足1212aa+=，1324aa−=−，记mb为na中在区间()(0,]mmN中的项的个数，则数列mb的前50项和50S=（）A.109B.111C.114D.116【答案】C【解析】【分

析】先求出等比数列的通项公式，再结合题意得到当1m=，2时，0mb=；当39m时，1mb=；当927m时，2mb=；当2750m时，3mb=；从而求出数列mb的前50项和.【详解】设等比数列na公比为q，则1(1)12aq+=，()21124aq−=−，解得13a=

，3q=，故3nna=，因为mb为na中在区间()(0,]mmN中的项的个数，所以当1m=，2时，0mb=；当39m时，1mb=；当927m时，2mb=；当2750m时，3mb=；故500216218324114S=+++=.故选：C.二、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.13.某高校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），将收集到的自习时间分成5组：[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30

]（自习时间均在1750[]3.,内），制成了如图所示的频率分布直方图，则这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是______.【答案】280的【解析】【分析】计算自习时间不少于22.5

小时的组的频率与总人数相乘即可.【详解】由频率分布直方图知，这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：400(0.160.080.04)2.5280++=.故答案为：280.14.设数列na的前n项和为nS，对任意nN都有1

nnaat++=（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列na为“2数列”，且11a=−，则2023S=______.【答案】2021【解析】【分析】利用并项求和即可.【详解】根据题意得到：2320222402532aaaaaa++=+===，所以(

)()()202312345202220232101112021Saaaaaaa=+++++++=−=.故答案为：2021.15.已知函数12(2)(3),1=−++=−ymxmxmyx，若它们同时满足下面两个条件：①xR，1

y和2y中至少有一个小于0；②12(,4),0xyy−−，则m的取值范围是______.【答案】(4,2)−−【解析】【分析】根据2y取正负时x的范围分类讨论．先由1x=时，10y得出m的范围，然后由1x时，10y缩小范围，最后利用条件②，存在<4x−，使

得(2)(3)0xmxm−++，结合一元二次不等式的解集可得答案．【详解】由题意1x时，20y，1x=时20y=，1x时，20y，（1）由条件①1x=时，1(12)(4)0ymmm=−+，1()(4)02mmm−+，40m−或12m

，（2）1x时，1(2)(3)0ymxmxm=−++，在（1）的基础上，若40m−，10(2)(3)0yxmxm−++23mm=−−时1m=−，41m−−时，2xm或3xm−−，因此31m−−，满足题意，1m=−时，321m−−=−也满足题意，10m−时

，23mm−−，3xm−−或2xm，201m满足题意，102m，10y(2)(3)0xmxm−++，此时32mm−−，32mxm−−不满足题意因此有40m−，（3）下面在40m−范围内讨论条件②，即存在<4x−，使得1

20yy．即(2)(3)0xmxm−++，由于40m−时，331m−−−，所以24m−，2m−，所以42m−−．故答案为：(4,2)−−．16.在三棱锥−PABC中，PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABC，ABAC⊥，ABAC=，且三棱锥−

PABC的所有顶点都在半径为4的球О的球面上，则三棱锥−PABC的体积为______.【答案】24【解析】【分析】由几何关系可判断O在1PO上，即可列式求得棱长，即可求三棱锥体积.【详解】因为ABAC⊥，所以BC为ABC所在截面圆1O的

直径，又平面PBC⊥平面ABC，PBC为等边三角形，所以O在1PO上，如图所示，设()0PBxx=，则112BOx=，132POx=，所以21131416422POxOOx==+=−+，

解得43x=，所以134362PO==，43BC=，又ABAC⊥，ABAC=，所以1126261222ABCSABAC===△，所以1111262433PABCABCVSPO−===△.故答案为：24.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1

7~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()()sin2sinsin2sinbBCaBCC+=−+.（1）求证：()2cab=−；（2）若2c=，ABC外接圆

的半径为233，求ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）334或34.【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边可得()2coscos2bbcabCacBac+=−+，进而根据余弦定理角化边可得()22ccab=−，即可得出结果；（2）由正弦定理可得

3sin2C=，π3C=或2π3C=.根据余弦定理，分别求出当π3C=以及2π3C=时，,ab的值，然后根据面积公式即可得出结果.【小问1详解】证明：因为()()sin2sinsin2sinbBCaBCC+=−+，所以()()sin2sinsincoscossin2s

inbBCaBCBCC+=−+，由正弦定理得()()2coscos2coscos2bbcabCcBcabCacBac+=−+=−+，又由余弦定理得()2222222222222abcacbbbcabacacbcacabac+−+−+=−+=−+.所以()22

ccab=−，又0c，所以()2cab=−.【小问2详解】解：因为()2cab=−且2c=，所以1ab−=，即1ab=+，又ABC外接圆的半径233R=，由正弦定理2sincRC=，即23sin22433cCR===，因为()0,

πC，所以π3C=或2π3C=.若π3C=，又1ab=+，由余弦定理2222coscababC=+−，即()()22411bbbb=++−+，解得1132b−+=或1132b−−=（舍去），所以11311312

2a−++=+=，所以4111131313233si22n22ABCSabC==+=−+；若2π3C=，又1ab=+，由余弦定理2222coscababC=+−，即()()22411bbbb=++++，解得152b−+=或152

b−−=（舍去），所以1515122a−++=+=，所以51133s4115in22222ABCSabC==+−=+.所以ABC的面积为334或34.18.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩

偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个.某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了4

00人进行问卷调查，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占13；而在未购买者当中，男生、女生各占50%.（1）完成下面的22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计（2）从购买该款盲

盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的3人中恰有1位男生的概率.参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=++

+.参考数据：()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关（2）35【解析】【分析】（1）结合题意可完成22列联表，结合公式即

可计算29.428K，即可判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关（2）列举基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由题可得：购买了该款盲盒的人数为40030%120=人，其中购买了该款盲盒的男生人数为1120

403=人，则购买了该款盲盒的女生为80人，所以未购买者总人数为280人，男生、女生各占50%为140人，则22列联表为：女生男生总计购买8040120未购买140140280总计220180400根据列

联表中的数据，可得22400(8014040140)28009.428220180120280297K−==，因为9.4287.879，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关.【小问2详解】抽取6人中，女生有：80648040=+（人），记为abcd,,,.男生有：

40628040=+（人），记为A，B.从这6人中随机抽取3人，有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)abcabdabAabBacdacAacB，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)

,(,,),(,,),(,,)adAadBaABbcdbcAbcBbdAbdBbABcdA，(,,),(,,),(,,)cdBcABdAB，共20种基本事件，其中抽到的3人中恰有1位男生，有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)abAabBacAacBadA

adB，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)bcAbcBbdAbdBcdAcdB，共12种基本事件，所以抽到的3人中恰有1位男生的概率123205P==.19.如图，在三棱柱111ABCABC

-中，底面是边长为4的等边三角形，11127,60ABAABAAC===.（1）求证：1BCAA⊥；（2）求三棱锥11ABAC−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）82【解析】【分析】（1）取BC中点M，利用平面几何知识证明BCAM⊥，1BCAM⊥，所

以BC⊥平面1AAM，即证1BCAA⊥；（2）利用等体积转化将11ABACV−转化为1BAACV−，求平面1AAM的面积，直截面法可求体积.【小问1详解】证明：取BC中点M，连接11,,AMAMAC，如图所示.因为ABC为

等边三角形，ACAB=，M为BC中点，所以BCAM⊥，因为111160,===AABAACAAAA，所以11AABAAC△△≌，所以11=ACAB，所以1BCAM⊥，又11,,AMAMMAMAM=平面1AAM，所以BC⊥平面1AAM，又1AA平面1AAM，所

以1BCAA⊥.【小问2详解】解：在三棱柱111ABCABC-中，111,CCAACC∥平面11,ABAAA平面1ABA，所以1CC∥平面1ABA，所以111111ABACCABACABABAACVVVV−

−−−===.在1AAB△中，由余弦定理得2221111cos2+−=AAABABAABAAAB，即21111628224+−=AAAA，解得16AA=或2−（舍去）.在1ABM△中，1127,2,ABBMAMBC==⊥，由勾股定理得221126AMABBM=−=，1A

MA△中，1123,26,6AMAMAA===，所以22211AMAMAA+=，所以1AMAM⊥，所以111126236222AAMSAMAM===△.在因为BC⊥平面1AAM，所以11111122823BAACB

AMACAAMBAAMAAMVVVVSBM−−−−=+===△.所以1BAAC−的体积为82.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，且点114,24P在C上.（1

）求C的方程；（2）设1F，2F为C的左、右焦点，过2F的直线l交C于A，B两点，若1ABF内切圆的半径为107，求直线l的方程.【答案】（1）2212xy+=（2）2620xy−−=或2620xy+−=【解析】【分析】（1）根据题设条件

列方程求解即可；（2）先根据椭圆的定义确定1ABF的周长，进而可求1ABF的面积，再根据112122ABFSyy=−△，利用韦达定理代入求解.【小问1详解】因为C的离心率为22，故可设2ak=，2ck=，()20bkk=.故C的方程为22

22142xykk+=，代入114,24P得221711616kk+=，解得212k=.所以C的方程为2212xy+=.【小问2详解】1ABF的周长为442a=，故()11111011045422

7277ABFSABAFBF=++==.设()11,Axy，()22,Bxy，由题意可得直线l与x轴不重合，()21,0F，故可设直线l的方程为1xty=+，则11212145227ABFSyyy

y=−=−=△.由22122xtyxy=++=得()222210tyty++−=，此时2880t=+，所以12222tyyt+=−+，12212yyt=−+，故()2221212122222122145442227ttyyyyyyttt+

−=+−=−−−==+++.解得62t=，故直线l的方程为2620xy−−=或2620xy+−=.21.设向量1ln,2max=，()21,nx=，()(1)fxmnax=−+，（aR）.

（1）当3a=−时，求()fx的极值；（2）当0a时，求函数()fx零点的个数.【答案】（1）()fx的极小值为52，无极大值（2）当0a时，函数()fx的零点个数为1【解析】【分析】（1）将a的值代入()

fx，然后求导，分析单调区间求极值即可.（2）对a分类讨论，分别求函数单调区间，结合极值即可判断零点个数.【小问1详解】根据已知得21()ln(1)2fxaxxax=+−+，则当3a=−时，21()3ln22fxxxx=−++，3(1)(3)()2xxfxxxx−+

=−++=，0x，由()0fx=得1x=或3x=−（舍）.当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x+时，()0fx，所以()fx在(0,1)单调递减，在(1,)+单调递增，所以()fx的极小值为5(1)2f=，无极大值.【小问2详解】因为(1

)()()(0)xxafxxx−−=，若01a，当()0,xa时，()0fx¢>；当(,1)xa时，()0fx；当(1,)x+时，()0fx，所以()fx在()0,a，(1,)+上单调递增，在(,1)a上单调递减，()fx有极

大值211()ln(1)ln1022faaaaaaaaa=+−+=−−，极小值1(1)02fa=−−，又(22)ln(22)0faaa+=+，所以函数()fx有1个零点.若1a=，()0fx恒成立，函数()fx单调递增，此时3(1)02f=−，

(4)ln40f=，所以函数()fx有1个零点；若1a，当()0,1x时，()0fx¢>；当(1,)xa时，()0fx；当(,)xa+时，()0fx，所以()fx在()0,1，(,)a+上单调递

增，在(1,)a上单调递减，所以()fx有极大值1(1)02fa=−−，显然极小值()0fa，又(22)ln(22)0faaa+=+，所以函数()fx有1个零点.综上所述，当0a时，函数()fx的零点个

数为1.【点睛】方法点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数()yfx=的定义域；(2)求导数()yfx=，令()0fx=，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)利用()fx的定义域和实根把函数()fx的定义区间分成若干个小区间；(4)确定()fx在各个区间内的符

号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos2,3sinxtyt==（t

为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin06m++=.（1）求l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m取值范围.【答案】（1）320xym++=；（2）415,322−.【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公

式展开，再结合siny=，cosx=即可得到直线方程；（2）将参数方程代入（1）中的直线方程得2cos23sin20ttm++=，则转化为224sin3sin2mtt=−−有解，令sin=ta，1,1a−，则设2()432faaa=−−，求出其值域即可.【小问1详解】因

为π:sin06lm++=，所以31sincos022m++=，又因为siny=，cosx=，得31022yxm++=，即l的直角坐标方程为320xym++=.【小问2详解】将2cos23sinxtyt==，

代入320xym++=，得2cos23sin20ttm++=，所以()2212sin3sin20ttm−++=，即24sin3sin220ttm−−−=，的要使l与C有公共点，则24sin3sin220ttm−−−=有解，即224sin3sin2mtt=

−−有解，令sin=ta，则1,1a−，令2()432faaa=−−，11a−，则对称轴为38a=，所以()fa在31,8−上单调递减，在3,18上单调递增，所以min39941()2816816faf==−−=−，又(1)4

321f=−−=−，(1)4325f−=+−=，所以412516m−，解得415322m−，即m的取值范围是415,322−.选修4-5：不等式选讲23.已知0,0,0abc，且3332224abc++=.证明：（1）169a

bc„；（2）2abcbcacababc+++++„.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值不等式和根式的运算即可证明；（2）由均值不等式结合不等式的性质和根式的运算即可证明.【小问1详解】证明：因为0,0,0abc，有33322

20,0,0abc，则33333322232223abcabc++，即12(4)3abc，所以169abc，当且仅当33322243,abc===即3263abc===时取等号.【小问2详解】证明：因为0,0,0abc，有2bcbc+，2acac+，2

abab+，则有3222aaabcbcabc=+，3222bbbacacabc=+，3222cccabababc=+，得3333332222224222222bcabcabcbcacababcabcabcabcabcabca++++

++===+++，当且仅当3263abc===时取等号.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com