【文档说明】内蒙古赤峰二中2021届高三下学期3月底普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学答案.pdf，共(10)页，1016.112 KB，由管理员店铺上传

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1高三理科数学参考答案（共10页）2021年普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学参考答案及评分标准2021.03一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。题号123456789101112答案DBABABCCCBA

D二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13.-2；14．22157；15.21；16.31．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17--21题为必考题，每个考生都必须作答，第22

、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）已知数列na是公差不为0的等差数列，13a，2142aaa．（Ⅰ）求na的通项公式na及前n项和nS；（Ⅱ）1211

1nnbSSS…，求数列nb的通项公式，并判断nb与1927的大小．解：（Ⅰ）设1aa，公差为d，--------------------------------1分则2(3)()aadad，----------------------

---------3分解得3da，--------------------------------4分按秘密级事项管理★启用前2高三理科数学参考答案（共10页）所以3nan，3(1)2nnnS．------

---------------------5分（Ⅱ）121211()3(1)31nSnnnn，-----------------------7分从而12111nnbSSS…------------------------9分211111(1

)32231nn…-------------------10分231nn---------------------11分故219327nb．------------------

------------12分18.（本小题满分12分）松山区教研室某课题组对“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”这一课题进行专项研究。为此对松山区某中学高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强

语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：60分以下61

～7071～8081～9091～100甲班（人数）36111812乙班（人数）48131510现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率;3高三理科数学参考答案（共10页）（Ⅱ）由以上统计数据填写下面22列

联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd.20()PKk0.400.250.150.1

000.0500.0250.0100k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解：（Ⅰ）由题意知：甲、乙两个班均有学生50人，甲班优秀的学生人数为30人，优秀率为306050％------------

--3分乙班优秀的学生人数为25人，优秀率为255050％.--------------6分（Ⅱ）22列联表如下：优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计55451004高三理科数学参考答案（共10页）------8分因为2210

0(30252025)1001.0101.3235050554599K，------10分所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.--------------12分19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的

底面是正方形，SD平面ABCD，aSD2，2ADa,点E是SD上的点，且(02)DEa（Ⅰ）求证：对任意的(0,2]，都有ACBE（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若cossin，求的值w.w.w..c.o.m证明：（

Ⅰ）以D为原点，,,DADCDS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2a,0,0）,B（2a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，0a），5高三理科数学参考答案（共10页）∵(2,2,0),(2,2,)ACaaBEaaa

∴222200ACBEaaa，即ACBE-------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0,),(0,2,),(2,2,)EAaaECaaBEaaa.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由nEAnEC

，得0,20,0,20,nEAxznECyz即)2,,(,2nz得取-----------------------------6分易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量

分别为(0,0,2)DCaDSa与（0，2,0）.22sin,cos422DCnDSBEDSBEDCn.----------10分即222sincos2422

.由于(0,2]，解得2，即为所求.----------------12分20.（本小题满分12分）已知椭圆222210xyabab的左焦点F在直线3x-y+32=0上，且22ab.（Ⅰ）求椭圆的方程；6高三理科数学参考答案（共

10页）（Ⅱ）直线l与椭圆交于A、C两点，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，坐标原点O为PAC△的重心，探求PAC△面积S是否为定值，若是，求出这个值；若不是，求出S的取值范围.解：（Ⅰ）∵直线3320xy与x轴的交点为2,0，∴2c，-------------------

-------------------2分∴22222abab，-------------------------------------3分∴解得2a，2b，---------------------------------4分∴椭圆的方程为22142xy---

--------------------------5分（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则1366322S.----------6分若直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程可得222124240kxkmxm

-------------7分设11,Axy，22,Cxy，则122412kmxxk，21222212mxxk，121222212myykxxmk.-------------

-----------8分由题意点O为PAC△的重心，设00,Pxy，则12003xxx，12003yyy，所以0122412kmxxxk，0122212myyyk，7高三理科数学参考答案（共10页）代入椭圆221

42xy，得22222224211212kmmkk解得22122km-----------------------------------10分设坐标原点O到直线l的距离为d，则PAC△的面

积132SACd212211321mkxxk1232xxm22222234421212mkmmkk222222123212kmmk22221221212232122362kkkk

-----11分综上可得，PAC△面积S为定值362.----------------------------12分21.（本小题满分12分）已知函数222ln2fxxxaxxa（a>0）在

其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；8高三理科数学参考答案（共10页）（Ⅱ）设f(x)两个极值点分别为12,xx，证明:12xxe．解：(Ⅰ)依题，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以方程'()0fx

在(0,+∞)有两个不同根.即方程ln0xax在(0,+∞)有两个不同根-----------------------------------------1分令()lngxxax,从而转化为函数()gx有两个不同零点，而'11()axgxaxx(x>0

)---------------2分∵a>0，当10xa时，'()gx>0，当1xa时，'()gx<0，所以()lngxxax在1(0,)a上单调增，在(1a,+∞)上单调减，从而11()()l

n1gxgaa极大-----------------------4分又∵当x→0时，()gx→-∞，当x→+∞时，()gx→-∞，于是只须：()0gx极大，即1ln10a，所以10ae.-----------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可x1,x2

知分别是方程ln0xax的两个根，即11lnxax，22lnxax,设12xx，作差得，1122ln()xaxaxx，即1212lnxxaxx.--------7分原不等式12xxe等价于212xxe

12112122122lnln22lnxxxxxaxxxxx--------------8分令12xtx，则1t，121212221lnln1xxtxtxxxt---------------------9分[来源:学&科&网]

9高三理科数学参考答案（共10页）设21ln,11tgtttt，221'01tgttt，∴函数gt在1,上单调递增，-------------------10分∴10gtg，即不等

式21ln1ttt成立，-----------11分故所证不等式12xxe成立．-----------------------------12分（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程为32112xtyt(t为参数).以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为C:2cos2=1，直线l与曲线C交于,AB两点.(Ⅰ)求AB的长；(Ⅱ)若点P的极坐标

为π1,2，求AB中点M到P的距离.解：（Ⅰ）曲线2:cos21C的直角坐标方程为221xy，--------------2分将32112xtyt代入曲线22:1Cxy，得：2240tt，------

------------------------------4分设A点、B点所对应的参数分别为12tt、，则122,tt12·4tt，10高三理科数学参考答案（共10页）21212425ABtttt-----------------

------------6分（Ⅱ）点1,2P对应的直角坐标为0,1在直线l上，-------------------------7分AB中点M对应的参数为1212tt，------

---------------8分所以M点坐标为33,22，点M到点P的距离为1d．--------10分23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数f(x)=∣x-2∣+2x-3，记

f(x)≤-1的解集为M.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M时,证明：x[f(x)]2-x2f(x)≤0.解：（Ⅰ）由已知，得135xfxx22xx，------------------------1分当2x

时，由11fxx，解得，0x，此时0x.---------2分当2x时，由351fxx，解得43x，显然不成立，-----------3分故1fx的解集为0Mxx.-----------------

------------5分（Ⅱ）当x∈M时，1fxx，于是222222111124xfxxfxxxxxxxx，--7分函数2112

4gxx在,0上是增函数，---------------------8分00gxg，-----------------------------------------9分故220xfxxfx.--------------------

-----------------10分