【文档说明】【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：综合测评（二）点、直线、平面之间的位置关系含解析【高考】.docx，共(12)页，341.428 KB，由小赞的店铺上传

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综合测评(二)点、直线、平面之间的位置关系本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b是两条直线，α，β是两

个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，所以a∥b.又因为a与α无公共点，所以α内与b相交的

直线与a异面．故选C.答案：C2．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析

：一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．答案：D3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β且α∥β，则

m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β且m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：A中，α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误．B中，m⊥α，α⊥β，则m

⊂β或m∥β，又n⊥β，所以m⊥n，故B正确．C中，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则m与β可能垂直，当m⊥β时有α∥β，所以C错误．D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到α∥β，则D错误．答案：B4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面作垂线

PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小为()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°，若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.答案：C5．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)

的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，在正四棱锥S－ABCD中，SO⊥底面ABCD，E是BC边中点，则∠SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角．由题易得SO＝3，OE＝3，tan∠SEO＝3

，所以∠SEO＝60°，故选C.答案：C6．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：当a∥α，a∥β时，有a∥b，a∥c，则b∥c；当a

∩α＝A，a∩β＝B，且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：D7．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α②若直线a在平面α外，则a∥α③若直线a∥b，b∥α，

则a∥α④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：命题①l可以在平面α内，不正确；命题②直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③a可以在平面α内，不正确；命题④正确．答案：A8．如图，在正方形A

BCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：如图，由题意可

知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O为△AEF的垂心．故选A.答案：A9．已知三棱锥S－ABC的三视图如图所示

，则在原三棱锥中下列命题正确的是()①BC⊥平面SAC②平面SBC⊥平面SAB③SB⊥AC.A．①B．②C．①③D．①②解析：由三视图可知，三棱锥S－ABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且AC⊥BC，从而只有①是正确的．

故选A.答案：A10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC

，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不

能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为()A.22B.3C.12D.32解析：过点F作FH∥DC，过点A作AG⊥EF，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线

AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝52＋24＝3，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝3，∴cos∠AFH＝12.答案：C12．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，

E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A.452B.4532C．45D．453解析：取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，

SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊12AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥

HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝12AC·12SB＝452.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如图，在四面体A－BCD中，BC

＝CD，AD⊥BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与平面CEF的位置关系是________．解析：因为E，F分别为AB，BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊥BD，所以EF⊥BD.又BC＝CD，F为BD的中点，所以CF⊥BD，又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面CE

F.答案：垂直14．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的平面角的余弦值是－33，若S，A，B，C在同一球面上，则该球的表面积是________．解析：取AC的中点

D，连接SD，BD，∵AB＝BC＝2，∴BD⊥AC，∵SA＝SC＝2，∴SD⊥AC，∴∠SDB为二面角S－AC－B的平面角．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，∴AC＝2，取等边△SAC的中心E，作EO⊥

平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，则O为外接球的球心，易知ED＝33，又二面角S－AC－B的平面角的余弦值是－33，∴cos∠EDO＝63，OD＝22，∴BO＝BD2＋OD2＝62，∴所求表面积为6π.答案：6π15．△ABC是边长为6的等边三角形，P为空间一点，PA＝PB＝PC，P到平面ABC

距离为3，则PA与平面ABC所成角的正弦值为________．解析：过P作底面ABC的垂线，垂足为O，连接AO并延长交BC于E，因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA＝PB＝PC，P到平面ABC距离为3，所以O是三角形ABC的

中心，且∠PAO就是PA与平面ABC所成的角，因为AO＝23AE＝23.且PA＝(3)2＋(23)2＝15，所以sin∠PAO＝POPA＝315＝55；即PA与平面ABC所成角的正弦值为55.答案：5516．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于

点G，已知△A′DE(A′∉平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－DEF的体积的最大值为164a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤直线DF与直线A′E可能共面．其中正确

的命题是________(写出所有正确命题的编号)．解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正确；因为BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正确；当平面A′DE⊥平面ABC时，

三棱锥A′－DEF的体积达到最大值，最大值为164a3，故③正确；由①知动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故④正确；△ADE在旋转过程中，直线DF与直线A′E始终异面，故⑤错误．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)1

7．(本小题满分10分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BB1，B1C1的中点．(1)求证：A1D⊥FG；(2)求二面角A1－DE－A的正切值．解析：(1)证明：如图，连接B1C，BC1，在正方

体ABCD－A1B1C1D1中，因为F，G分别为BB1，B1C1的中点，所以FG∥BC1，又因为A1D∥B1C，B1C⊥BC1，所以A1D⊥FG.(2)过A作AH⊥ED于H，连接A1H，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面AB

CD，所以A1A⊥ED，因为AH⊥ED，A1A∩AH＝A，所以ED⊥平面A1AH，所以ED⊥A1H，所以∠AHA1是二面角A－DE－A1的平面角，因为正方体的棱长为2，E为AB的中点，所以AE＝1，AD

＝2，所以在Rt△EAD中，AH＝AD·AEDE＝2×15＝25，所以在Rt△A1AH中，tan∠AHA1＝A1AAH＝225＝5，所以二面角A1－DE－A的正切值为5.18．(本小题满分12分)如图，已知PA⊥α，圆O在平面α内，且AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任一点(非A，B)

，过A作AE⊥PC于点E.求证：直线AE⊥平面PBC.证明：因为PA⊥α，且BC⊂α，所以PA⊥BC.又因为点C在以AB为直径的圆上．所以BC⊥AC.又因为直线PA和AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC.又因为直线AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又因为AE

⊥PC，而PC和BC为平面PBC内的两条相交直线，所以AE⊥平面PBC.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B－A

P－C的正弦值．解析：(1)证明：如图，取AB中点D，连接PD，CD.因为AP＝BP，所以PD⊥AB.因为AC＝BC，所以CD⊥AB.因为PD∩CD＝D，所以AB⊥面PCD.因为PC⊂面PCD.所以PC⊥AB.(2)因为AC＝BC，AP＝BP，所以△APC≌△BPC.又PC⊥A

C，所以PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥面PAC，可知BC⊥PA.如图，取AP的中点E，连接BE，CE.因为AB＝BP，所以BE⊥AP.又BC⊥PA，BE∩BC＝B，所以AP⊥平面BEC.所以CE⊥AP.所以∠BE

C是二面角B－AP－C的平面角．在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝32AB＝6，所以sin∠BEC＝BCBE＝63.所以二面角B－AP－C的正弦值为63.20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将△

ADE折起．(1)若平面ADE⊥平面BCDE，求证：AB＝AC；(2)若AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.证明：(1)取DE的中点M，连接AM，因为在翻折前，四边形ABCD为矩形，AB＝2AD，E为AB的中点，所以翻折后AD＝AE，则AM

⊥DE，又平面ADE⊥平面BCDE，所以AM⊥平面BCDE，所以AM⊥BC，又N为BC的中点，所以MN⊥BC，因为AM∩MN＝M，所以BC⊥平面AMN，所以BC⊥AN，又N为BC的中点，所以AB＝AC.(2)由(1)设M是

DE中点，因为N为BC的中点，所以MN∥DC，又BC⊥DC，所以MN⊥BC，又AB＝AC，所以BC⊥AN，又MN∩AN＝N，所以BC⊥平面AMN.所以BC⊥AM，由(1)知AM⊥DE，又DE与BC不平行，所以AM⊥平面BCDE，又AM⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平

面BCDE.21．(本小题满分12分)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平

面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面A

BC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝3，又因为OC⊥平面VAB，所以VC－VAB＝13OC·S△VAB＝33.因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－V

AB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为33.22．(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62.(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面

角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．解析：(1)取AD中点M，连接MO，PM，依条

件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝62，设AB＝a，AO＝22a，∴PO＝AO·tan∠POA＝32a，tan∠PMO＝P

OMO＝3.∴∠PMO＝60°.(2)连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD.又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE.∵OE＝12PD＝1

2PO2＋DO2＝54a，∴tan∠AEO＝AOEO＝2105；(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG，MG.∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC.又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN.又平面PMN∩平面PBC＝PN

，∴MG⊥平面PBC.∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com