【文档说明】【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：综合测评（四）圆与方程含解析【高考】.docx，共(9)页，151.249 KB，由小赞的店铺上传

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综合测评(四)圆与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F等于()A．2B．4C．6D．8解析：由圆的一般方程知，此方程表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F，所以－D2＝2，－E2＝－4，12D2＋E2

－4F＝4，得D＝－4，E＝8，F＝4，故选B.答案：B2．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①OP的中点坐标为12，1，32；②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－

3)；④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是()A．2B．3C．4D．1解析：①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P关于坐标原点对

称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．答案：A3．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是()A．相交B．相离C．内切D．外切解析：圆x2＋y2＝4的圆心为A(0,0)，

半径为r＝2，圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R＝7，因为|AB|＝5＝R－r＝7－2，故两圆内切．答案：C4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m<12B．m>12C．m<0D．m≤12解析：由题意得1＋

1－4m>0，得m<12.答案：A5．在空间直角坐标系O－xyz中，z轴上的点M到点A(1,0,2)与点B(1，－3，－1)的距离相等，则点M的坐标是()A．(0,0，－1)B．(0,0,3)C．(0,0，10)D．(0,0

，－10)解析：设z轴上的点M(0,0，z)，得12＋02＋(z－2)2＝(1－0)2＋(－3－0)2＋(－1－z)2解得z＝－1，所求的点为(0,0，－1)．答案：A6．已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0，圆上存在两

点到直线l的距离为1，则m的取值范围是()A．(－17，－7)B．(3,13)C．(－17，－7)∪(3,13)D．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d满足r－1<d<r＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m∈(－17，－7)∪(

3,13)．答案：C7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：设圆

上任意一点坐标为(x1，y1)，其与点P所连线段的中点坐标为(x，y)，则x＝x1＋42，y＝y1－22，即x1＝2x－4，y1＝2y＋2代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2

y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.答案：A8．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：依题意，直线l与圆C相切，则|－2k－1

＋1|k2＋1＝2，解得k＝±1.又k<0，所以k＝－1.于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l与圆D相交，故选A.答案：A9．当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是

()A.0，512B.13，34C.512，34D.512，＋∞解析：曲线y＝1＋4－x2是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点P(2,4)的直线．设切线

PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4.∵圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即|－1－2k0＋4|1＋k20＝2，∴k0＝512.又直线PA的斜率为k1，k1＝34，∴实数k的取值范围是512<k≤34.答案：C10．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(

y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是()A.－34，0B.－34，＋∞C.0，34D.－∞，34解析：依题意，圆M的圆心

为M(0,4)，半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线l上至少存在一点P，使得|MP|≤2＋2成立，又点M到直线l的距离为|4m＋2|m2＋1，则|4m＋2|m2＋1≤4，解得m≤

34，故选D.答案：D11．从点A(－2,1)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x2＋y2－4x－6y＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为()A.43B.83C．2D．4解析：圆M：x2＋y2－4x－6y＋9＝0可化为(x－2

)2＋(y－3)2＝4，圆心为M(2,3)，半径r＝2.又点A(－2,1)关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.由反射光线正好与圆M相切，得|2k－3＋2k－1|k2＋1＝2，即3k2－8k＋3＝0，由

根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.答案：B12．直线3ax＋by＝1(a，b∈R)与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的

最大值是()A.174B．4C．2D.73解析：由△AOB是直角三角形，得∠AOB＝90°，|OA|＝|OB|＝2，所以|AB|＝2，则圆心O(0,0)到直线3ax＋by＝1的距离为13a2＋b2＝1，即3a2＋b2＝1，从而b2≤1.于是点P(a，b)与点

(0,1)之间的距离d＝a2＋(b－1)2＝23b2－2b＋43＝23b－322－16，因为b∈[－1,1]，所以当b＝－1时，距离最大，即dmax＝2，故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)1

3．空间两点A(2,5,4)，B(－2,3,5)之间的距离等于________．解析：|AB|＝(2＋2)2＋(5－3)2＋(4－5)2＝21.答案：2114．若P(2,1)是圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点

，则直线AB的方程为________．解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以kPO＝12－1＝1，则直线AB的斜率为k＝－1，由点斜式方程得x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝015．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，则x－2y的取值范围为

________．解析：设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，又圆心是(－2,0)，半径为1，所以|－2－t|12＋(－2)2≤1，解得－5－2≤t≤5－2，故x－2y的取

值范围为[－2－5，5－2]．答案：[－2－5，5－2]16．已知圆C的方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2，O为坐标原点，则当|OC|最小时，圆C的一般方程是________．解析：方法一由题知C(m,4－m)，则|OC|＝m2＋(4－m)2＝2(m

－2)2＋8，∴当m＝2时，|OC|最小，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.方法二设C(x，y)，则x＝m，y＝4－m，消去m，得y＝4－x，∴圆心C的

轨迹方程为x＋y－4＝0.当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，∴直线OC的方程为x－y＝0.由x＋y－4＝0，x－y＝0，得x＝y＝2，即圆心C的坐标为(2,2)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，其一

般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.答案：x2＋y2－4x－4y＋6＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解析：因圆

与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又因为直线y＝x截圆得弦长为27，则有|3b－b|22＋(7)2＝9b2，解得b＝±1.故所求圆的方

程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.18．(本小题满分12分)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)，且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l

的方程．解析：当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.如图，作MC⊥AB于点C.在Rt△MBC中，BC＝3，MB＝2，MC＝MB2－BC2＝1，圆心M(1,1)到直线l的距离为d＝|k－1＋

3－2k|k2＋1＝1，解得k＝34.因此，所求直线l的方程为3x－4y＋6＝0；当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.19．(本

小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P(2，－1)，过P点作圆C的切线PA，PB，A，B为切点．(1)求PA，PB所在直线的方程；(2)求切线长|PA|；(3)求直线AB的方程．解析

：(1)设切线的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，又C(1,2)，半径r＝2，由点到直线的距离公式得：2＝|k－2－2k－1|k2＋1，解得，k＝7或k＝－1.故所求切线PA，PB的方程分别是x＋y－1＝0和7x－y－15＝0.(

2)在Rt△APC中，|AC|＝r＝2，|PC|＝(2－1)2＋(－1－2)2＝10，所以|PA|＝|PC|2－|AC|2＝10－2＝22.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1－1)2＋(y1－2)2＝2，(x2－1)2＋(y2

－2)2＝2.因为kCA·kAP＝－1，即y1－2x1－1·y1＋1x1－2＝－1，所以(y1－2)(y1＋1)＝－(x1－1)(x1－2)，变形得(y1－2)(y1－2＋3)＝－(x1－1)(x1－1－1)，(y1－2)2＋3(y1－2)＝－(x1－1)2＋(x1－1)，(x1－1)

2＋(y1－2)2＋3(y1－2)－(x1－1)＝0.因为(x1－1)2＋(y1－2)2＝2，所以上式可化简为x1－3y1＋3＝0.同理可得：x2－3y2＋3＝0.因为A，B两点的坐标都满足方程x－3y＋3＝0，所以直线AB的方程是x－3y＋3＝0.20．(

本小题满分12分)如图，圆x2＋y2＝8内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α＝135°时，求|AB|.(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．解析：(1)过点O作OG⊥A

B于G，连接OA，当α＝135°时，直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程x＋y－1＝0，所以OG＝|0＋0－1|2＝22.因为r＝22所以AG＝8－12＝152＝302.所以|AB|＝2AG＝30.(

2)当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时KOP＝－2，所以AB的点斜式方程为y－2＝12(x＋1)，即x－2y＋5＝0.(3)设AB的中点为M(x，y)，AB的斜率为k，OM⊥AB，则y－2＝k(x＋1)，y＝－1kx，消去k，得x2＋y2

－2y＋x＝0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2－2y＋x＝0.21．(本小题满分12分)已知实数x，y满足y＝1＋4－x2(－2≤x≤2)．(1)求m＝yx＋3的取值范围；(2)求b＝2x＋y的取值范围．解析：将y＝1＋4－x2(－2≤

x≤2)变形为x2＋(y－1)2＝4(－2≤x≤2，y≥1)，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的上半圆．(1)m＝yx＋3表示半圆上的点与定点P(－3,0)连线的斜率．如图1，A(－2,1)，B(2,1)．则kPB＝1－02－(－3)＝1

5.m＝yx＋3可变形为mx－y＋3m＝0，由|－1＋3m|m2＋1＝2，解得m＝3－265(舍去)或m＝3＋265.所以m的取值范围为15，3＋265.(2)b＝2x＋y表示斜率k＝－2，在y轴

上的截距为b的直线．如图2，当直线过点A(－2,1)时，b＝2×(－2)＋1＝－3；b＝2x＋y可变形为2x＋y－b＝0，由|2×0＋1－b|5＝2，解得b＝1－25(舍去)或b＝1＋25.所以b的取值范围为[－3,1＋25]．

22．(本小题满分12分)圆C的半径为3，圆心在直线2x＋y＝0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直

线l的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)设C(x0，y0)，则2x0＋y0＝0(y0<0)．又32－y20＝5，得y0＝－2，x0＝1，则C(1，－2)．所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，即x2＋y2－2x＋4y－4＝0.(2)设这样的直线l存在，其方程为y＝x＋b，它与圆C的

交点设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x2＋y2－2x＋4y－4＝0，y＝x＋b，得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝b2＋4b－42.所以y1y2＝(x1

＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4.容易验证b＝1或b＝－4时，方程2x2＋2(b＋

1)x＋b2＋4b－4＝0有实根，故存在这样的直线l有两条，其方程是y＝x＋1或y＝x－4.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com