【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第40讲 直线、平面平行的判定与性质（讲） Word版含解析.docx，共(9)页，849.501 KB，由小赞的店铺上传

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第40讲直线、平面平行的判定与性质（讲）思维导图知识梳理1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定

理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判

定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α行”)∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a

，β∩γ＝b，∴a∥b题型归纳题型1直线与平面平行的判定与性质【例1-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，三棱柱111ABCABC−中，D，E，F分别为棱AB，BC，11CB中点．（1）求证：//A

C平面1BDE；（2）求证：//AF平面1BDE．【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证//DEAC，进而利用线面平行的判定定理即可证明//AC平面1BDE．（2）由已知可证1BECF是平行四边形，进而证明1//FCBE，利用线面平行的判定

证明//FC平面1BDE，根据面面平行的判定证明平面//ACF平面1BDE，根据面面平行的性质即可可证//AF平面1BDE．【解答】证明：（1）在ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以//DEAC，因为DE平面1BDE，AC平面1BDE，

所以//AC平面1BDE．（2）在三棱柱111ABCABC−中，//11BCBC=，因为E，F分别为BC，11CB中点，所以//1CEBF=，所以1BECF是平行四边形，所以1//FCBE，因为FC平面1BED，1BE平面1BED，所以//FC平面1BDE，又因为//AC

平面1BDE，ACCFC=，所以平面//ACF平面1BDE，所以//AF平面1BDE．【例1-2】（2019•广东模拟）如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，ABC是正三角形，1AB=，2AE=，F是线段BC上一点，直线BC与

平面ABD所成角为30，//CE平面ADF．（1）试确定F的位置．（2）求三棱锥ACDF−的体积．【分析】（1）连接AD、BE相交于O，则O为BE的中点，由三角形中位线定理可得//OFCE，再由线面平行的判定可得//CE平面ADF；（2）由F为BC的中点，得

ACDFABFDFABDVVV−−−==，由已知求得C到平面ABD的距离为12，可得F到平面ABD的距离为14．再求出三角形ABD的面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥ACDF−的体积．【解答】解：（1）如图，四边形ABDE是矩形

，连接AD、BE相交于O，则O为BE的中点，取BC中点F，连接OF，则//OFCE，OF平面ADF，CE平面ADF，//CE平面ADF．此时F为BC中点；（2）F为BC的中点，ACDFABFDFABDVVV

−−−==．直线BC与平面ABD所成角为30，ABC是正三角形，1AB=，C到平面ABD的距离为12，F到平面ABD的距离为14．又四边形ABDE是矩形，且2AE=，11212ABDS==．11113412FABDV−==．三棱

锥ACDF−的体积为112．【跟踪训练1-1】（2020春•大兴区期末）如图所示，在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，12BCAD=，E是PD的中点．（Ⅰ）求证：//BCAD；（Ⅱ）求证：//CE平面PAB；（Ⅲ）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//

MN平面PAB？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行

的性质定理和判断定理即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD=，//BCAD，（Ⅱ）取PA的中点F，连接EF，BF，E是PD的中点，//EFAD，12E

FAD=，又由（Ⅰ）可得//BCAD，12BCAD=，//BCEF，BCEF=，四边形BCEF是平行四边形，//CEBF，CE平面PAB，BF平面PAB，//CE平面PAB．（Ⅲ）取AD中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，//ENPA，EN

平面PAB，PA平面PAB，//EN平面PAB，又由（Ⅱ）可得//CE平面PAB，CEENE=，平面//CEN平面PAB，M是CE上的动点，AN平面CEN，//MN平面PAB，线段AD存在点N，使得//MN平面PAB．【跟踪训练1-2】（2019春•崂山区校级期中

）在正方体1111ABCDABCD−中，点M为棱1AA的中点．问：在棱11AD上是否存在点N，使得1//CN面1BMC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．【分析】取1DD中点P，11AD中点N，连结1CP，NP，则1//

NPBC，11//PCMB，从而平面1//PNC平面1CBM，由此推导出在棱11AD上存在中点N，使得1//CN面1BMC．【解答】解：在棱11AD上存在中点N，使得1//CN面1BMC．理由如下：取1DD中点P，11AD中点N，连结1CP，NP，在正方体1111ABCDABCD−中，点M为棱1

AA的中点．1//NPBC，11//PCMB，1NPPCP=，112BCMBB=，平面1//PNC平面1CBM，1CN平面1PNC，1//CN面1BMC．【名师指导】1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面

平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知

平面相交，这时才有直线与交线平行．题型2面面平行的判定与性质【例2-1】（2019秋•金凤区校级期末）如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，棱PD与EC均垂直于底面ABCD，2PDEC=，求证：平面//EB

C平面PDA．【分析】推导出//ADBC，//PDEC，由此能证明平面//EBC平面PDA．【解答】证明：底面ABCD为正方形，//ADBC，棱PD与EC均垂直于底面ABCD，2PDEC=，//PDEC，ADPDD=，BCECC=，平面//EBC平面P

DA．【跟踪训练2-1】（2020春•南关区校级期末）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，1AB=．（1）求异面直线1AB与1BC所成的角；（2）求证：平面1//ABD平面11BCD．【分析】（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；（2）利用线面、面面平行的判定定理即可

证明．【解答】解：（1）连接1AD、DB．由正方体可得11//ABDC=，对角面11ABCD是一个平行四边形，11//BCAD．1BAD或其补角即为异面直线1AB与1BC所成的角，△1ABD是一个等边三角形，160BAD

=即为异面直线1AB与1BC所成的角；（2）证明：由（1）可知：11//ADBC，而1AD平面11BCD，1BC平面11BCD，1//AD平面11BCD，同理可得1//AB平面11BCD，又111ADAB

A=，平面1//ABD平面11BCD．【名师指导】证明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定义或判定定理．2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．3．利用平面平行的传递性，即两

个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．题型3平行关系的综合应用【例3-1】（2019秋•兴庆区校级月考）如图，已知//，P是平面，外的一点，直线PAB，PCD分别与、相交于A、B和C、D．（1）求证：//ACBD；（2）已知4PA=，5AB=，3PC

=，求PD的长．【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；（2）由平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）证明：//，平面PBDAC=，平面PBDBD=，//ACBD；（2）由（1）可知，PAPCPBPD=，即4345PD=

+，274PD=．【跟踪训练3-1】（2019春•青云谱区校级月考）如图，平面//，线段AB分别交，于M，N，线段AD分别交，于C，D，线段BF分别交，于F，E，若9AM=，11MN=，15NB=，78FMCS=．求END的面积．

【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．【解答】解：平面//，又平面AND平面MC=，平面AND平面ND=，//MCND，同理//ENFM，又9AM=，11MN=，15NB=，926,2015MCAMFMBMNDANENB

N====，又FMCEND=，所以1sin92678212015100sin2FMCENDFMMCFMCSSENNDEND===，78FMCS=，100ENDS=．故END的面积为：100．【名师指导】