【文档说明】安徽省合肥市2021-2022学年高三下学期第二次教学质量检测理科数学试题 含解析.docx，共(26)页，4.956 MB，由小赞的店铺上传

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合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.3．答第11卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指

示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设

全集U=R，集合()ln1|Mxyx==−，2{|4}Nxyx==−，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.()1,2B.(1,2C.(2,)+D.[2,)+【答案】A【解析】【分析】由对数函数性质，二次根式定义

确定集合,MN，然后确定Venn图中阴影部分表示的集合并计算．【详解】由题意{|10}{|1}Mxxxx=−=，2{|4}{|2Nxxxx==−或2}x，{|22}UNxx=−ð，Venn图中阴影部分为(){|12}UMNxx=ð．故选：A．2.设复

数z满足i3izz−−=，则z的虚部为（）A.2i−B.2iC.2−D.2【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z，再根据虚部的定义即可得解.【详解】解：因为i3izz−−=，所以()1i3iz−=−−，则()

()()()3i1i3i24i12i1i1i1i2z−−+−−−−====−−−−+.所以z的虚部为2−.故选：C.3.某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布2(9

0,)N（试卷满分150分），且100()0.3P=，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（）A.2800B.4200C.5600D.7000【答案】A【解析】【分析】根据正态曲线的性质即可解出．【详解】因为100()0.3P=，近似服从正

态分布2(90,)N，所以()()()()809090100901000.50.30.2PPPP==−=−=，即这次检测数学成绩在80到90分之间学生人数大约为140000.22800=．故选：A．4.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20

世纪30年代提出，其内容是：任意正整数s，如果s是奇数就乘3加1，如果s是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为（）的A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根

据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，15Z22s=不成立，35116s=+=，011i=+=，1s=不成立；第二次循环，18Z2s=成立，11682s==，112i=+=，1s=不成立；第三次循环，14Z2s=

成立，则1842s==，213i=+=，1s=不成立；第四次循环，12Z2s=成立，则1422s==，314i=+=，1s=不成立；第五次循环，11Z2s=成立，则1212s==，415i=+=，1s=成立.跳出循环体，输出5i=.故选：C.5.设第二象限角，若10

sincos5+=，则tan()4+=（）A.2−B.12−C.12D.2【答案】B【解析】【分析】结合平方关系解得sin,cos，由商数关系求得tan，再由两角和的正切公式计算．为【详解】由10sincos5+=得22102sin2sincoscos255

++==，3sincos10=−，是第二象限角，cos0，sin0，所以由3sincos1010sincos5=−+=，解得：310sin1010cos10==−，所以

sintan3cos==−，tantan3114tan()41(3)121tantan4+−++===−−−−．故选：B．6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名

航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.116种【答案】B【解析】【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按

照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6CA种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱

即可，则有1124=24=8CC种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B.7.函数()4eexxfx+−=−（e是自然对数的底数）的图象关于（）A.直线ex=−对称B.点(e,0)−对称C.直线2x=−对称D.点(2,0)−对称【答案】D【解析】【分析】根据

对称性进行检验．【详解】由题意()()2e2e42e42e2eeeeexxxxfx−−−−−+−−++−−=−=−，它与()fx之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而44(4)4(4)eeee()xxxxfxf

x−−+−−−−+−−=−=−=−，所以()fx的图象关于点(2,0)−对称．故选：D．8.将函数sinyx=的图象上各点横坐标缩短为原来12（纵坐标不变）后，再向左平移6个单位长度得到函数()yfx=的图象，当,36x−时，()fx的值域为（

）A.1,1−B.33,22−C.3,12−D.1,12−【答案】C【解析】【分析】利用三角函数图象变换可求得()sin23fxx=+，由,36x−可求得23x+的取值范围，

结合正弦型函数的基本性质可求得函数()fx的值域.【详解】将函数sinyx=的图象上各点横坐标缩短为原来12（纵坐标不变）后，可得到函数sin2yx=的图象，再将所得图象向左平移6个单位长度得到函数()yfx=的图象，则(

)sin2sin263fxxx=+=+，当,36x−时，22333x−+，所以，()3sin2,132fxx=+−.故选：C.9.抛物线()2:20Cypxp

=的焦点为F，A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线l于M，N两点，23MNp=，则直线AF的斜率为（）A.1B.2C.3D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意求出点A坐标，即可求出直线AF的斜率.【详解】由题意可知：FAFMR==，设

准线与x轴交于H，因为23MNp=，所以3MHp=，且FHp=，所以222FFMFHMpAH==+=，设()00,Axy，由抛物线定义可知02FApx=+，所以032px=，代入抛物线中得03yp=，所以3,32pAp，且

,02pF，所以直线AF的斜率为3.故选：D10.已知直线10:()lmxymR−=过定点A，直线20:42lxmym++−=过定点B，1l与2l的交点为C，则ABC面积的最大值为（）A.10B.25

C.5D.10【答案】C【解析】【分析】由直线方程求出定点,AB，确定12ll⊥，即C在以AB为直径圆上，由圆的性质得点C到AB的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值．【详解】由直线1l的方程是0mxy−=得直线1l过定点(0,0)A

，同理直线2l方程为，420xmym++−=即(4)(2)0xmy++−=，所以定点(4,2)B−，又1(1)0mm+−=，所以12ll⊥，即C在以AB为直径的圆上，22(4)225AB=−+=，由圆的性质知点C到AB的距离最大值等于圆半径，即152AB=，所以ABC

面积的最大值为125552S==．故选：C．11.在四面体ABCD中，2ACBADC==，2ADDCCB===，二面角BACD−−的大小为23，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A.163B.403C.16D.24的【答案】B

【解析】【分析】取AC中点E，AB中点F，连接,,DEEFDF，证明DEF是二面角DACB−−的平面角，23DEF=，E是直角ADC△的外心，F是直角ACB△的外心，在平面EDF内过E作EODE⊥，过F作

OFEF⊥，交点O为四面体ABCD外接球球心，求出球半径可得表面积．【详解】取AC中点E，AB中点F，连接,,DEEFDF，则//EFBC，12EFBC=，2ADDC==，2ADC=，所以E是直角ADC

△的外心，DEAC⊥，2DE=，2ACB=，2BC=，所以1EF=，EFAC⊥，所以DEF是二面角DACB−−的平面角，23DEF=，F是AB中点，则F是直角ACB△的外心，由DEAC⊥，E

FAC⊥，DEEFE=，,DEEF平面DEF得AC⊥平面DEF，AC平面ADC，所以平面DEF⊥平面ADC，同理平面DEF⊥平面ABC，平面DEF平面ADCDE=，平面DEF⊥平面ABCEF=，在平面EDF内过E作EODE⊥，则EO⊥平面ADC，

在平面EDF内过F作OFEF⊥，则FO⊥平面ABC，EO与OF交于点O，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，OEF中6OEFDEFDEO=−=，263EOF=−=，所以sinEFEOFEO=，所以12sin3sin3EFEOEOF

===，2222210(2)()33ODEDOE=+=+=，所以外接球表面积为210404433SOD===．故选：B．12.过平面内一点P作曲线lnyx=两条互相垂直的切线12,ll，切

点为12,PP（12,PP不重合），设直线12,ll分别与y轴交于点,AB，则下列结论正确的个数是（）①12PP两点横坐标之积为定值；②直线12PP的斜率为定值；③线段AB的长度为定值；④ABP面积的取值范围为(0,1].A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】

当(0,1)x时，求得221kx=−，当(1,)x+时，111kx=，可判定①正确；根据斜率公式和对数的运算性质，可判定②正确；求得12,ll的方程，得到1(0,1)Ay−，2(0,1)By+，求得12ln2ABxx=−+，可判定③正确；联立方程组，得到1212122212P

xxxxxxx==+，进而求得(0,1)ABPS，可判定④不正确.【详解】作出曲线lnyx=的图象，如图所示，过平面内一点P作曲线lnyx=两条互相垂直的切线12,ll，切点为12,PP（12,PP不重合），可得切点2P的横坐标在2(0,1)x，1P的横坐标在1(1,)x+，当(0,

1)x时，lnyx=−，则1yx=−，所以221kx=−；的当(1,)x+时，lnyx=，则1yx=，所以111kx=，所以2121111kkxx=−=−，所以121=xx，所以①正确；直线12PP的斜率为212112212121lnlnln0yyx

xxxxxxxxx−−−−===−−−，所以②正确；过点1P的切线方程为1111()yyxxx−=−，令0x=，可得11yy=−，即点1(0,1)Ay−，过点2P的切线方程为2221()yyxxx−=−−，令0x=，可得21yy=+，即点2(0,1)By+，所以2121122lnln2l

n22AByyxxxx=−+=−−+=−+=，所以③正确；由切线12,ll联立方程组，解得其交点P的横坐标1212122212Pxxxxxxx==+，因为12,PP不重合，故等号不成立，所以P的横坐标(0,1)Px，所以1(0,1)2ABPPSABx=，

所以④不正确.故选：C.第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满

分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13.已知向量()1,2AB=−，()2,5BttC=+，若A、B、C三点共线，则t=_____．【答案】1−【解析】【分析】由已知可得//ABBCuuuruuur，利用平面向量共线的坐标表示可求得

实数t的值.【详解】由已知//ABBCuuuruuur，则()45tt=−+，解得1t=−.故答案为：1−.14.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，A为双曲线C右支上一点，O为坐标原点.若MOF△为等边三角形，则双曲线C的离心率为__

_______．【答案】31+##1+3【解析】【分析】设双曲线C的左焦点为点F，连接PF，可知PFF为直角三角形，以及30PFF=，将PF，PF用c表示，然后利用双曲线的定义可求出双曲

线离心率.【详解】如图所示，设双曲线C的左焦点为点F，连接PF，OPF△为等边三角形,||||OPOFOF==，所以，PFF为直角三角形，且FPF为直角，且30PFF=，1||2PFFFc

==，由勾股定理得22||3PFFFPFc=−=，由双曲线的定义得2PFPFa−=，即32cca−=，23131cea===+−，因此，双曲线C的离心率为31+，故答案为：31+.15.已知ABC的内角A．B，C

的对边分别为a，b，c，若2coscos6bBbA++=，2a=，则ABC面积的取值范围为_________．【答案】(022]，【解析】【分析】由余弦定理变形得出6ABAC+=，A在以,BC为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当A是椭圆短轴顶点时，A到BC的距离最大，由此可求得三角形面积最大值，从

而可得面积取值范围．【详解】2coscos6bBbA++=,2a=，由余弦定理得222222622acbbcababacbc+−+−++=，所以6bc+=，即6ABAC+=，又2BC=，所以A在以,BC为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线BC上），如图以BC为x轴，线段

BC中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为22221xyab+=，则3,1ac==，所以2222bac=−=，当A是椭圆短轴顶点时，A到BC的距离最大为22b=，所以ABCS的最大值为12222

22=，可无限接近于0，无最小值，ABCS的取值范围是(0,22]，故答案为：(0,22]．16.在正方体1111ABCDABCD−中，E为线段AD的中点，设平面11ABC与平面1CCE的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为__________

．【答案】3010【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，计算出平面11ABC、1CCE的法向量，可求得直线l的一个方向向量，再利用空间向量法可求得直线l与BE所成角的余弦值.【详解】解：设正

方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2A、()2,0,0B、()12,2,2C、()2,2,0C、()0,1,0E，

设平面11ABC的法向量为()111,,mxyz=，()12,0,2BA=−，()10,2,2BC=，由111111220220mBAxzmBCyz=−+==+=，取11x=，可得()1,1,1m=−，设平面1CCE的法向量为()

222,,xnyz=，()2,1,0EC=，()10,0,2CC=，由22122020nECxynCCz=+===，取21x=，可得()1,2,0n=−，设直线l的方向向量为(),,uxyz=r，l平面11ABC，

l平面1CCE，则mu⊥，nu⊥，所以020muxyznuxy=−+==−=，取2x=，则()2,1,1u=−，()2,1,0BE=−，330cos,1065uBEuBEuBE−==

=−，因此，直线l与BE所成角的余弦值为3010.故答案为：3010.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记nS为数列na的前n项和，已知11a=，且13n

nSa+=−．（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nc满足________，记nT为数列nc的前n项和，证明：2nT．从①211(1)(2)nnnncaaa+++−−=②221lognnnaca++=两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上

并作答.【答案】（1）1,1,2,2.nnnan==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论1n=和2n，利用作差法得12nnaa+=，从而根据等比数列定义求出na；（2）若选择①利用裂项相消求和，若选择②利用错位相减求和，最后证明

结论即可.【小问1详解】13nnSa+=−①，当1n=时，123aa=−，24a=；当2n时，13nnSa−=−②①-②得，即12nnaa+=又2142aa=，∴数列na是从第2项起的等比数列，即当2n时，2222nnnaa−==．1,1,2,2.nnnan==

．【小问2详解】若选择①：()()()()()()2211111122211212212121222121nnnnnnnnnnnnacaa++++++++====−−−−−−−−−，223111111112121221212121212

1nnnnT++=−+−++−=−−−−−−−．若选择②122nnnc++=，则23134122222nnnnnT+++=++++③，34121341222222nnnnnT++++=++++④，③-④得341212131

112311212422224422nnnnnnnT++−+++=++++−=+−−，14222nnnT++=−．18.如图，在矩形ABCD中，2ABAD=，点M为边AB的中点．以CM为折痕把BCM折起，使点B到达点P

的位置，使得3PMB=，连结PA，PB，PD．（1）证明：平面PMC⊥平面AMCD;（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22211【解析】【分析】（1）利用几何关系和勾股定理逆定理证明PO⊥平面A

MCD，再根据面面垂直的判定方法即可确定最终答案.（2）根据OP，CM，OB相互垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量n，利用||||PCnPCn即可求出最终答案.【小问1详解】证明：取线段CM的中点O，连

结BO，PO，3PMB=，PMBM=，PMB为等边三角形，PBPMPCBMBC====．BOCM⊥，POCM⊥．又2CBMCPM==，1222BOPOCMPB===，222BOPOPB+=，2POB

=，又CMBOO=，PO⊥平面AMCD．PO平面PMC，∴平面PMC⊥平面AMCD【小问2详解】由（1）知，OP，CM，OB相互垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间

直角坐标系，如图所示．设222ABAD==，则2CM=，1POBO==，连结DM，则DMCM⊥，且2DM=，(001)P，，，(100)C，，，(120)D−，，，(010)B−，，，(101)PC=−，，，(121)PD=−−，，，(110)ADBC

==，，．设(,)nxyz=，为平面PAD的一个法向量，则00nPDnAD==即200xyzxy−+−=+=,令1x=，则1,3yz=−=−，(1,1,3)n=−−，设直线PC与平面PAD所成角为，4222sincos,11||||211PCnPCnPCn====

，∴直线PC与平面PAD所成角的正弦值为22211.19.通信编码信号利用BEC信道传输，如图1，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到

任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：如图3，信号2U直接从信道2传输；信号1U在传输前先与2

U“异或”运算得到信号1X，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号1U或2U．（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同

数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“”表示：000=，110=，101=，011=．“异或”运算性质：ABC=，则ACB=）．假设每个信道传输成功的概率均为()01pp．12,0,1UU=．（1）在传统传输

方案中，设“信号1U和2U均被成功接收”为事件A，求()PA：（2）对于极化码技术：①求信号1U被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定1U的值）的概率；②若对输入信号1U赋值（如10U=）作为已知信号，接收端只解码信号2U，求信号

2U被成功解码的概率.【答案】（1）2p；（2）①2p；②22pp−.【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；（2）①当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由2U、1X的值可确定1U的值；②若信道2传输失败、信道1传输成功，2

U被成功解码的概率为(1)pp−；若信道2、信道1都传输失败，此时信号2U无法成功解码；由此可求得答案.【小问1详解】解：设“信号1U和2U均被成功接收”为事件A，则2()PAppp==；【小问2详解】解：①121UUX=，121UUX=．当且仅当信道1、信道2都传输成

功时，由2U、1X的值可确定1U的值，所以信号1U被成功解码的概率为2p；②若信道2传输成功，则信号2U被成功解码，概率为p；若信道2传输失败、信道1传输成功，则211UUX=，因为1U为已知信号，信号2U仍然可以被成功解码，此时2U被成功解码的概率为(1)pp−；若信道

2、信道1都传输失败，此时信号2U无法成功解码；综上可得，信号2U被成功解码概率为2(1)2ppppp+−=−.20.已知椭圆()2222:10+xyCabab=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，M为椭圆C上一动点，FAM△

面积的最大值为332．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M的直线:1lykx=+与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且2OPOQOD=，求证：点Q在

定直线上．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M，N，P，Q，D的坐标用斜率k表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位

于椭圆的短轴端点时，FAM△的面积取得最大值，的此时1()2FAMSacb=+，133()22acb+=，()33.acb+=．由离心率12ca=得2ac=，3bc=，解得1c=，2a=，3b=，∴椭圆C的

标准方程为22143xy+=；【小问2详解】由题意作下图：设()11,Mxy，()22,Nxy．由221143ykxxy=++=得()2234880kxkx++−=．∵点(0,1)在这个椭圆内部，所以0，122843kxxk

+=−+，122843xxk=−+，()212122286224343kyykxxkk+=++=−+=++，∴点P的坐标为2243,4343kkk−++当0k时，直线OP的斜率为34k−，∴直线OP的方程为34yxk=−，即43kxy=−，将直线OP的方程代入椭圆方程得229

43Dyk=+，2221643Dkxk=+，设点4,3kQyy−，由2OPOQOD=得22222443169433434343kkkyykkkk−−+=+++++，化简得()2222169169

43343kkykk++=++，化简得3y=，∴点Q在直线3y=上，当直线l的斜率0k=时，此时(0,1)P，(0,3)D，由2OPOQOD=得(0,3)Q，也满足条件，∴点Q在直线3y=上；综上，椭圆C的标准方程为22143xy+=，点

Q在直线3y=上.【点睛】本题的难点在于联立方程，把M，N，P，Q，D点的坐标用k表示出来，有一定的计算量，其中由于OP与椭圆有两个交点，在表示OD的时候用2OD表示，可以避免讨论点D在那个位置.21.已知函数()ecosexfxxx=+−，()'fx是

()fx的导函数.（1）证明：函数()fx只有一个极值点；（2）若关于x的方程()()fxttR=在(0,)上有两个不相等的实数根12,xx，证明：'1202xxf+．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

【分析】(1)求导，根据导函数的单调性以及符号即可证明；(2)应用极值点偏移的方法即可证明.【小问1详解】函数()fx的定义域为R，且'(se)neixfxx=−−．当0x时，'()esine1sine0xfxxx=−−−−；当0x时，令'()()esinexhxfxx==−−

，则'()ecos0xhxx=−，()hx在(0,)+上单调递增．又(0)1e0h=−，()ee0h=−，0(0,)x，使得()00hx=，即00esine0xx−−=，当00xx，时，'()0fx；当0xx时，'

()0fx，∴函数()fx在()0,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，()fx只有一个极小值点0x，无极大值点；【小问2详解】由（1）知，函数()fx在(0,)上单调递增，()'00fx=，且31'222esin

ee1eee11e(1.61)1022f=−−−−=−−−−，02x，函数()fx在()00,x上单调递减，在()0,x上单调递增，不妨设12xx，则1020xxx，要证()''12

002xxffx+=，即证1202xxx+，只要证2012xxx−100xx，001022xxxx−．又()fx在()0,x上单调递增，∴要证()()2012fxfxx−，即证()()1012fxfxx

−．令()()00()()20Fxfxfxxxx=−−，()()02'''00()()2esineesin2exxxFxfxfxxxxx−=+−=−−+−−−，令'()()gxFx=，则()02'0()eco

secos2xxxgxxxx−=−−+−，令'()()xgx=，则()0200()esinesin2002xxxxxxxxx−=+++−，()x在()00,x上单调递增，()0()0xx=，(

)gx在()00,x上单调递减，()()0000()2e2sin2e20xgxgxxhx=−−==，()Fx在()00,x上单调递增，()0()0FxFx=，即'1202xxf+.【点睛】本题的难点是极值点偏移，实

际上对于极值点偏移是有专门的方法的，即是以极值点为对称轴，作原函数的对称函数，通过判断函数图像是原函数的上方还是下方，即可证明.请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方

框涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1212xtyt=+=−（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(0

)cos2,aaR=．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线()4R=与直线l交于点M，直线()6R=与曲线C交于点,AB，且AMBM⊥，求实数a的值．【答案】（1）cossin2+=，22xya−=（2）1【解析】

【分析】（1）消去参数t可把参数方程化为普通方程，由公式cossinxy==可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）用极坐标法求出,,MAB的极坐标，12AB=−，再利用直角三角形性质可求得a．【小问1详解】由1212xtyt=+=−（t为参数）得2

xy+=，∴直线l的极坐标方程为cossin2+=．由2cos2a=得2cos2a=，()222cossina−=，2222cossina−=22xya−=，∴曲线C的直角坐标方程为22xya−=．【小问2详解】直线l的极坐标方程为cossin2+=，将4

=代入直线l的极坐标方程得2=，∴点M的极坐标为2,4将6=代入曲线C的极坐标方程2cos2a=得122,2aa==−，12||22ABa=−=．AMBM⊥，且O为线段AB的中点，1||||22OMABa==，即22a=，1a=．选修4-5：不等式选讲

23.已知函数()212fxxx=+++的最小值为m．（1）求m;（2）已知a，b，c为正数，且2abcm=，求22)(abc++的最小值．【答案】（1）1（2）6【解析】【分析】（1）去绝对值符号，然后分段求出函数的最值，即可得出答案；（2）由（1）知，22abcm==，然后利用基本不等

式可得2222()224ababacabccb+++=++，再利用基本不等式即可得出答案.【小问1详解】解：依题意得，34,2()212,2134,1xxfxxxxxxx−−−=+++=−−−+−，当2x−时，()2fx，当

2<<1x−−时，()12fx，当1x−时，()1fx，综上当=1x−时，()fx取得最小值1，即()fx的最小值1m=；【小问2详解】由（1）知，22abcm==，222()4abcabc+++（当且仅当ab=时等号成立），22223334223(2)(2)34()3426abca

babcababcabc+=++===，当且仅当22abc=，即1ab==，2c=时等号成立，22()abc++的最小值为6．