【文档说明】安徽省合肥市2021-2022学年高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题 含解析.docx，共(25)页，5.541 MB，由小赞的店铺上传

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合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B

铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨

水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效．．．．．.4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U=R，集合{1,0,1,2,3}M=−，{R|1}Nxx=，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.(,1)−B.(,1]−C.{1,0}−D.{1,0,1}−【答案】D【解析】【分析】根

据Venn图，明确阴影部分表示的集合的含义，即可求得答案.【详解】由题意,可知Venn图中阴影部分表示的集合是(){1,0,1}UMN=−ð,故选：D2.设复数z满足i4i0z++=，则||z=（）A.17B.4C.7D.5【

答案】A【解析】【分析】由复数的四则运算结合几何意义得出||z.【详解】22224i4i14i,||(1)417iiizz−−+===−+=−+=−故选：A3.已知双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程15

0xy=，则双曲线的离心率为（）A.15B.4C.2D.41515【答案】B【解析】【分析】求出ba的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为15byxxa==，所以，15ba=，因此，该双曲线的离心率

为22214cbeaa==+=.故选：B.4.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出，其内容是：任意给定正整数s，如果s是奇数，则将其乘3加1；如果s是偶数，则将其

除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可

得出输出结果.【详解】第一次循环，15Z22s=不成立，35116s=+=，011i=+=，1s=不成立；第二次循环，18Z2s=成立，11682s==，112i=+=，1s=不成立；第三次循环，14Z2s=成立，则1842s==，213i=+=，1s=不成立；第四次

循环，12Z2s=成立，则1422s==，314i=+=，1s=不成立；第五次循环，11Z2s=成立，则1212s==，415i=+=，1s=成立.跳出循环体，输出5i=.故选：B.5.若1:310lxmy−−=与23(2)31:0mxly+−+=是两条不同的直线，则“1m=”

是“12ll∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意解出12ll∥时m的值后判断【详解】若12ll∥，则3(3)3(2)mm−=−+，解得1m=或3m

=−而3m=−时，12ll,重合，故舍去则“1m=”是“12ll∥”的充要条件故选：C6.设等差数列{}na的前n项和为nS，15385()mSaaa=++，则m的值为（）A.10B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等差数列的前n项和公式即可求得答案.【详解

】设等差数列na的公差为d，由已知有115115115()15(214)5(3(8))22aaadSamd++===++，解得13m=，故选：C7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4

名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解

】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有2242=62=12CA种可能，要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有22=2A种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率211

26P==.故选：A8.已知函数()cos(2)(0)fxx=−−是奇函数，当,36x−时，()fx的值域为（）A.33,22−B.31,2−C1,12−D.3,12−【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的性质求出，然

后，根据,36x−，利用数形结合求出()fx的值域【详解】因为函数()cos(2)(0)fxx=−−是奇函数，可得()cos()cosff−=−=−=，得cos0=，又0−，

得2=−，得()cos(2)sin22fxxx=+=−，,36x−，得22,33x−，所以，3(),12fx−故选：D9.函数241()++=xxfxee（e是自然对数的底数）的图象关于（）A.点()e

,0−对称B.点(2,0)对称C.直线2x=−对称D.直线ex=对称【答案】C【解析】【分析】根据对称性结合奇偶函数的定义逐一判断即可..【详解】函数244e1()eeexxxxfx++−+==+对于A，e4e

e4e(e)(e)eeee0xxxxfxfx−−++−+−+−−+−=+++，即图象不关于点()e,0−对称，故A错误；对于B，6262(2)(2)eeee0xxxxfxfx−+−+−−−+++=+++，即图象

不关于点()2,0对称，故B错误；对于C，2222(2)ee(2)eexxxxfxfx−+++−+=−−=+−=+，即图象关于直线2x=−对称，故C正确；对于D，e4ee4e(e)ee(e)ee0xxxxfxfx−++−++−−−+=++=+，即图象不关于直线

ex=对称，故D错误；故选：C10.抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线l于M，N两点，23MNp=，则直线AF的斜率为（）A.1B.2C.3D.3【答案】D【解析】【分

析】根据题意求出点A坐标，即可求出直线AF的斜率.【详解】由题意可知：FAFMR==，设准线与x轴交于H，因为23MNp=，所以3MHp=，且FHp=，所以222FFMFHMpAH==+=，设()00,Axy，由抛物线定义可知02FApx=+，所以03

2px=，代入抛物线中得03yp=，所以3,32pAp，且,02pF，所以直线AF的斜率为3.故选：D11.设5log15a=，7log21b=，252c=，则（）A.bacB.c<a<bC.cba

D.acb【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.详解】()55553log15log351log31log52a===++=，()77773log21l

og731log31log72b===++=，215232222c==，因为lg7lg5lg30，所以，11lg5lg7，则lg3lg3lg5lg7，即57log3log3，因此，cba.故选：C.12.在直三棱柱111ABCABC-中，ABAC⊥，12ABACAA==

=，P为该三棱柱表面上一动点，若1CPBP=，则P点的轨迹长度为（）A.32B.326+C.62D.626+【答案】B【解析】【分析】将三棱柱补形为正方体，容易找到BC的中垂面，因为1CPBP=，所以确定点P在中垂面内，的【通过几何关系求解中垂面与三棱柱相交

的轨迹长度即可.【详解】因为ABAC⊥，12ABACAA===，所以可将直三棱柱111ABCABC-补形为边长为2的正方体1111ABCDABCD−，取111111,,,,,ABAAACCDDDDB的中点E，F，

G，H，K，L按顺序连接.11=HGBCM，=ELBCN，BCMNO=如图所示，正方体1111ABCDABCD−中11ACAC⊥，111⊥ACBA，1111=BAACA，所以1AC⊥面11BAC，所以11BCAC⊥，因为1∥GFAC，所以1⊥BCGF.同理可得1

BCEF⊥，因为GFEFF=，所以1BC⊥面EFGHKL，其中EFGHKL为正六边形.因为E，G，H，L为1111,,,ABACCDDB的中点，所以M，N为1,BCBC的四等分点，根据正方体对称性，知O为MN中点也是BC中点，因为1CPBP=，所以点P在过

点O垂直于BC的平面内，即点P在面EFGHKL内.又因为点P在三棱柱表面上，所以P点的轨迹为五边形MNEFG，221162=+=MNBCBB，由正六边形及正方体对称性可知332+++==NEEFFGMGEF，故点P的轨迹长度为326+，故选

：B【点睛】处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可.本题把到两点距离问题转化为找中垂面，再通过线面垂直的判定定理即可证明垂面位置，由此确定点P的轨迹为五边形，求出长度即可.第II卷（非选

择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填

在答题卡上的相应位置．13.已知向量()1,2AB=−，()2,5BttC=+，若A、B、C三点共线，则t=_____．【答案】1−【解析】【分析】由已知可得//ABBCuuuruuur，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数t的值.【详解】由已知//ABB

Cuuuruuur，则()45tt=−+，解得1t=−.故答案为：1−.14.如图，圆柱1OO的轴截面是正方形，AB是底面圆的直径，AD是母线，点C是AB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为________．【答案】66【

解析】【分析】以OA、OC为邻边作平行四边形OAEC，连接DE，可知异面直线AB与CD所成角为DCE，计算出CE、CD的长，即可求得DCE的余弦值.【详解】设圆柱底面半径为r，连接OC，以OA、OC为邻边作平行四边形OAEC，连接DE，则//CEOA且

CEOAr==，所以，异面直线AB与CD所成角为DCE，C为AB的中点，且AB为圆O的一条直径，所以，2AOC=，即OCAB⊥，因为OAOCr==，所以，平行四边形OAEC为正方形，AECEr==，AD⊥平面ABC，CE、

AE平面ABC，ADAE⊥，ADCE⊥，则225DEADAEr=+=，CEAE⊥，ADAEA=，CE⊥平面ADE，DE平面ADE，CEDE⊥，226CDCEDEr=+=，在RtCDE△中，6cos66CErDCEC

Dr===.故答案为：66.15.已知数列{}na前n项和22nnnS+=，记2nanb=，若数列{}na中去掉数列{}nb中的项后，余下的项按原来顺序组成数列{}nc，则数列{}nc的前50项和为________．【答案】1478【解析】【

分析】根据22nnnS+=求出na，从而求出nb，根据数列{}na、{}nb项的关系得到数列{}nc的前50项并求和即可.【详解】∵22nnnS+=，∴1n=时，111aS==，2n…时，()221(1)122nnnnnnnaSSn−−+−+=−=−=，当1n=时也满足上式，nan=，*.

nN2nnb=，1234562,4,8,16,32,64bbbbbb======，nc的前50项为数列{}na的前55项中去掉数列{}nb的前5项后余下的项，∴数列{}nc的前50项和为()123455555

115406214782bbbbb+−−−−−=−=.故答案为：1478.16.过平面内一点P作曲线|ln|yx=两条互相垂直的切线1l，2l，切点为1P，2P（1P，2P不重合），设直线1l，2l分别与y轴交于点A，B，则||AB=_______

___．【答案】2【解析】【分析】设()1,Pmn，()0,Aa.()2,Pst，()0,Bb，利用导数表示出ln1am=−，ln1bs=−+，即可求出||AB.【详解】设()1,Pmn，()0,Aa.()2,Pst，()0,Bb，所以

||ABab=−.ln,1lnln,01xxyxxx==−.不妨设1l与()ln,1yxx=相切于点1P，则有ln10nmnamm=−=−，解得：ln1am=−.同理可求：ln1bs=−+.因为切线1l，2l互相垂直，所以111ms

−=−，即1ms=.所以()()||ln1ln1ln22ABabmsms=−=−−−+=−=.故答案为：2.【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)Pxy出的切线：00(,)Pxy为切点，直接写出切线方程：000()()yyfxxx

−=−；(2)过00(,)Pxy出的切线：00(,)Pxy不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,xy，再写出切线方程：111()()yyfxxx−=−.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.《中国统计年

鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y（单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）（1

）由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：15.5y=，()()101160.1iiittyy=−−=

，()1021311.4iiyy=−=，()102182.5iitt=−=，25550.5159.8，25690.5160.3．参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiittyyrtty

y===−−=−−，线性回归方程ˆˆˆybta=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆnniiiiiinniiiittyytyntybtttnt====−−−==−−

，ˆˆaybt=−．【答案】（1）说明见解析（2）ˆ1.944.83yt=+，28.11千万辆【解析】【分析】（1）根据相关系数公式及相关数据计算可求解；（2）根据题中的数据及公式先求得ˆ1.944.83yt=+，再令12t=代入可求解.【小问1详解】由题

意得，()()()()10110102211160.1160.1160.10.9988160.382.5311.425690.5iiiiiiittyyrttyy===−−===−−，相关系数0.9988r，说明y与t的线性相

关性很高，所以，可以用线性回归模型拟合y与t的关系．【小问2详解】由5.5t=，()102182.5iitt=−=，所以160.1ˆ1.9482.5b=，因此ˆˆ15.51.945.54.83aybt=−=−=，所以ˆ1.944.83yt=+．当

12t=时，ˆ1.94124.8328.11y=+=．所以2022年我国私人汽车拥有量约为28.11千万辆.据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆．18.在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为

a，b，c，满足___________.从①2sin26aCbc+=+，②cossin2BCbaB+=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（1）求A的大小；（2）若AE是的ABC角平分线，

且3b=，2AE=，求ABC的面积.【答案】（1）23（2）932【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和差的正弦公式，即可求得答案；选②,，利用正弦定理边化角，再结合二倍角公式，即可求得答案;（2）由题意可得到ABCABECAESSS=+，利用面积公式化简可得到6c=，再利用

三角形面积公式球的答案.【小问1详解】选①：由2sin26aCbc+=+可得：2sinsinsin2sin6ACBC+=+，即3sinsinsincossincoscossin2si

nACACACACC+=++，因为(0,),sin0CC，故3sincos2AA=+，即2sin()26A−=，由于5(0,),(,)666AA−−,故2,623AA−==；选②：由cossin2BCbaB+=得：sins

insinsin2ABAB=，因为(0,),sin0BB,故sinsin2AA=，即sin2sincos222AAA=，而(0,),(0,)sin0222AAA,则1cos22A=，故23A=；

【小问2详解】AE是的ABC角平分线，则3BAECAE==,所以ABCABECAESSS=+,即1211sinsinsin232323bccAEbAE=+.而3b=，2AE=，即有32+66ccc==，，故1

1393sin362222ABCSbcA===.19.如图，在矩形ABCD中，222ABAD==，点M为边AB的中点，以CM为折痕把BCM折起，使点B到达点P的位置，使得3PMB=，连结PA，PB，PD．（1）证明：平面PMC⊥平面AMCD；（2）求点M到平面

PAD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）21111【解析】【分析】（1）取CM的中点O，连结BO，PO，根据等腰三角形以及勾股定理证明POCM⊥，POBO⊥，再由面面垂直的判定证明即可；（2）设点M到平面PAD的距离为d，根据等体积法得出PMADMPADVV−−=，

从而得出点M到平面PAD的距离．【小问1详解】证明：3PMB=，PMBM=，PMB△为等边三角形，2PBPMPCBMBC=====，2CM=．取CM的中点O，连结BO，PO，则POCM⊥．又2CBMCPM==，112BOPOCM===，222BOPOP

B+=，POBO⊥．CM，BO平面AMCD，CMBOO=，PO⊥平面AMCD．又PO平面PMC，∴平面PMC⊥平面AMCD．【小问2详解】由（1）知，PO⊥平面AMCD，且1PO=．连结DO，DM，则DMCM⊥，且2DM=，225DODMOM=+=，226PDP

OOD=+=．12PMAB=，2BPA=．226PAABPB=−=，122112222PADS==△．设点M到平面PAD的距离为d，则PMADMPADVV−−=，即111112213232d=，解得

21111d=，∴点M到平面PAD的距离为21111．20.已知函数2()sin1,fxxaxaR=−−．（1）设函数()()gxfx=，若()ygx=是区间0,2上的增函数，求a的取值范围；（2）当2a=时，

证明函数()fx在区间(0,)上有且仅有一个零点．【答案】（1）[2,)−+（2）证明见及解析【解析】【分析】（1）求导()2cosfxxax=−．令()2cosgxxax=−，求导，根据函数()gx是区间0,2

上的增函数，由()0gx在区间0,2上恒成立求解；（2）求导()22cosfxxx=−．利用导数法证明.【小问1详解】解：()2cosfxxax=−．设()2cosgxxax=−，则()2singxax=+

．∵函数()gx是区间0,2上的增函数，()2sin0gxax=+在区间0,2上恒成立若0x=，则()20gx=恒成立，此时aR；若0,2x，此时0sin1x，(

)2sin0gxax=+恒成立，即2sinax−恒成立；2a−．综合上：a的取值范围是[2,)−+．【小问2详解】当2a=时，2()2sin1,(0,)fxxxx=−−，则()22cosfxxx=−．()fx在区间(0,)上单调递增．320662f=−

，20022f=−，∴存在0,62x，使得()00fx=．当()00,xx时，()0fx，()fx单调递减；当()0,xx时，()0fx，()fx单调递增．又(0)10f=−，2()10

f=−，∴函数()fx在区间(0,)上有且仅有一个零点．21.已知椭圆()2222:10+xyCabab=的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，M为椭圆C上一动点，FAM△面积的最大值为332．（1）求椭圆C的标准方程

；（2）过点M的直线:1lykx=+与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且2OPOQOD=，求证：点Q在定直线上．【答案】（1）22143xy+=（2）

证明见解析【解析】【分析】(1)按照题目所给的条件即可求解；(2)作图，联立方程，将M，N，P，Q，D的坐标用斜率k表示出来，(3)按照向量数量积的运算规则即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭

圆的短轴端点时，FAM△的面积取得最大值，此时1()2FAMSacb=+，133()22acb+=，()33.acb+=．由离心率12ca=得2ac=，3bc=，解得1c=，2a=，3b=，∴椭圆C的标准方程为22143xy+=；【小问2详解】由题意作下图：

设()11,Mxy，()22,Nxy．由221143ykxxy=++=得()2234880kxkx++−=．∵点(0,1)这个椭圆内部，所以0，122843kxxk+=−+，122843xxk=−+，()212122286224

343kyykxxkk+=++=−+=++，∴点P的坐标为2243,4343kkk−++当0k时，直线OP的斜率为34k−，∴直线OP的方程为34yxk=−，即43kxy=−，将直线OP的方程代入椭圆方程得22943Dyk=+，2221643Dkxk=+，设点4,3kQ

yy−，由2OPOQOD=得22222443169433434343kkkyykkkk−−+=+++++，化简得()222216916943343kkykk++=++，化简得3y=，∴点Q在直线3y=上，当直线l的斜率0k=时，此时(0,1)P，(0,3)D，

由2OPOQOD=得(0,3)Q，也满足条件，∴点Q在直线3y=上；综上，椭圆C的标准方程为22143xy+=，点Q在直线3y=上.【点睛】本题的难点在于联立方程，把M，N，P，Q，D点的坐标用k表示出来，有一定的计算量，其中由于OP与椭圆有两个交点，

在表示OD的时候用2OD表示，可以避免讨论点D在那个位置.请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框

涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1212xtyt=+=−（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2(0)cos2,aaR=．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方

程；在（2）若直线()4R=与直线l交于点M，直线()6R=与曲线C交于点,AB，且AMBM⊥，求实数a的值．【答案】（1）cossin2+=，22xya−=（2）1【解析】【分析】（1）消去参数t可把参数方程化为普通方程，由公式cossin

xy==可把极坐标方程与直角坐标方程互化；（2）用极坐标法求出,,MAB的极坐标，12AB=−，再利用直角三角形性质可求得a．【小问1详解】由1212xtyt=+=−（t为参数）得2xy+=，∴直线l的极坐标方程为cossin

2+=．由2cos2a=得2cos2a=，()222cossina−=，2222cossina−=22xya−=，∴曲线C的直角坐标方程为22xya−=．【小问2详解】直线l的极坐标方程为coss

in2+=，将4=代入直线l的极坐标方程得2=，∴点M的极坐标为2,4将6=代入曲线C的极坐标方程2cos2a=得122,2aa==−，12||22ABa=−=．AMBM⊥，且O为线段AB的中点，1||||22OMABa==，即22a=，1a=

．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()212fxxx=+++的最小值为m．（1）求m;（2）已知a，b，c为正数，且2abcm=，求22)(abc++最小值．【答案】（1）1（2）6【解析】【分析】（1）去绝对值符号，然后分段求出函数的最值，即可得出答案；（2）由（1）知，22abcm

==，然后利用基本不等式可得2222()224ababacabccb+++=++，再利用基本不等式即可得出答案.【小问1详解】解：依题意得，34,2()212,2134,1xxfxxxxxxx−−−=+++=−−

−+−，当2x−时，()2fx，当2<<1x−−时，()12fx，当1x−时，()1fx，综上当=1x−时，()fx取得最小值1，即()fx的最小值1m=；【小问2详解】由（1）知，22

abcm==，222()4abcabc+++（当且仅当ab=时等号成立），22223334223(2)(2)34()3426abcababcababcabc+=++===，当且仅当22abc=，

即1ab==，2c=时等号成立，22()abc++的最小值为6．的